6  Convergencia Fuerte del Método Compensated Split-Step \(\theta\) (\(\text{CSS}\theta\)) para EDEs con Saltos No Lineales

6.1 Definición del Método \(\text{CSS}\theta\) y Extensiones Continuas

En este capítulo abordamos el estudio de la convergencia del método numérico conocido como compensated split-step \(\theta\) (\(\text{CSS}\theta\)) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos (EDE-S) en el contexto unidimensional. Consideramos la ecuación diferencial estocástica con saltos

\[ \begin{aligned} d X(t) & = f(X(t-))\,d t + g(X(t-))\,d W(t) \\ & \qquad \quad + h(X(t-))\, N(t), \qquad t\geq 0, \end{aligned} \tag{6.1}\]

con condición inicial \(X(0-)=X_0\), donde

• \(X(t-)\) denota el límite por la izquierda en el instante \(t\),
• \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) es el coeficiente de deriva,
• \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) es el coeficiente de difusión,
• \(h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) es el coeficiente de los saltos,
• \(\{W(t)\}_{t\geq 0}\) es un movimiento browniano estándar,
• \(\{N(t)\}_{t\geq 0}\) es un proceso de Poisson con intensidad \(\lambda >0\),

definidos sobre un espacio de probabilidad filtrado \((\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}, \mathbb{P})\). La solución de esta ecuación se aproximará mediante una discretización temporal con paso constante \(\Delta t>0\), generando una sucesión \(Y_n\) que aproxima los valores de la solución exacta \(X(t)\) en los puntos de la malla \(t_n=n\Delta t\).

Para facilitar el manejo análitico y numérico de los saltos, introducimos el proceso de Poisson compensado definido por

\[ \widetilde{N}(t):=N(t)-\lambda t,\quad t\geq 0. \]

Dicho proceso constituye una martingala que satisface \(\mathbb{E}[\widetilde{N}(t)]=0\) y \(\mathbb{E}[|\widetilde{N}(t)|^2]=\lambda t\), propiedades fundamentales que simplifican notablemente el análisis de momentos en las demostraciones posteriores.

Usando esta compensación, la Ecuación 6.1 puede reescribirse en la forma equivalente

\[ dX(t) = f_{\lambda}(X(t-))dt+g(X(t-))dW(t)+h(X(t-))d\widetilde{N}(t), \tag{6.2}\]

donde el coeficiente de deriva compensado se define como

\[ f_{\lambda}(x):=f(x)+\lambda h(x),\quad x\in \mathbb{R}. \tag{6.3}\]

Esta formulación resulta especialmente útil en el análisis numérico, pues permite separar de manera natural la componente determinista de la componente puramente martingala del sistema, facilitando así el estudio de las propiedades de convergencia y estabilidad del esquema.

Con el propósito de aproximar la solución de la Ecuación 6.1, fijamos un horizonte \(T>0\) y construimos una discretización uniforme del intervalo \([0,T]\). Sea \(N_T\in \mathbb{N}\) el número de subintervalos de la partición, y definimos el tamaño del paso \(\Delta t= T/N_T\) junto con los nodos de la malla \(t_n=n\Delta t\) para \(n=1,\ldots, N_T\). A partir de esta malla, el método \(\text{CSS}\theta\) genera dos suceciones de aproximacciones numéricas, \(\{Y_n^{*}\}_{n=0}^{N_T}\) y \(\{Y_n\}_{n=0}^{N_T}\), que aproximan los valores de la solución exacta \(X(t)\) en los puntos de la malla.

Definición 6.1 (Esquema Discreto del Método \(\text{CSS}\theta\)) Dado un parámetro \(\theta\in[0,1]\), un tamaño de paso \(\Delta t>0\) y la condición inicial \(Y_0=X_0\), el método \(\text{CSS}\theta\) genera dos sucesiones de aproximaciones numéricas, \(\{Y_n\}_{n\geq 0}\) y \(\{Y_n^{*}\}_{n\geq 0}\), mediante el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias

• Paso implícito (Variable auxiliar):

\[ Y_n^* = Y_n+\theta f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t, \tag{6.4}\]

• Paso explícito (Actualización):

\[ Y_{n+1} = Y_n+f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t+g(Y_n^*)\Delta W_n+h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n, \tag{6.5}\]

donde:

• \(\Delta W_n:=W(t_{n+1})-W(t_n)\) es el incremento del movimiento browniano,
• \(\Delta\widetilde{N}_n:=\widetilde{N}(t_{n+1})-\widetilde{N}(t_n)\) es el incremento del proceso de Poisson compensado.

Cabe destacar que el método utiliza explícitamente el proceso de Poisson compensado \(\widetilde{N}(t)\), lo cual constituye su principal diferencia respecto a otros esquemas no compensados y le confiere propiedades de estabilidad significativamente mejores.

Definición 6.2 (Extensiones a tiempo continuo del método \(\text{CSS}\theta\)) Para extender las sucesiones discretas al intervalo continuo \([0, T]\), definimos dos procesos estocásticos:

• Aproximación escalonada (Proceso predecible) \[ Y(t) = \sum_{n=0}^{N_T-1} Y_n^{*}1_{[t_n,t_{n+1})}(t),\qquad t\in [0,T], \tag{6.6}\]

• Extensión continua: El proceso \(Y(t)\) definido para \(t\in[t_n,t_{n+1}]\) como

\[ \begin{aligned} \overline{Y}(t) & = Y_n+f_{\lambda}(Y_n^*)(t-t_n)+g(Y_n^*)(W(t)-W(t_n))\\ & \qquad\qquad +h(Y_n^*)(\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n)), \qquad t\in[t_n,t_{n+1}). \end{aligned} \tag{6.7}\]

Alternativamente, la extensión continua \(\overline{Y}(t)\) admite una representación integral que resulta de pparticular utilidad en las demostraciones de convergencia. En efecto, puede verificarse

\[ \begin{aligned} \overline{Y}(t) & = Y_0 +\int_0^t f_{\lambda}(Y(s-))ds+\int_0^tg(Y(s-))dW(s)\\ & \qquad\quad +\int_0^t h(Y(s-))d\widetilde{N}(s), \end{aligned} \tag{6.8}\]

donde \(\overline{Y}(s-)\) denota el límite por la izquierda.

De esta definición se desprende inmediatamente que \(\overline{Y}(t_n)=Y_n\) para todo \(n\), es decir, la extensión continua coincide con la solución numérica discreta en los puntos de la malla. Además, \(\overline{Y}(t)\) es adaptada a la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) y posee trayectorias càdlàg, lo cual permite aplicar de manera rigurosa las herramientas del cálculo estocástico en tiempo continuo.

Para analizar rigurosamente la convergencia del método \(\text{CSS}\theta\) es necesario imponer condiciones adecuadas sobre los coeficientes \(f\), \(g\) y \(h\) que garanticen tanto la buena formulación del problema continuo como el control de las soluciones numéricas. En las secciones siguientes estableceremos dichas hipótesis y demostraremos los resultado principales de convergencia fuerte y tasa de convergencia del esquema proouesto.

6.2 Hipótesis de Regularidad

Para garantizar la existencia, unicidad y convergencia del método numérico propuesto, establecemos las siguientes condiciones sobre los coeficientes de la ecuación diferencial estocástica con saltos. Estas hipótesis se dividen en condiciones de regularidad base y condiciones adicionales para la tasa de convergencia.

Se asume que los coeficientes \(f,g,h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) son diferenciables y para todo \(x,y\in \mathbb{R}\) se satisfacen las siguientes condiciones:

Condición unilateral de Lipschitz (Deriva):

Existe una constante \(K>0\) tal que el coeficiente \(f\) satisface

\[ (x-y)(f(x)-f(y))\leq K|x-y|^2. \tag{6.9}\]

Condición global de Lipschitz (Difusión):

Existe una constante \(L_g>0\) tal que el coeficiente de difusión \(g\) cumple

\[ |g(x)-g(y)|^2\leq L_g |x-y|^2. \tag{6.10}\]

Condición global de Lipschitz (Salto):

Existe una constante \(L_h>0\) tal que el coeficiente de salto \(h\) verifica

\[ |h(x)-h(y)|^2\leq L_h |x-y|^2. \tag{6.11}\]

Acotamiento del momento inicial:

Supondremos que los momentos iniciales están acotados, es decir, para todo \(p\geq 1\)

\[ \mathbb{E}[|X_0|^p]<\infty. \tag{6.12}\]

Condición de crecimiento polinomial para el coeficiente de deriva:

Supondremos que existen constantes \(D>0\) y \(q\in\mathbb{Z}^+\) tales que para todo \(a,b\in \mathbb{R}\),

\[ |f_{\lambda}(a)-f_{\lambda}(b)|^2\leq D(1+|a|^q+|b|^q)|a-b|^2. \tag{6.13}\]

6.3 Resultados Preliminares y Acotamiento de Momentos

A partir de estas hipótesis descritas en la sección anterior, se pueden derivar varias propiedades que serán de utilidad en el análisis siguiente. En particular, el coeficiente compensado, Ecuación 6.3, hereda una condición unilateral de Lipschitz, aunque con una constante ligeramente mayor. Pues, utilizando el Teorema 3.8 y las propiedades de \(h\), es posible demostrar que existe una constante \(K_{\lambda}:= K+\lambda\sqrt{L_h}\) tal que para todos \(x,y\in \mathbb{R}\) se cumple

\[ (x-y)(f_{\lambda}(x)-f_{\lambda}(y))\leq K_{\lambda}|x-y|^2. \tag{6.14}\]

En efecto, consideremos la Ecuación 6.3 y las hipótesis dadas por Ecuación 6.9 y Ecuación 6.11. Notemos que

\[ (h(x)-h(y))\leq |h(x)-h(y)|\leq \sqrt{L_h}|x-y|, \qquad \forall x,y\in \mathbb{R}. \]

Por tanto

\[ \begin{aligned} (x-y) & (f_{\lambda}(x)-f_{\lambda}(y)) \\ & = (x-y)((f(x)+\lambda h(x))-(f(y)+\lambda h(y)))\\ & = (x-y)(f(x)-f(y)+\lambda(h(x)-h(y)))\\ & = (x-y)(f(x)-f(y))+(x-y)(\lambda(h(x)-h(y)))\\ & \leq K|x-y|^2+\lambda (x-y)(h(x)-h(y))\\ & \leq K|x-y|^2+\lambda (x-y)|x-y|\sqrt{L_h}\\ & \leq K|x-y|^2+\lambda \sqrt{L_h}|x-y|^2\\ & = (K+\lambda \sqrt{L_h})|x-y|^2= K_{\lambda}|x-y|^2. \end{aligned} \]

Dicha constante es importante en la determinación de la condición bajo la cuál el método implícito dado por la Ecuación 6.4 está bien definido.

Otras propiedades importantes que podemos obtener usando las hipótesis anteriores, es acotar \(xf(x)\) para toda \(x\in \mathbb{R}\). Notemos que podemos expresar \(f(x)\) de la forma \(f(x)=f(x)-f(0)+f(0)\). Entonces

\[ xf(x)= x[f(x)-f(0)]+xf(0). \]

Por tanto, tomando \(y=0\) y aplicando la hipótesis dada por Ecuación 6.9 obtenemos

\[ (x-0)(f(x)-f(0))\leq K|x-0|^2, \]

es decir,

\[ x(f(x)-f(0))\leq K|x|^2. \]

Para el término \(xf(0)\), podemos aplicar el Lema 3.3, la cuál afirma que para \(a,b\in \mathbb{R}\) se cumple

\[ ab\leq \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2. \]

Así tomando \(a=x\), \(b=f(0)\), tenemos

\[ xf(0)\leq \frac{1}{2}|x|^2+\frac{1}{2}|f(0)|^2. \]

Sustituyendo ambos resultados, podemos afirmar que

\[ \begin{aligned} xf(x) & =x(f(x)-f(0))+xf(0)\\ & \leq K|x|^2+\frac{1}{2}|x|^2+\frac{1}{2}|f(0)|^2\\ & \leq\left(K+\frac{1}{2}\right)|x|^2+\frac{1}{2}|f(0)|^2, \quad\forall x\in \mathbb{R}. \end{aligned} \]

De manera similar, podemos expresar a \(g(x)\) de la forma \(g(x)-g(0)+g(0)\), de aquí

\[ \begin{aligned} |g(x)| & = |g(x)-g(0)+g(0)|\\ & \leq |g(x)-g(0)|+|g(0)|. \end{aligned} \]

Consideramos la desigualdad \((a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)\), tenemos

\[ \begin{aligned} |g(x)|^2 & \leq (|g(x)-g(0)|+|g(0)|)^2\\ & \leq 2(|g(x)-g(0)|^2+|g(0)|^2). \end{aligned} \]

Aplicando la Ecuación 6.10, tomando a \(y=0\), tenemos que

\[ \begin{aligned} |g(x)|^2 & \leq 2(|g(x)-g(0)|^2+|g(0)|^2)\\ & \leq 2(L_g|x-0|^2+|g(0)|^2)\\ & = 2L_g|x|^2+2|g(0)|^2, \end{aligned} \]

Por lo tanto, para toda \(x\in \mathbb{R}\)

\[ |g(x)|^2\leq 2L_g|x|^2+2|g(0)|^2. \tag{6.15}\]

De manera similar es posible afirmar que también se tiene la cota

\[ |h(x)|^2\leq 2L_h|x|^2+2|h(0)|^2, \tag{6.16}\]

para todo \(x\in \mathbb{R}\).

Combinando Ecuación 6.14, Ecuación 6.15 y Ecuación 6.16 podemos encontrar una variable \(L>0\) tal que

\[ \max\{xf(x),|g(x)|^2,|h(x)|^2\}\leq L(1+|x|^2),\quad \forall x\in\mathbb{R}, \tag{6.17}\]

donde la constante \(L\) podemos tomarla explicitamente como

\[ L=\max\left\{K+\frac{1}{2}, 2L_g,2L_h,\frac{1}{2}|f(0)|^2, 2|g(0)|^2,2|h(0)|^2\right\}. \]

Al incluir el proceso de Poisson compensado y el coeficiente de deriva compensado dado por la Ecuación 6.3, es necesario tener una estimación análoga para \(f_{\lambda}\). Para esto recordemos que satisface la condición de Lipschitz con constante

\[ K_{\lambda}=K+\lambda\sqrt{L_h} \]

es decir, \(f_{\lambda}\) cumple

\[ (x-y)(f_{\lambda}(x)-f_{\lambda}(y))\leq K_{\lambda}|x-y|^2, \quad\forall x\in\mathbb{R}. \tag{6.18}\]

Contemplando dicha condición y siguiendo el mismo procedimiento previo, podemos afirmar que existe una constante \(L_{\lambda}>0\) tal que

\[ \max\{xf_{\lambda}(x),|g(x)|^2,|h(x)|^2\}\leq L_{\lambda}(1+|x|^2),\quad \forall x\in \mathbb{R}. \tag{6.19}\]

La expresión explícita para esta constante, viene dada por

\[ L_{\lambda}=\max\left\{K_{\lambda}+\frac{1}{2}, 2L_g,2L_h,\frac{1}{2}|f_{\lambda}(0)|^2, 2|g(0)|^2,2|h(0)|^2\right\}. \]

Lema 6.1 (Existencia y unicidad de la variable auxiliar \(Y_n^*\)) Supóngamos que \(f_{\lambda}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) es continua y satisface la condición de Lipschitz unilateral dada por la Ecuación 6.18, es decir, existe una constante \(K_{\lambda}\) tal que

\[ (x-y)\big(f_{\lambda}(x)-f_{\lambda}(y)\big)\leq K_{\lambda}\,|x-y|^{2}, \qquad \forall\, x,y\in\mathbb{R}. \]

Sea \(\theta\in[0,1]\) y \(\Delta t>0\) tales que \(\theta\,\Delta t\,K_{\lambda}<1\). Entonces, para cada \(Y_{n}\in\mathbb{R}\) dado, la ecuación implícita

\[ Y_{n}^{*}=Y_{n}+\theta\,\Delta t\,f_{\lambda}\big(Y_{n}^{*}\big) \]

admite una única solución \(Y_{n}^{*}\in\mathbb{R}\).

Demostración. Definimos la función auxiliar \(G:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) como

\[ G(y):=y-\theta\Delta tf_{\lambda}(y). \]

Con esta definición, la Ecuación 6.4 puede escribirse de la forma

\[ G(Y_n^*)=Y_n. \]

Por tanto, demostrar la existencia y unicidad de \(Y_n^*\) equivale a probar que la ecuación \(G(y)=Y_n\) tiene una solución única para cualquier \(Y_n \in \mathbb{R}\) dado.

• Inyectividad

  Sea \(x,y\in \mathbb{R}\) con \(x\neq y\). Consideremos la diferencia \(G(x)-G(y)\)

  \[ \begin{aligned} G(x)-G(y) & =x-\theta\Delta tf_{\lambda}(x)-(y-\theta\Delta tf_{\lambda}(y))\\ & = (x-y)-\theta\Delta t(f_{\lambda}(x)-f_{\lambda}(y)). \end{aligned} \]

Multiplicando ambos lados por \((x-y)\), obtenemos

\[ (G(x)-G(y))(x-y)=(x-y)^2-\theta\Delta t(f_{\lambda}(x)-f_{\lambda}(y))(x-y) \]

Así, aplicando la condición de Lipschitz unilateral dada por la Ecuación 6.18 para \(f_{\lambda}\), sabemos que \((f_{\lambda}(x)-f_{\lambda}(y))(x-y)\leq K_{\lambda}(x-y)^2\). Sustituyendo esta cota en la expresión anterior

\[ \begin{aligned} (G(x)-G(y))(x-y) & \geq (x-y)^2-\theta\Delta t K_{\lambda}(x-y)^2\\ & = (1-\theta\Delta tK_{\lambda})(x-y)^2. \end{aligned} \]

Bajo las hipótesis \(\theta\Delta tK_{\lambda}<1\), definimos \(c:=1-\theta\Delta tK_{\lambda}>0\). Entonces

\[ (G(x)-G(y))(x-y)\geq c(x-y)^2>0, \quad \forall x\neq y. \]

Esta desigualdad nos indica que \(G(x)-G(y)\) y \(x-y\) siempre tienen el mismo signo. En consecuencia, si \(x > y\) entonces \(G(x) > G(y)\), y si \(x < y\) entonces \(G(x) < G(y)\). Hemos demostrado así que \(G\) es una función estrictamente creciente en \(\mathbb{R}\), lo que garantiza directamente que \(G\) es inyectiva.

• Suprayectividad

Por la definición de \(f_{\lambda}\), esta es una composición de funciones continuas, por ende \(f_{\lambda}\in C^1(\mathbb{R})\), y así la función \(G\) es continua en \(\mathbb{R}\) por ser combinación lineal de funciones continuas.

Para demostrar que \(G\) alcanza todos los valores reales, analizaremos su comportamiento asintótico. A partir de la cota coerciva establecida previamente, para cualquier \(x \in \mathbb{R}\) se cumple

\[ (G(x)-G(0))x \geq cx^2. \]

Para \(x > 0\), podemos dividir por \(x\) obteniendo \(G(x) \geq G(0) + cx\). Dado que \(c > 0\), se sigue que \(\lim_{x \to +\infty} G(x) = +\infty\).

Análogamente, para \(x < 0\), al dividir por \(x\) (y cambiar el sentido de la desigualdad) obtenemos \(G(x) \leq G(0) + cx\), lo que implica que \(\lim_{x \to -\infty} G(x) = -\infty\).

Sea \(Y_n \in \mathbb{R}\) un valor arbitrario. Dado que \(G\) es continua y sus límites en los extremos son \(+\infty\) y \(-\infty\), por el Teorema 3.4, existe al menos un punto \(Y_n^* \in \mathbb{R}\) tal que \(G(Y_n^*) = Y_n\). Por lo tanto, \(G\) es suprayectiva.

Al ser \(G\) inyectiva y suprayectiva, concluimos que \(G\) es biyectiva.

La suprayectividad de \(G\) garantiza que, para cualquier valor \(Y_n \in \mathbb{R}\), existe al menos un \(Y_n^* \in \mathbb{R}\) tal que \(G(Y_n^*) = Y_n\). Esto asegura la existencia de una solución para la ecuación implícita, independientemente del valor de la aproximación previa \(Y_n\).

Por otro lado, la inyectividad de \(G\) implica que si \(G(x) = G(y)\), entonces necesariamente \(x = y\). Aplicado a nuestro problema, esto significa que no pueden existir dos valores distintos \(Y_n^*\) y \(\tilde{Y}_n^*\) que satisfagan simultáneamente \(G(Y_n^*) = G(\tilde{Y}_n^*) = Y_n\). Esto garantiza la unicidad de la solución.

En consecuencia, la biyectividad de \(G\) asegura que la ecuación implícita

\[ Y_n^*=Y_n+\theta\Delta t f_{\lambda}(Y_n^*) \]

admite una única solución \(Y_n^*\in \mathbb{R}\) para cualquier condición inicial \(Y_n \in \mathbb{R}\). Con esto, el paso implícito del método CSS\(\theta\) queda bien definido bajo las hipótesis \(\theta \Delta t K_\lambda < 1\).

Lema 6.2 (Acotamiento uniforme de momentos para las sucesiones discretas) Bajo la hipótesis dada por la Ecuación 6.9, sea \(\theta\in [0,1]\). Supongamos que \(\Delta t>0\) satisface

\[ 0<\Delta t<\min\left\{1,\frac{1}{2\theta L_{\lambda}}\right\}. \]

Entonces, para todo \(p\geq 1\), existe una constante positiva \(A\) independiente de \(\Delta t\) y de \(N_T\), tal que

\[ \mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|Y_n|^{2p}\right]\vee \mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|Y_n^{*}|^{2p}\right]\leq A, \]

equivalentemente, dado que \(N_T\) es el mayor entero con \(N_T\Delta t\leq T\),

\[ \mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq n\leq N_T}|Y_n|^{2p}\right]\vee \mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq n\leq N_T}|Y_n^{*}|^{2p}\right]\leq A, \]

donde \(Y_n\) y \(Y_n^*\) son las sucesiones generadas por el método \(\text{CSS}\theta\) mediante la Ecuación 6.4 y Ecuación 6.5.

Demostración. Sea \(M\) un entero positivo tal que \(n\Delta t \leq M\Delta t\leq T\). Veamos la relación entre \(Y_n^*\) y \(Y_n\) a partir de la Ecuación 6.4 que define la variable auxiliar, \(Y_n^*\). Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando el producto, podemos observar que

\[ |Y_n^*|^2=|Y_n|^2+2\theta\Delta tY_nf_{\lambda}(Y_n^*)+\theta^2\Delta t^2|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2. \tag{6.20}\]

De la misma Ecuación 6.4 podemos expresar \(Y_n\) en términos \(Y_n^*\) de la forma

\[ Y_n=Y_n^*-\theta\Delta tf_{\lambda}(Y_n^*). \]

Así, sustituyendo esta expresión en el producto de la Ecuación 6.20, obtenemos

\[ \begin{aligned} Y_nf_{\lambda}(Y_n^*) & = (Y_n^*-\theta\Delta tf_{\lambda}(Y_n^*))f_{\lambda}(Y_n^*)\\ & = Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)-\theta\Delta t|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2. \end{aligned} \tag{6.21}\]

Sustituyendo la Ecuación 6.21 en Ecuación 6.20

\[ \begin{aligned} |Y_n^*|^2 & = |Y_n|^2+\theta^2\Delta t^2|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2 \\ & \qquad +2\theta\Delta t(Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)-\theta\Delta t|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2)\\ & = |Y_n|^2+\theta^2\Delta t^2|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2\\ & \qquad +2\theta\Delta tY_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)-2\theta^2\Delta t^2|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2\\ & = |Y_n|^2-\theta^2\Delta t^2|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2+2\theta\Delta tY_n^*f_{\lambda}(Y_n^*).\\ \end{aligned} \]

Es claro que el término \(-\theta^2\Delta t^2|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2\) es negativo, por lo tanto es posible eliminarlo y conseguir la siguiente desigualdad

\[ |Y_n^*|^2\leq |Y_n|^2+2\theta\Delta tY_n^*f_{\lambda}(Y_n^*). \tag{6.22}\]

De aquí, utilizando la condición de crecimiento lineal para \(f_\lambda\) dada por la Ecuación 6.19, establece que existe una constante \(L_{\lambda}>0\) tal que, para todo \(x\in \mathbb{R}\),

\[ xf_{\lambda}(x)\leq L_{\lambda}(1+|x|^2). \]

Aplicando esta desigualdad con \(x=Y_n^*\), obtenemos

\[ Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)\leq L_{\lambda}(1+|Y_n^*|^2). \]

Sustituyendo esta cota en Ecuación 6.22, llegamos a

\[ |Y_n^*|^2\leq |Y_n|^2+2\theta\Delta tL_{\lambda}(1+|Y_n^*|^2). \tag{6.23}\]

Al despejar y factorizar el término \(Y_n^*\) a partir de la ecuación anterior, tenemos

\[ \begin{aligned} |Y_n^*|^2-2\theta\Delta tL_{\lambda}(1+|Y_n^*|^2)&\leq |Y_n|^2\\ |Y_n^*|^2- 2\theta\Delta tL_{\lambda}-2\theta\Delta tL_{\lambda}|Y_n^*|^2&\leq |Y_n|^2\\ |Y_n^*|^2-2\theta\Delta tL_{\lambda}|Y_n^*|^2&\leq |Y_n|^2+2\theta\Delta tL_{\lambda}\\ |Y_n^*|^2(1-2\theta\Delta tL_{\lambda})&\leq |Y_n|^2+2\theta\Delta tL_{\lambda}. \end{aligned} \]

Por hipótesis, establecimos que

\[ 0<\Delta t< \min\left\{1,\frac{1}{2\theta L_{\lambda}}\right\}. \]

En particular \(\Delta t<\frac{1}{2\theta L_{\lambda}}\), esto implica que \(2\theta\Delta tL_{\lambda}<1\), por lo tanto \(1-2\theta\Delta tL_{\lambda}>0\). Por tanto, es posible dividir y conservar la desigualdad, es decir

\[ |Y_n^*|^2\leq \frac{1}{1-2\theta\Delta t L_{\lambda}} |Y_n|^2+\frac{2\theta\Delta tL_{\lambda}}{1-2\theta\Delta t L_{\lambda}}. \tag{6.24}\]

Para facilitar la notación, definimos las siguientes constantes

\[ \alpha:=\frac{2\theta\Delta tL_{\lambda}}{1-2\theta\Delta t L_{\lambda}},\qquad \beta:=1+\alpha=\frac{1}{1-2\theta\Delta t L_{\lambda}}. \]

Por lo que la Ecuación 6.24 queda de la forma

\[ |Y_n^*|^2\leq \beta|Y_n|^2+\alpha. \tag{6.25}\]

Utilizando la Ecuación 6.5, elevando al cuadrado y desarrollando tenemos

\[ \begin{aligned} |Y_{n+1}|^2 & = |Y_n|^2+|f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t|^2+|g(Y_n^*)\Delta W_n|^2\\ & \quad +|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n|^2+2Y_nf_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\\ & \quad +2Y_ng(Y_n^*)\Delta W_n+2Y_nh(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n\\ & \quad +2f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta tg(Y_n^*)\Delta W_n\\ & \quad +2f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta th(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n\\ & \quad+2g(Y_n^*)\Delta W_nh(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n. \end{aligned} \tag{6.26}\]

De la Ecuación 6.4, depejamos \(Y_n\) para obtener

\[ Y_n=Y_n^*-\theta\Delta tf_{\lambda}(Y_n^*), \tag{6.27}\]

de donde tammbién podemos expresar \(f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\) como

\[ f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t=\frac{Y_n^*-Y_n}{\theta}. \tag{6.28}\]

Sustituyendo en la Ecuación 6.27 en el producto \(f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\), calculamos

\[ \begin{aligned} Y_nf_{\lambda}(Y_n^*) & = (Y_n^*-\theta\Delta tf_{\lambda}(Y_n^*))f_{\lambda}(Y_n^*). \end{aligned} \]

Multiplicando ambos lados por \(2\Delta t\), obtenemos

\[ 2Y_nf_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t = 2Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t-2\theta(f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t)^2. \]

Ahora, considerando los términos \((f_{\lambda}(Y_n^*))^2(\Delta t)^2\) y \(2Y_nf_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\) que aparecen en la Ecuación 6.26, tenemos

\[ \begin{aligned} (f_{\lambda}(Y_n^*))^2(\Delta t)^2+2Y_nf_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t & = (f_{\lambda}(Y_n^*))^2(\Delta t)^2\\ & \quad + 2Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t-2\theta(f_{\lambda}(Y_n^*))^2(\Delta t)^2. \end{aligned} \]

Agrupando los términos en contienen \((f_{\lambda}(Y_n^*))^2(\Delta t)^2\), llegamos a

\[ \begin{aligned} (f_{\lambda}(Y_n^*))^2(\Delta t)^2+2Y_nf_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t & =2Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\\ & \quad +(1-2\theta)(f_{\lambda}(Y_n^*))^2(\Delta t)^2. \end{aligned} \tag{6.29}\]

Para \(\displaystyle \theta\geq\frac{1}{2}\) se tiene \(1-2\theta\leq 0\). Por lo tanto

\[ (1-2\theta)|f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t|^2\leq 0. \]

De aquí, se puede eliminar dicho término, obteniendo la siguiente desigualdad

\[ \begin{aligned} |f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t|^2+2Y_nf_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t & =2Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t+(1-2\theta)|f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t|^2\\ & \leq 2Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t. \end{aligned} \]

Luego, usando Ecuación 6.19 en la desigualdad anterior

\[ 2Y_n^*f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\leq 2L_{\lambda}\Delta t(1+|Y_n^*|^2). \tag{6.30}\]

Consideremos ahora la suma de los siguientes términos de Ecuación 6.26

\[ 2Y_ng(Y_n^*)\Delta W_n+2f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\, g(Y_n^*)\Delta W_n. \]

Sustituyendo Ecuación 6.28 para reemplazar \(f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\),

\[ 2Y_ng(Y_n^*)\Delta W_n+2\left(\frac{Y_n^*-Y_n}{\theta}\right)\Delta t\, g(Y_n^*)\Delta W_n. \tag{6.31}\]

Factorizando \(2g(Y_n^*)\Delta W_n\) de la ecuación anterior,

\[ 2\left[Y_n+\frac{1}{\theta}(Y_n^*-Y_n)\right] g(Y_n^*)\Delta W_n. \]

Simplificando el término del corchete

\[ Y_n+\frac{1}{\theta}(Y_n^*-Y_n)=\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_n+\frac{1}{\theta}Y_n^*. \]

Por lo tanto Ecuación 6.31 queda de la forma

\[ 2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_n\, g(Y_n^*)\Delta W_n+\frac{2}{\theta}Y_n^*g(Y_n^*)\Delta W_n. \tag{6.32}\]

De manera identica, para la suma de los términos

\[ 2Y_n\, h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n+2f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\, h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n. \]

Sustituyendo Ecuación 6.28, factorizando y simplificando,

\[ 2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_nh(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n+\frac{2}{\theta}Y_n^*h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n. \tag{6.33}\]

Sustituyendo Ecuación 6.30, Ecuación 6.32 y Ecuación 6.33 en Ecuación 6.26, tenemos,

\[ \begin{aligned} |Y_{n+1}|^2 & \leq |Y_n|^2+ 2L_{\lambda}\Delta t(1+|Y_n^*|^2)\\ & \quad +|g(Y_n^*)\Delta W_n|^2+|h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n|^2\\ & \quad +2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_n\, g(Y_n^*)\Delta W_n\\ & \quad +2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_nh(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n\\ & \quad +\frac{2}{\theta}Y_n^*g(Y_n^*)\Delta W_n+\frac{2}{\theta}Y_n^*h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n\\ & \quad +2g(Y_n^*)\Delta W_n\, h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n. \end{aligned} \tag{6.34}\]

Por Ecuación 6.25 podemos acotar el término \(2L_{\lambda}\Delta t(1+|Y_n^*|^2)\) de la forma

\[ \begin{aligned} 2L_{\lambda}\Delta t(1+|Y_n^*|^2) & = 2L_{\lambda}\Delta t +2L_{\lambda}\Delta t |Y_n^*|^2\\ & \leq 2L_{\lambda}\Delta t +2L_{\lambda}\Delta t(\beta|Y_n|^2+\alpha)\\ & = 2L_{\lambda}\Delta t+2L_{\lambda}\Delta t\beta|Y_n|^2+2L_{\lambda}\Delta t \alpha\\ & = 2\beta L_{\lambda}\Delta t|Y_n|^2+2L_{\lambda}\Delta t(\alpha +1). \end{aligned} \]

Reemplazando el término \(2L_{\lambda}\Delta t(1+|Y_n^*|^2)\) en Ecuación 6.34 por la cota anterior

\[ \begin{aligned} |Y_{n+1}|^2 & \leq |Y_n|^2+ 2\beta L_{\lambda}\Delta t|Y_n|^2+2L_{\lambda}\Delta t(\alpha +1)\\ & \quad +|g(Y_n^*)\Delta W_n|^2+|h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n|^2\\ & \quad +2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_n\, g(Y_n^*)\Delta W_n\\ & \quad +2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_nh(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n\\ & \quad +\frac{2}{\theta}Y_n^*g(Y_n^*)\Delta W_n+\frac{2}{\theta}Y_n^*h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n\\ & \quad +2g(Y_n^*)\Delta W_n\, h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n. \end{aligned} \tag{6.35}\]

Esta desigualdad se cumple para cada índice \(j=0,1,2\ldots, n-1\). Definimos, para simplificar, la siguiente notación

\[ B_j:= 2\beta L_{\lambda}\Delta t|Y_j|^2+2(\alpha+1)L_{\lambda}\Delta t. \]

y

\[ \begin{aligned} C_j & := |g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2\\ & \quad +2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_j\, g(Y_j^*)\Delta W_j\\ & \quad +2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)Y_j\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\\ & \quad +\frac{2}{\theta}Y_j^*g(Y_j^*)\Delta W_j+\frac{2}{\theta}Y_j^*h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\\ & \quad +2g(Y_j^*)\Delta W_j\, h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j. \end{aligned} \]

Por tanto, Ecuación 6.35 queda de la forma

\[ |Y_{n+1}|^2 \leq |Y_n|^2+B_n+C_n. \tag{6.36}\]

Sumando Ecuación 6.36 desde \(0\) hasta \(n-1\),

\[ \sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_{j+1}|^2\leq \sum\limits_{j=0}^{n-1} |Y_j|^2+\sum\limits_{j=0}^{n-1}B_j+\sum\limits_{j=0}^{n-1} C_j. \]

Pasando del lado izquierdo el primer sumando

\[ \sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_{j+1}|^2-\sum\limits_{j=0}^{n-1} |Y_j|^2\leq +\sum\limits_{j=0}^{n-1}B_j+\sum\limits_{j=0}^{n-1} C_j. \]

Notemos que del lado izquierdo de la desigualdad se trata de una suma telescópica, es decir,

\[ \sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_{j+1}|^2-\sum\limits_{j=0}^{n-1} |Y_j|^2 = |Y_n|^2-|Y_0|^2. \]

Por lo tanto

\[ |Y_{n}|^2\leq |Y_0|^2+\sum\limits_{j=0}^{n-1}B_j+\sum\limits_{j=0}^{n-1} C_j. \tag{6.37}\]

Recordemos que por hipótesis de la malla \(t_n=n\Delta t\leq T\), esto implica que para el término \(B_j\) se tiene

\[ \begin{aligned} \sum\limits_{j=0}^{n-1}B_j & = \sum\limits_{j=0}^{n-1} 2\beta L_{\lambda}\Delta t|Y_j|^2+\sum\limits_{j=0}^{n-1}2(\alpha+1)L_{\lambda}\Delta t\\ & = 2\beta L_{\lambda}\Delta t\sum\limits_{j=0}^{n-1} |Y_j|^2+2(\alpha+1)L_{\lambda}\Delta t\cdot n\\ & \leq 2\beta L_{\lambda}\Delta t\sum\limits_{j=0}^{n-1} |Y_j|^2+2(\alpha+1)L_{\lambda}T. \end{aligned} \]

Expandiendo Ecuación 6.37 queda de la forma

\[ \begin{aligned} |Y_{n}|^2 & \leq |Y_0|^2+\sum\limits_{j=0}^{n-1}B_j+\sum\limits_{j=0}^{n-1} C_j\\ & \leq |Y_0|^2+ 2\beta L_{\lambda}\Delta t\sum\limits_{j=0}^{n-1} |Y_j|^2+2(\alpha+1)L_{\lambda}T\\ & \quad +\sum\limits_{j=0}^{n-1}|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+\sum\limits_{j=0}^{n-1}|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2\\ & \quad +2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)\sum\limits_{j=0}^{n-1}(Y_j\, g(Y_j^*)\Delta W_j)\\ & \quad +2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)\sum\limits_{j=0}^{n-1}(Y_j\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j)\\ & \quad +\frac{2}{\theta}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(Y_j^*g(Y_j^*)\Delta W_j)\\ & \quad +\frac{2}{\theta}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(Y_j^*h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j)\\ & \quad +2\sum\limits_{j=0}^{n-1}(g(Y_j^*)\Delta W_j\, h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j). \end{aligned} \tag{6.38}\]

Nuevamente, para simplificar, nos apoyaremos de la siguiente notación

• \(T_0:= |Y_0|^2,\)
• \(T_1:=2\beta L_{\lambda}\Delta t\sum\limits_{j=0}^{n-1} |Y_j|^2,\)
• \(T_2:=2(\alpha+1)L_{\lambda}T,\)
• \(T_3:=\sum\limits_{j=0}^{n-1}|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2,\)
• \(T_4:=\sum\limits_{j=0}^{n-1}|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2,\)
• \(T_5:=2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)\sum\limits_{j=0}^{n-1}(Y_j\, g(Y_j^*)\Delta W_j),\)
• \(T_6:=2\left(1-\frac{1}{\theta}\right)\sum\limits_{j=0}^{n-1}(Y_j\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j),\)
• \(T_7:=\frac{2}{\theta}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(Y_j^*g(Y_j^*)\Delta W_j),\)
• \(T_8:=\frac{2}{\theta}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(Y_j^*h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j),\)
• \(T_9:=2\sum\limits_{j=0}^{n-1}(g(Y_j^*)\Delta W_j\, h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j).\)

Elevando Ecuación 6.38 a la potencia \(p\geq 0\) tenemos

\[ \begin{aligned} |Y_n|^{2p} & \leq (T_0+T_1+T_2+T_3+T_4\\ & \qquad +T_5+T_6+T_7+T_8+T_9)^p. \end{aligned} \tag{6.39}\]

Consideremos el Lema 3.2, de la forma

\[ \Bigg(\sum\limits_{i=1}^m a_i\Bigg)^p\leq m^{p-1}\sum\limits_{i=0}^m|a_i|^p. \]

Aplicando dicha desigualdad a Ecuación 6.39, donde \(m=10\), tenemos

\[ \begin{aligned} |Y_n|^{2p} & \leq 10^{p-1}(|T_0|^p+|T_1|^p+ |T_2|^p+|T_3|^p+|T_4|^p\\ & \quad +|T_5|^p+|T_6|^p+|T_7|^p+|T_8|^p+|T_9|^p). \end{aligned} \]

Para \(|T_0|^p\) no es posible encontrar una cota. Luego para \(T_1\), notemos primero

\[ T_1^p=(2\beta L_{\lambda}\Delta t)^p\left(\sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_j|^2\right)^p. \]

Para acotar este término podemos haceer uso nuevamente del Lema 3.2, el cuál indica

\[ \left(\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j\right)^p\leq n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j^p, \qquad a_j\geq 0. \]

Tomando \(a_j=|Y_j|^2\), obtenemos

\[ \left(\sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_j|^{2}\right)^p\leq n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_j|^{2p}. \]

Por lo tanto

\[ T_1^p \leq n^{p-1}(2\beta L_{\lambda}\Delta t)^p\sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_j|^{2p}. \]

Para \(T_2\), al ser una constante, tenemos que \(|T_2|^p=(2(\alpha+1)L_{\lambda}T)^p\). Para \(T_3\) y \(T_4\) aplicamos la misma desigualdad que se usa para \(T_1\), de aquí para \(T_3\)

\[ T_3^p\leq n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}. \]

Análogamente para \(T_4\),

\[ T_4^p\leq n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^{2p}. \]

Para los términos restantes, dado que son sumas de martingalas, estás pueden tomar valores tanto negativos como positivos. Por tanto, para poder obtener una cota superior, vamos a utilizar valores absolutos, además notemos que para \(\theta\in (0,1]\) se cumple \(\displaystyle\left|1-\frac{1}{\theta}\right|=\frac{1}{\theta}-1\). Por tanto

\[ |T_5|^p=2^p\left(\frac{1}{\theta}-1\right)^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j\,g(Y_j^*)\Delta W_j\right|^p. \]

De manera identica para el término \(T_6\), se tiene

\[ |T_6|^p=2^p\left(\frac{1}{\theta}-1\right)^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p. \]

Para \(T_7\) tomando valor absoluto y elevando a la potencia \(p\),

\[ |T_7|^p = \left(\frac{2}{\theta}\right)^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*\,g(Y_j^*)\Delta W_j\right|^p. \]

De igual forma para \(T_8\),

\[ |T_8|^p = \left(\frac{2}{\theta}\right)^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p. \]

Para \(T_9\) se tiene

\[ |T_9|^p= 2^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_j\, h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p. \]

Sustituyendo todas las expresiones obtenidas en cada paso anterior, se obtiene

\[ \begin{aligned} |Y_n|^{2p} & \leq 10^{p-1}\Bigg\{|Y_0|^{2p}+ n^{p-1}(2\beta L_{\lambda}\Delta t)^p\sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_j|^{2p}\\ & \quad +(2(\alpha+1)L_{\lambda}T)^p + n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}\\ & \quad + n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^{2p}\\ & \quad + 2^p\left(\frac{1}{\theta}-1\right)^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j\,g(Y_j^*)\Delta W_j\right|^p\\ & \quad + 2^p\left(\frac{1}{\theta}-1\right)^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p\\ & \quad + \left(\frac{2}{\theta}\right)^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*\,g(Y_j^*)\Delta W_j\right|^p\\ & \quad + \left(\frac{2}{\theta}\right)^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p\\ & \quad + 2^p\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_j\, h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p\Bigg\}. \end{aligned} \tag{6.40}\]

Considerando la propiedad

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg(\sum\limits_{j=0}^{n-1}|Y_j|^{2p}\Bigg)\Bigg]=\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \tag{6.41}\]

Definimos la notación

\[ r:=\frac{1}{\theta}-1. \]

Entonces, para \(0\leq M \leq N_T\), aplicando supremo y sacando valor esperado a Ecuación 6.40, tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} \Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}&(|Y_n|^{2p})\Bigg]\\ & \leq 10^{p-1}\Bigg\{|Y_0|^{2p}+(2(\alpha+1)L_{\lambda}T)^p \\ &\quad + n^{p-1}(2\beta L_{\lambda}\Delta t)^p\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|Y_j|^{2p})\Bigg]\\ & \quad + n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p})\Bigg]\\ & \quad + n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}(|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^{2p})\Bigg]\\ & \quad + 2^p r^p\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j\,g(Y_j^*)\Delta W_j\right|^p\Bigg]\\ & \quad + 2^p r^p\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p\Bigg]\\ & \quad + \left(\frac{2}{\theta}\right)^p\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*\,g(Y_j^*)\Delta W_j\right|^p\Bigg]\\ & \quad + \left(\frac{2}{\theta}\right)^p\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*\,h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p\Bigg]\\ & \quad + 2^p \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\left|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_j\, h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\right|^p\Bigg]\Bigg\}. \end{aligned} \tag{6.42}\]

Para el tercer término de la Ecuación 6.42, aplicando la Ecuación 6.41 se tiene que

\[ \mathbb{E} \Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|Y_j|^{2p})\Bigg]= \sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \]

Por construcción tenemos que \(n\Delta t\leq T\), entonces

\[ \begin{aligned} n^{p-1}(2\beta L_{\lambda}\Delta t)^p & = n^{p-1}\Delta t^{p-1}\Delta t(2\beta L_{\lambda})^p\\ & \leq T^{p-1}(2\beta L_{\lambda})^p\Delta t\\ & = T^{p-1}(2L_{\lambda})^p\beta^p\Delta t. \end{aligned} \]

Recordemos que \(\alpha\) y \(\beta\) están definidos por

\[ \alpha=\frac{2\theta\Delta tL_{\lambda}}{1-2\theta\Delta tL_{\lambda}},\quad \beta=1+\alpha. \]

Por hipótesis, sabemos que \(\Delta tM\leq T\), esto implica \(\Delta t\leq T/M\leq T\). Podemos definir

\[ \widetilde{\alpha}:=\frac{2\theta TL_{\lambda}}{1-2\theta TL_{\lambda}},\quad \widetilde{\beta}=1+\widetilde{\alpha}. \]

Veamos que se cumple \(\alpha\leq\widetilde{\alpha}\) y \(\beta\leq\widetilde{\beta}\). Tenemos que \(\Delta t\leq T\), entonces

\[ 2\theta\Delta tL_{\lambda}\leq 2\theta TL_{\lambda}. \]

Note que

\[ 1-2\theta TL_{\lambda}\leq 1-2\theta\Delta tL_{\lambda}, \]

multiplicando por \(\Delta t\leq T\) se tiene

\[ \Delta t(1-2\theta TL_{\lambda})\leq T(1-2\theta\Delta t L_{\lambda}), \]

por definición de \(L_{\lambda}\) tenemos \(2\theta L_{\lambda}>0\), multiplicando la desigualdad anterior y reordenando se tiene

\[ 2\theta\Delta tL_{\lambda}(1-2\theta TL_{\lambda})\leq 2\theta TL_{\lambda}(1-2\theta\Delta t L_{\lambda}). \]

De aquí

\[ \alpha=\frac{2\theta\Delta tL_{\lambda}}{1-2\theta\Delta t L_{\lambda}}\leq \frac{2\theta TL_{\lambda}}{1-2\theta TL_{\lambda}}=\widetilde{\alpha}. \]

Considerando la definición de \(\beta\) y \(\widetilde{\beta}\) concluimos que

\[ \alpha\leq\widetilde{\alpha},\qquad \beta\leq\widetilde{\beta}, \tag{6.43}\]

donde \(\widetilde{\alpha}\) y \(\widetilde{\beta}\) dependen únicamente de \(\theta\), \(L_{\lambda}\) y \(T\). Con esto se tiene

\[ \begin{aligned} |Y_0|^{2p}+(2(\alpha+1)L_{\lambda}T)^p & \leq |Y_0|^{2p}+(2(\widetilde{\alpha}+1)L_{\lambda}T)^p,\\ T^{p-1}(2\beta L_{\lambda})^p & \leq T^{p-1}(2\widetilde{\beta} L_{\lambda})^p. \end{aligned} \]

Definimos a las constantes

\[ \begin{aligned} c_1 & := |Y_0|^{2p}+(2(\widetilde{\alpha}+1)L_{\lambda}T)^p,\\ c_2 & := T^{p-1}(2\widetilde{\beta} L_{\lambda})^p. \end{aligned} \]

Tomamos a \(C:=\max\{c_1,c_2\}\). De esta forma, los primeros tres términos de la Ecuación 6.42 quedan de la forma

\[ \begin{aligned} |Y_0|^{2p} & + (2(\alpha+1)L_{\lambda}T)^p\\ & \qquad+ n^{p-1}(2\beta L_{\lambda}\Delta t)^p\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|Y_j|^{2p})\Bigg]\\ & \qquad\qquad\leq C+C\Delta t \sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.44}\]

Es necesario mencionar que dicha constante \(C\) solo depende de los parámetros constantes \(p\), \(T\), \(L_{\lambda}\) y \(\theta\), su valor cambiará dependiendo del proceso.

Procediendo con el cuarto término de la Ecuación 6.42, considerando la Ecuación 6.41, con esto, tenemos

\[ n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p})\Bigg] =n^{p-1} \sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}]. \]

Tenemos que \(Y_n^*\in \mathbfcal{F}_{t_n}\), esto significa que el valor depende exclusivamente de la información hasta el tiempo \(t_n\). Ahora bien, el incremento browniano denotado por \(\Delta W_n=W(t_{n+1})-W(t_n)\) es independiente de \(\mathbfcal{F}_{t_n}\), con esto, podemos aplicar la propiedad de independencia en la esperanza, además

\[ \begin{aligned} n^{p-1} \sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E} & [|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}] \\ & = n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}] \end{aligned} \tag{6.45}\]

Vamos a estudiar \(\mathbb{E}[\Delta W_n^{2p}]\), para esto, debemos recordar que al tratarse de un movimiento browniano, este tiene las propiedades de incrementos estacionarios e independientes, es decir, \(\Delta W_j \sim \mathbfcal{N}(0,\Delta t)\), así afirmamos que tiene media \(0\) y varianza \(\Delta t\). Por tanto

\[ \Delta W_j \overset{\text{d}}{=} \sqrt{\Delta t}\cdot Z, \]

donde \(Z\sim \mathbfcal{N}(0,1)\) es una variable aleatoria estándar. Utilizando la igualdad anterior, tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[|\Delta W_j|^{2p}\right] & = \mathbb{E}\left[\left(\sqrt{\Delta t}\cdot Z\right)^{2p}\right]\\ & = \mathbb{E}[(\Delta t)^p\cdot |Z|^{2p}]\\ & = \mathbb{E}[(\Delta t)^p]\cdot \mathbb{E}[|Z|^{2p}]\\ & = \Delta t^p\cdot \mathbb{E}[|Z|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.46}\]

Al ser una potencia par, podemos afirmar \(\mathbb{E}[|Z|^{2p}]=\mathbb{E}[Z^{2p}]\). Vamos a demostrar que se cumple

\[ \mathbb{E}[Z^{2p}]=(2p-1)!! \]

Donde el doble factorial para un número impar, en nuestro caso \(2p-1\), está definido mediante

\[ (2p-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots(2p-1). \]

Procedicendo por inducción, para nuestro caso base, para \(p=1\) es claro que \(\mathbb{E}[Z^2]=Var(Z)=1\). Por definición, se tiene que \((2\cdot 1-1)!!=1!!=1\). Por lo tanto, la igualdad se cumple para \(p=1\),

\[ \mathbb{E}[Z^2]=1=(2\cdot 1-1)!! \]

Supongamos que se cumple para algún entero \(p\geq 1\), es decir, la siguiente igualdad es válida

\[ \mathbb{E}[Z^{2p}]=(2p-1)!! \tag{6.47}\]

Veamos que se cumple ahora para \(p+1\), queremos ver que

\[ \mathbb{E}[Z^{2(p+1)}]=(2(p+1)-1)!!=(2p+1)!! \]

Por definición, el momento \(2(p+1)\) de \(Z\) está dado por

\[ \mathbb{E}[Z^{2(p+1)}] = \int_{-\infty}^{\infty} z^{2(p+1)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz. \]

Reescribiendo el integrando

\[ \mathbb{E}[Z^{2(p+1)}] = \int_{-\infty}^{\infty} z^{2p+2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz. \]

Consideremos las siguientes elecciónes

• \(u=z^{2p+1}\),
• \(z\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dv\).

Esto implica que

• \(du = (2p+1)z^{2p}dz\)
• \(v=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\)

Procediendo a integrar por partes

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} z^{2p+2} & \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz\\ & = \Bigg[-z^{2p+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\Bigg]_{-\infty}^{\infty}\\ & \qquad + (2p+1)\int_{-\infty}^{\infty}z^{2p}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz\\ & = \Bigg[-z^{2p+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\Bigg]_{-\infty}^{\infty}\\ &\qquad+(2p+1)\mathbb{E}[Z^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.48}\]

Vamos a estudiar el término \(-z^{2p+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\). Usando la expansión en serie de Taylor de la exponencial, tenemos

\[ e^{z^2/2} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(z^2/2)^k}{k!}>\frac{(z^2/2)^{p+1}}{(p+1)!}. \]

Entonces

\[ 0<\frac{z^{2p+1}}{e^{z^2/2}}<z^{2p+1}\cdot \frac{(p+1)!}{(z^2/2)^{p+1}}=\frac{2^{p+1}(p+1)!}{z}. \]

Tomando límite cuando \(z\rightarrow\pm\infty\) se tiene

\[ \lim\limits_{z\rightarrow\pm\infty} \frac{2^{p+1}(p+1)!}{z} = 0. \]

Por la ley del Sandwich, se afirma que

\[ \lim\limits_{z\rightarrow\pm\infty}\left(-z^{2p+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\right)\leq \lim\limits_{z\rightarrow\pm\infty}\frac{z^{2p+1}}{e^{z^2/2}}=0. \]

Por lo tanto

\[ \Bigg[-z^{2p+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\Bigg]_{-\infty}^{\infty}=0. \]

Retomando Ecuación 6.48 se tiene

\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} z^{2p+2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz & = \Bigg[-z^{2p+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\Bigg]_{-\infty}^{\infty}\\ & \qquad +(2p+1)\mathbb{E}[Z^{2p}]\\ & = (2p+1)\mathbb{E}[Z^{2p}]. \end{aligned} \]

Usando Ecuación 6.47,

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[Z^{2(p+1)}] & =\int_{-\infty}^{\infty} z^{2p+2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz\\ & = (2p+1)\mathbb{E}[Z^{2p}]\\ & = (2p+1)(2p-1)!!\\ & = (2p+1)!!\\ & = (2(p+1)-1)!! \end{aligned} \]

Con esto completamos el paso inductivo y afirmamos que para todo entero \(p\geq 0\) se cumple

\[ \mathbb{E}[Z^{2p}]=(2p-1)!! \]

Definimos entonces la constante \(c_p\) de la forma

\[ c_p : = \mathbb{E}[Z^{2p}]=(2p-1)!! \]

Por lo tanto

\[ \mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}]=c_p\Delta t^p. \tag{6.49}\]

Ahora es posible acotar Ecuación 6.45 de la forma

\[ \begin{aligned} n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}&\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}]\\ & = n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}] c_p\Delta t^p. \end{aligned} \tag{6.50}\]

Veamos ahora el término \(\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\), para esto, elevamos a la potencia \(p\) la cota dada por Ecuación 6.19,

\[ |g(Y_j^*)|^{2p}\leq L_{\lambda}^p(1+|Y_j^*|^2)^p. \]

Esto implica que \(\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\leq L_{\lambda}^p\mathbb{E}[(1+|Y_j^*|)]^p\), por Ecuación 6.50 tenemos

\[ \begin{aligned} n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}&\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}]\\ & \quad = n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}] c_p\Delta t^p\\ & \quad\leq n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1} L_{\lambda}^pc_p\Delta t^p\mathbb{E}[(1+|Y_j^*|)]^p\\ & \quad= n^{p-1}L_{\lambda}^pc_p\Delta t^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[(1+|Y_j^*|)]^p. \end{aligned} \tag{6.51}\]

Sabemos que \(n\Delta t\leq T\), esto implica \(n^{p-1}\Delta t^{p-1}\leq T^{p-1}\), luego

\[ n^{p-1}L_{\lambda}^pc_p\Delta t^p \leq T^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p. \]

Recordando que tenemos la cota Ecuación 6.25, elevando al la potencia \(p\) el término de la suma de Ecuación 6.51, tenemos

\[ \mathbb{E}[1+|Y_j^*|^2]^p\leq\mathbb{E}[1+\beta|Y_j|^2+\alpha]^p. \]

Por tanto, de Ecuación 6.51,

\[ \begin{aligned} n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1} & \mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}] \mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}]\\ & \leq n^{p-1}L_{\lambda}^pc_p\Delta t^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[(1+|Y_j^*|)]^p\\ & \leq T^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[1+\beta|Y_j|^2+\alpha]^p. \end{aligned} \tag{6.52}\]

Considerando la siguiente desigualdad para \(p\geq 1\) y \(a,b\geq 0\),

\[ (a+b)^p\leq 2^{p-1}(a^p+b^p). \]

Aplicaremos dicho resultado a la Ecuación 6.52 de forma iterativa como se sigue

\[ \begin{aligned} (1+\beta|Y_j|^2+\alpha)^p & \leq 2^{p-1}[1^p+(\beta|Y_j|^2+\alpha)^p]\\ & \leq 2^{p-1}(1+2^{p-1}(\beta^p|Y_j|^{2p}+\alpha^p)). \end{aligned} \]

Dado que \(p\geq 1\) esto implica que \(1\leq 2^{p-1}\), por tanto

\[ \begin{aligned} (1+\beta|Y_j|^2+\alpha)^p & \leq 2^{p-1}(1+2^{p-1}(\beta^p|Y_j|^{2p}+\alpha^p))\\ &\leq 2^{p-1}(2^{p-1}+2^{p-1}(\beta^p|Y_j|^{2p}+\alpha^p))\\ & = 2^{2(p-1)}(1+\alpha^p+\beta^p|Y_j|^{2p}). \end{aligned} \]

Retomando Ecuación 6.52 se tiene

\[ \begin{aligned} n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1} & \mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}]\\ & \leq T^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[1+\beta|Y_j|^2+\alpha]^p\\ & \leq T^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[2^{2(p-1)}(1+\alpha^p+\beta^p|Y_j|^{2p})]\\ & \leq 4^{(p-1)}T^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[(1+\alpha^p+\beta^p|Y_j|^{2p})]. \end{aligned} \]

Como \(\beta=1+\alpha\geq 1\) entonces, podemos afirmar que \(1+\alpha^p\leq (1+\alpha)^p=\beta^p\), de aquí

\[ \begin{aligned} n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1} & \mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}]\\ & \leq 4^{p-1}T^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[(1+\alpha^p+\beta^p|Y_j|^{2p})]\\ & \leq (4T)^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[(\beta^p +\beta^p|Y_j|^{2p})]\\ & \leq (4T)^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\beta^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[1+|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \]

Notemos que

\[ \begin{aligned} \sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[1+|Y_j|^{2p}]& = \sum\limits_{j=0}^{M-1} \mathbb{E}[1]+\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\\ & = \sum\limits_{j=0}^{M-1} 1+\sum\limits_{j=0}^{M-1} \mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\\ & = M+\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.53}\]

De aquí, Ecuación 6.53 queda de la forma

\[ \begin{aligned} n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}&\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}] \mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}]\\ & \leq (4T)^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\beta^p\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[1+|Y_j|^{2p}]\\ & =(2^2 T)^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\beta^p\Bigg(M+\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg). \end{aligned} \tag{6.54}\]

Por hipótesis, sabemos que \(M\) es tal que \(M\Delta t\leq T\), de aquí, esto implica que \(M\Delta t\leq (M\Delta t)^{p-1}\leq T^{p-1}\), de aquí

\[ \begin{aligned} (2^2 T)^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\beta^p M & \leq 2^{2(p-1)}T^{p-1}c_pL_{\lambda}^p\beta^p (M\Delta t)^{p-1}\\ & \leq 2^{2(p-1)}T^{p-1}T^{p-1}c_pL_{\lambda}^p\beta^p\\ & = (2T)^{2(p-1)}c_pL_{\lambda}^p\beta^p. \end{aligned} \]

Ahora bien, por la Ecuación 6.43 tenemos que

\[ \begin{aligned} (2T)^{2(p-1)}c_pL_{\lambda}^p\beta^p & \leq (2T)^{2(p-1)}c_pL_{\lambda}^p\widetilde{\beta}^p,\\ (4T)^{p-1}c_pL_{\lambda}^p\beta^p & \leq (4T)^{p-1}c_pL_{\lambda}^p\widetilde{\beta}^p. \end{aligned} \]

Definiendo a la constante \(c_3:=(2T)^{2(p-1)}c_pL_{\lambda}^p\widetilde{\beta}^p\). Por otro lado, también definimos la constante \(c_4:= (4T)^{p-1}c_pL_{\lambda}^p\widetilde{\beta}^p\), así tomamos a \(C:=\max\{c_1,c_2,c_3,c_4\}\). Con esta constante, es posible acotar Ecuación 6.54 de la forma

\[ \begin{aligned} n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E}&\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p})\Bigg]\\ & = n^{p-1} \sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}]\\ & = n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^{2p}]\\ & \leq (4T)^{p-1}c_p\Delta tL_{\lambda}^p\beta^p\Bigg(M+\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg)\\ & \leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.55}\]

Siguiendo un proceso similar, para el quinto término de Ecuación 6.42, se puede afirmar que existe una constante \(c_p\), de tal forma que \(\mathbb{E}[\Delta \widetilde{N}_j]^{2p}\leq c_p\Delta t^p\), tal que nos permite acotar de la forma

\[ \begin{aligned} n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E} & \Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}(|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^{2p})\Bigg]\\ & \leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.56}\]

Retomando la Ecuación 6.42, estudiaremos el sexto término

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j\Bigg|^p\Bigg], \]

definimos la siguiente notación

\[ M_n:=\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j. \tag{6.57}\]

Veamos que el proceso \(M_n\) es una martingala discreta, para esto debemos demostrar que es \(\mathcal{F}_{t_n}\)-medible, integrabilidad y que posee la propiedad de martingala.

Como primer paso, veamos que \(M_n\) es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible. Recordemos que el movimiento browniano \(W\) es un proceso adaptado, por lo que \(\Delta W_j\) es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible. Con esto, veremos que para todo \(j\geq 0\), los términos \(Y_j\) y \(g(Y_j^*)\) son \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medibles. Procediendo por inducción sobre \(j\geq 0\), sabemos que \(Y_0=X_0\), por la hipótesis dada por la Ecuación 6.12 podemos afirmar que \(X_0\) es \(\mathcal{F}_{t_0}\)-medible, por lo tanto, \(Y_0\) también lo es.

Suponemos que para algún \(j\geq 0\) se cumple que \(Y_j\) es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible. Veamos que \(Y_{j+1}\) es \(\mathcal{F}_{t_{j+1}}\)-medible.

Notemos que por el Lema 6.1, el operador \(G:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definido por

\[ G(y)=y-\theta\Delta tf_{\lambda}(Y), \]

es una función biyectiva con inversa continua bajo la condición \(\theta\Delta tL_{\lambda}<1\), digamos \(\phi=G^{-1}\), esto implica \(Y_j^*=\phi(Y_j)\). Al ser \(\phi\) una función continua, por tanto, una función Borel-medible y por la hipótesis inductiva, \(Y_j\) es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible, entonces \(Y_j^*\) también es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible. Notemos que por la Ecuación 6.5, \(Y_{j+1}\) está definido mediante

\[ Y_{j+1}=Y_j+f_{\lambda}(Y_j^*)\Delta t+g(Y_j^*)\Delta W_j+h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j. \]

Por hipótesis inductiva \(Y_j\) es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible. Recordemos que por definición del movimiento browniano y del proceso de Poisson se afirma que \(\Delta W_j\) y \(\Delta\widetilde{N}_j\) son \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medibles. además las funciónes \(f_{\lambda},g,h\in C^1\) por lo que la composición de una función continua y \(Y_j^*\), el cuál es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible, entonces \(f_{\lambda}(Y_j^*),\ g(Y_j^*)\) y \(h(Y_j^*)\) son \(\mathcal{F}_{t_j}\). Entonces, \(Y_{j+1}\) es composición de variables \(\mathcal{F}_{t_{j}}\)-medibles. Por ser \(\mathcal{F}_{t_j}\) una filtración discreta, esto implica que \(\mathcal{F}_{t_j}\subset \mathcal{F}_{t_{j+1}}\). Por lo tanto \(Y_{j+1}\) es \(\mathcal{F}_{t_{j+1}}\)-medible.

Por lo tanto se afirmar que para todo \(j\geq 0\) el término \(Y_j\) es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible. Bajo argumentos y procedimientos similares, es posible concluir que \(Y_j^*\) y \(g(Y_j^*)\) tambien son \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medibles para todo \(j\geq 0\).

De aquí que, el proceso \(M_n\) al ser una composición lineal finita de elemento \(\mathcal{F}_{t_n}\)-medibles, se afirma entonces que \(M_n\) es adaptado.

Necesitamos ver si el proceso \(M_n\) es integrable, es decir, demostraremos que \(\mathbb{E}[|M_n|]<\infty\). Aplicando la desigualdad triangular y la linealidad de la esperanza, tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|M_n|] & \leq \sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j|]\\ & = \sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)|]\mathbb{E}[|\Delta W_j|]. \end{aligned} \]

Usando la cota conocida

\[ \mathbb{E}[|\Delta W_j|]=\sqrt{\frac{2\Delta t}{\pi}}<\infty. \]

Por lo que la integrabilidad de \(M_n\) se reduce a demostrar que \(\mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)|]<\infty\), para todo \(j=1,2,\ldots,n-1\). Aplicando el Teorema 3.8 a la esperanza del producto, se tiene

\[ \mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)|]\leq (\mathbb{E}[|Y_j|^2])^{1/2}(\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^2])^{1/2}. \tag{6.58}\]

Por la Ecuación 6.19, podemos acotar el término \(\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^2]\) de la forma

\[ \mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^2]\leq L_{\lambda}(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^2]). \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.58 se tiene

\[ \mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)|]\leq \sqrt{\mathbb{E}[|Y_j|^2]}\cdot \sqrt{L_{\lambda}(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|])}. \tag{6.59}\]

Por lo tanto, para garantizar que \(\mathbb{E}[|M_n|]<\infty\), basta demostrar que para cada \(j=0,1,\ldots,n\) se cumple

\[ \mathbb{E}[|Y_j|^2]< \infty \quad \text{y}\quad \mathbb{E}[|Y_j^*|^2]<\infty. \tag{6.60}\]

Vamos a proceder por inducción sobre \(j\) que Ecuación 6.60 se cumple para todo \(j\leq n\), donde \(n\) lo tomaremos como fijo. Así para \(j=0\), por la Ecuación 6.12 que \(\mathbb{E}[|X_0|^p]<\infty\), además, por la construcción del método \(\text{CSS}\theta\) se tiene que \(Y_0=X_0\), por lo tanto, para \(p=2\) se cumple

\[ \mathbb{E}[|X_0|^2]=\mathbb{E}[|Y_0|^2]<\infty. \]

Aplicando esperanza a la Ecuación 6.25 se tiene

\[ \mathbb{E}[|Y_0^*|^2]\leq \beta \mathbb{E}[|Y_0|^2]+\alpha<\infty. \]

Suponemos que para algún \(j<n\) se cumple la Ecuación 6.60. Veamos que se cumple \(\mathbb{E}[|Y_{j+1}|^2]<\infty\) y \(\mathbb{E}[|Y_{j+1}^*|^2]<\infty\). De la Ecuación 6.5, elevando al cuadrado y aplicando la siguiente desigualdad

\[ (a+b+c+d)^2\leq 4(a^2+b^2+c^2+d^2), \]

tenemos

\[ \begin{aligned} |Y_{j+1}|^2 \leq 4& \Bigg(|Y_j|^2+|f_{\lambda}(Y_j^*)|^2\Delta t^2\\ & \quad +|g(Y_j^*)|^2|\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)|^2|\Delta\widetilde{N}_j|^2\Bigg). \end{aligned} \]

Aplicando esperanza se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|Y_{j+1}|^2] \leq 4& \Bigg(\mathbb{E}[|Y_j|^2]+\mathbb{E}[|f_{\lambda}(Y_j^*)|^2]\mathbb{E}[\Delta t^2]\\ & \quad +\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^2]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^2]\\ & \quad +\mathbb{E}[|h(Y_j^*)|^2|]\mathbb{E}[\Delta\widetilde{N}_j|^2]\Bigg)\\ = 4 & \Bigg(\mathbb{E}[|Y_j|^2]+\Delta t^2\mathbb{E}[|f_{\lambda}(Y_j^*)|^2]\\ & \quad +\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^2]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^2]\\ & \quad +\mathbb{E}[|h(Y_j^*)|^2|]\mathbb{E}[\Delta\widetilde{N}_j|^2]\Bigg). \end{aligned} \tag{6.61}\]

Por la Ecuación 6.19 se tiene que

\[ |g(Y_j^*)|^2\leq L_{\lambda}(1+|Y_j^*|^2)\quad \text{y}\quad |h(Y_j^*)|^2\leq L_{\lambda}(1+|Y_j^*|^2). \tag{6.62}\]

Por hipótesis inductiva, sabemos que \(\mathbb{E}[|Y_j^*|^2]<\infty\). Aplicando valor esperado a la Ecuación 6.62, se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^2] & \leq L_{\lambda}(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^2])<\infty,\\ \mathbb{E}[|h(Y_j^*)|^2] & \leq L_{\lambda}(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^2])<\infty. \end{aligned} \]

Además, \(\mathbb{E}[|\Delta W_j|^2]=\Delta t<\infty\) y \(\mathbb{E}[|\Delta\widetilde{N}_j|^2]=\lambda\Delta t<\infty\). La Ecuación 6.61 queda de la forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|Y_{j+1}|^2] \leq 4 & \Bigg(\mathbb{E}[|Y_j|^2]+\Delta t^2\mathbb{E}[|f_{\lambda}(Y_j^*)|^2]\\ & \quad +L_{\lambda}(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^2])\Delta t\\ & \quad +L_{\lambda}(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^2])\lambda\Delta t\Bigg). \end{aligned} \tag{6.63}\]

Por lo que ahora, solo basta demostrar que \(\mathbb{E}[|f_{\lambda}(Y_j^*)|^2]<\infty\). Para esto, vamos a considerar la hipótesis Ecuación 6.13, tomando a \(a=Y_j^*\) y \(b=0\) se tiene

\[ \begin{aligned} |f_{\lambda}(Y_j^*)-f_{\lambda}(0)|^2 & \leq D(1+|Y_j^*|^q+|0|^q)|Y_j^*-0|^2\\ & = D|Y_j^*|^2+D|Y_j^*|^{q+2}. \end{aligned} \tag{6.64}\]

Usando la desigualdad triangular para \(|f_{\lambda}(Y_j^*)-f_{\lambda}(0)+f_{\lambda}(0)|\),

\[ \begin{aligned} |f(Y_j^*)| & = |f_{\lambda}(Y_j^*)-f_{\lambda}(0)+f_{\lambda}(0)|\\ & \leq |f_{\lambda}(Y_j^*)-f_{\lambda}(0)|+|f_{\lambda}(0)|. \end{aligned} \]

Elevando al cuadrado y aplicando la desigualdad \((a+b)^2\leq 2a^2+2b^2\), entonces

\[ \begin{aligned} |f(Y_j^*)|^2 & \leq (|f_{\lambda}(Y_j^*)-f_{\lambda}(0)|+|f_{\lambda}(0)|)^2\\ & \leq 2|f_{\lambda}(Y_j^*)-f_{\lambda}(0)|+2|f_{\lambda}(0)|^2. \end{aligned} \]

Usando la Ecuación 6.64 en esta cota

\[ \begin{aligned} |f_{\lambda}(Y_j^*)|^2 & \leq 2|f_{\lambda}(Y_j^*)-f_{\lambda}(0)|+2|f_{\lambda}(0)|^2\\ & \leq 2(D|Y_j^*|^2+|Y_j^*|^{q+2})+2|f_{\lambda}(0)|^2. \end{aligned} \tag{6.65}\]

Dado que \(q\in \mathbb{Z}^{+}\), esto implica que \(q+2\geq 3\), así \(|Y_j^*|^2\leq 1+|Y_j^*|^{q+2}\) y \(1\leq 1+|Y_j^*|^{q+2}\), por tanto de Ecuación 6.65 tenemos

\[ \begin{aligned} |f_{\lambda}(Y_j^*)|^2 &\leq 2D|Y_j^*|^2+2D|Y_j^*|^{q+2}+2|f_{\lambda}(0)|^2\\ & \leq 2D(1+|Y_j^*|^{q+2})+2D(1+|Y_j^*|^{q+2})+2|f_{\lambda}(0)|^2(1+|Y_j^*|^{q+2})\\ & = (4D+2|f_{\lambda}(0)|^2)(1+|Y_j^*|^{q+2}). \end{aligned} \]

Al aplicar valor esperado tenemos que

\[ \mathbb{E}[|f_{\lambda}(Y_j^*)|^2]\leq (4D+2|f_{\lambda}(0)|^2)(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^{q+2}]). \]

Dado que por hipótesis inductiva \(\mathbb{E}[|Y_j^*|]<\infty\) y al ser \(q\) fijo, entonces \(\mathbb{E}[|Y_j^*|^{q+2}]<\infty\). Por lo tanto, se afirma que

\[ \mathbb{E}[|f_{\lambda}(Y_j^*)|^2]\leq (4D+2|f_{\lambda}(0)|^2)(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^{q+2}])<\infty. \]

Retomando la Ecuación 6.63, el término \(\mathbb{E}[|Y_{j+1}|^2]\) al estar acotado por términos finitos, se afirma que \(\mathbb{E}[|Y_{j+1}|^2]<\infty\). Finalmente, por la Ecuación 6.25, aplicado al paso \(j+1\) es posible afirmar que

\[ \mathbb{E}[|Y_j^*|^2]\leq \beta\mathbb{E}[|Y_{j+1}|^2]+\alpha<\infty. \]

Por el principio de inducción matemática finita, concluimos que

\[ \mathbb{E}[|Y_j|^2]<\infty\quad\text{y}\quad\mathbb{E}[|Y_j^*|^2]<\infty. \]

Para \(j=0,1,\ldots,n\). Retomando Ecuación 6.59, notamos que para todo \(j<n\)

\[ \mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)|]\leq \sqrt{\mathbb{E}[|Y_j|^2]}\cdot \sqrt{L_{\lambda}(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^2])}<\infty. \]

Esto implica que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|M_n|]&\leq \sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)|]\mathbb{E}[|\Delta W_j|]\\ & \leq \sqrt{\frac{2\Delta t}{\pi}}\sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)|]<\infty. \end{aligned} \]

Por último, es necesario ver que \(M_n\) cumple con la propiedad de martingala, es decir, queremos ver que

\[ \mathbb{E}[M_{n+1}|\mathcal{F}_{t_n}]=M_n. \]

Descomponiendo \(M_{n+1}\) tenemos

\[ \begin{aligned} M_{n+1} & = \sum\limits_{j=0}^n Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j\\ & = \sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j + Y_ng(Y_n^*)\Delta W_n\\ & = M_n + Y_ng(Y_n^*)\Delta W_n. \end{aligned} \]

Como \(M_n\) es \(\mathcal{F}_{t_n}\)-medible, esto implica que \(\mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{t_n}]=M_n\), de igual forma, se tiene que \(\mathbb{E}[Y_ng(Y_n^*)|\mathcal{F}_{t_n}]=Y_ng(Y_n^*)\), además por propiedades del movimiento browniano sabemos \(\mathbb{E}[\Delta W_j]=0\), por último note que \(\Delta W_j\) es independiente a \(\mathcal{F}_{t_n}\), de aquí

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|M_{n+1}|\mathcal{F}_{t_n}] & = \mathbb{E}[M_n + Y_ng(Y_n^*)\Delta W_n|\mathcal{F}_{t_n}]\\ & = \mathbb{E}[M_n|\mathcal{F}_{t_n}]+\mathbb{E}[Y_ng(Y_n^*)\Delta W_n|\mathcal{F}_{t_n}]\\ & = M_n+\mathbb{E}[Y_ng(Y_n^*)|\mathcal{F}_{t_n}]\mathbb{E}[\Delta W_n|\mathcal{F}_{t_n}]\\ & = M_n +Y_ng(Y_n^*)\cdot 0 \\ & = M_n. \end{aligned} \]

Por lo tanto, \(M_n\) es una martingala.

Notemos que

\[ \Delta M_j = M_{j+1}-M_j=Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j. \]

Con esto, tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|\Delta M_j|^2|\mathcal{F}_{t_j}] & = \mathbb{E}[|Y_jg(Y_j^*)|^2|\Delta W_j|^2|\mathcal{F}_{t_j}]\\ & = |Y_jg(Y_j^*)|^2\mathbb{E}[\Delta W_j^2]\\ & = |Y_j|^2|g(Y_j^*)|^2\Delta t. \end{aligned} \]

Por tanto, usando el Teorema 3.16, el cual, afirma que existe una constante \(C_p\geq 0\) que depende únicamente de \(p\), que cumple

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M} & \Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq C_p \mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j|^2|g(Y_j^*)|^2\Delta t\Bigg]^{p/2}\\ & = C_p\Delta t^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j|^2|g(Y_j^*)|^2\Bigg]^{p/2}. \end{aligned} \tag{6.66}\]

Usando el Teorema 3.9, para nuestro caso, contemplamos a \(a_j=|Y_j|^2|g(Y_j^*)|^2\) y a \(k=p/2\), de aquí

\[ \begin{aligned} \Bigg(\sum\limits_{j=0}^{M-1} & |Y_j|^2|g(Y_j^*)|^2\Bigg)^{p/2}\\ & \leq M^{p/2-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}(|Y_j|^2|g(Y_j^*)|^2)^{p/2}\\ & = M^{p/2-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(|g(Y_j^*)|^2)^{p/2}. \end{aligned} \tag{6.67}\]

Por la Ecuación 6.19, tenemos que \(|g(Y_j^*)|^2\leq L_{\lambda}(1+|Y_j^*|^2)\), esto implica que \((|g(Y_j^*)|^2)^{p/2}\leq L_{\lambda}^{p/2}(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\), de esta forma, la Ecuación 6.67 queda acotada mediante

\[ \begin{aligned} \Bigg(\sum\limits_{j=0}^{M-1} & |Y_j|^2|g(Y_j^*)|^2\Bigg)^{p/2}\\ & \leq M^{p/2-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(|g(Y_j^*)|^2)^{p/2}\\ & \leq M^{p/2-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(L_{\lambda}(1+|Y_j^*|^2))^{p/2}\\ & = M^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}. \end{aligned} \]

Sustituyendo este resultado en Ecuación 6.66, además recordando que \(\Delta tM\leq T\), se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M} \Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq C_p\Delta t^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j|^2|g(Y_j^*)|^2\Bigg]^{p/2}\\ & \leq C_p\Delta t^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[M^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\Bigg]\\ & = C_p\Delta t^{p/2}M^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\Bigg] \\ & = C_p\Delta t^{p/2-1}M^{p/2-1}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\Bigg]\\ & \leq C_pT^{p/2-1}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.68}\]

Vamos a trabajar con cada término \(|Y_j|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\) para \(0\leq j\leq M-1\). Usando las siguientes desigualdades para \(a,b\geq 0\) y \(p\geq 1\)

\[ ab\leq \frac{a^2+b^2}{2} \quad \text{y}\quad (a+b)^p\leq 2^{p-1}(a^p+b^p). \]

Tomando en cuenta la Ecuación 6.25, tenemos

\[ \begin{aligned} |Y_j|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2} & \leq \frac{|Y_j|^{2p}+(1+|Y_j^*|^2)^p}{2}\\ & \leq\frac{|Y_j|^{2p}+2^{p-1}(1+|Y_j^*|^{2p})}{2}\\ & \leq \frac{|Y_j|^{2p}+2^{p-1}(1+(\beta|Y_n|^2+\alpha|)^p)}{2}\\ & \leq \frac{|Y_j|^{2p}+2^{p-1}(1+2^{p-1}(\beta^p|Y_n|^{2p}+\alpha^p))}{2}\\ & \leq \frac{|Y_j|^{2p}+2^{p-1}(2^{p-1}+2^{p-1}(\beta^p|Y_n|^{2p}+\alpha^p))}{2}\\ & = \frac{|Y_j|^{2p}+2^{p-1}2^{p-1}(1+\beta^p|Y_n|^{2p}+\alpha^p)}{2}\\ & = \frac{|Y_j|^{2p}+2^{2(p-1)}+2^{2(p-1)}\beta^p|Y_n|^{2p}+2^{2(p-1)}\alpha^p}{2}\\ & = \frac{|Y_j|^{2p}(1+2^{2(p-1)})+2^{2(p-1)}(1+\alpha^p)}{2}. \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en Ecuación 6.68, se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M} & \Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq C_pT^{p/2-1}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1} |Y_j|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\Bigg]\\ & \leq C_pT^{p/2-1}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}\frac{|Y_j|^{2p}(1+2^{2(p-1)})}{2}\\ & \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\quad +\frac{2^{2(p-1)}(1+\alpha^p)}{2}\Bigg]\\ & =C_p\frac{T^{p/2-1}}{2}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j|^{2p}(1+2^{2(p-1)})\\ & \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\quad+2^{2(p-1)}(1+\alpha^p)\Bigg]\\ & = C_p\frac{T^{p/2-1}}{2}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}(1+2^{2(p-1)})\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j|^{2p}\Bigg]\\ & \quad + C_p\frac{T^{p/2-1}}{2}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}2^{2(p-1)}(1+\alpha^p)\Bigg]\\ & = C_p\frac{T^{p/2-1}}{2}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}(1+2^{2(p-1)})\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j|^{2p}\Bigg]\\ & \quad + C_p\frac{T^{p/2-1}}{2}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}2^{2(p-1)}(1+\alpha^p)M\\ & \leq C_p\frac{T^{p/2-1}}{2}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}(1+2^{2(p-1)})\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j|^{2p}\Bigg]\\ & \quad + C_p\frac{T^{p/2}}{2}L_{\lambda}^{p/2}2^{2(p-1)}(1+\alpha^p). \end{aligned} \tag{6.69}\]

Definimos de manera similar a \(c_5=C_p\frac{T^{p/2-1}}{2}L_{\lambda}^{p/2}(1+2^{2(p-1)})\), ademas, considerando las cotas dadas por la Ecuación 6.43 se tiene

\[ C_p\frac{T^{p/2}}{2}L_{\lambda}^{p/2}2^{2(p-1)}(1+\alpha^p)\leq C_p\frac{T^{p/2}}{2}L_{\lambda}^{p/2}2^{2(p-1)}(1+\widetilde{\alpha}^p) \]

Se define a

\[ c_6:= C_p\frac{T^{p/2}}{2}L_{\lambda}^{p/2}2^{2(p-1)}(1+\widetilde{\alpha}^p), \]

de aquí tomando a \(C=\max\{c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6\}\), entonces es posible acotar la ecuación anterior, la Ecuación 6.69 de la forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M} & \Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jg(Y_j^*)\Delta W_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq C_p\frac{T^{p/2-1}}{2}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}(1+2^{2(p-1)})\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j|^{2p}\Bigg]\\ & \quad + C_p\frac{T^{p/2}}{2}L_{\lambda}^{p/2}2^{2(p-1)}(1+\widetilde{\alpha}^p)\\ & \leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.70}\]

Siguiendo con el séptimo término de la Ecuación 6.42, se utilizan las mismas técnicas para acotar. Definimos el proceso

\[ S_n:=\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jh(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j. \tag{6.71}\]

Dado que la función \(h\) posee las mismas propiedades que la función \(g\), siguiendo el mismo procedimiento que se realizó con la Ecuación 6.57 es posible afirmar que \(S_n\) es una martingala discreta. Usando el Teorema 3.16 para acotar el término

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|^p\Bigg], \]

da la forma

\[ \mathbb{E} \Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|^p\Bigg]\leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \tag{6.72}\]

Donde la constante \(C\) depende de los términos \((p,T,L_{\lambda},\theta)\).

Para el octavo término de la Ecuación 6.42, dado por

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*g(Y_j^*)\Delta W_j\Bigg|^p\Bigg]. \tag{6.73}\]

Denotamos el proceso y observamos que

\[ Z_n:=\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*g(Y_j^*)\Delta W_j \]

es una martingala discreta. La prueba de medibilidad, integrabilidad y la propiedad de martingala se desglosa directamente de la misma forma en que se hizo para el término \(M_n\) dado por la Ecuación 6.57. Por lo que se asume que \(Z_n\) es una martingala.

Calculamos la variación cuadrática

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|Y_j^*g(Y_j^*)\Delta W_j|^2|\mathcal{F}_{t_j}] & = \mathbb{E}[|Y_j^*g(Y_j^*)|^2|\mathcal{F}_{t_j}]\mathbb{E}[|\Delta W_j|^2|\mathcal{F}_{t_j}]\\ & = |Y_j^*|^2|g(Y_j^*)|^2\mathbb{E}[\Delta W_j^2]\\ & = |Y_j^*|^2|g(Y_j^*)|^2\Delta t. \end{aligned} \]

Usando el Teorema 3.16, podemos afirmar que existe una constante \(C_p\), la cual depende únicamente de \(p\) de tal forma que la Ecuación 6.73 queda acotada mediante

\[ \mathbb{E}[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Z_n|^p]\leq C_p\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*|^2|g(Y_j^*)|^2\Delta t\Bigg]^{p/2}. \tag{6.74}\]

Por la Ecuación 6.19 podemos afirmar que \(|g(Y_j^*)|^p\leq L_{\lambda}^{p/2}(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\). De la ecuación Ecuación 6.74 al extraer \(\Delta t\), aplicar el Teorema 3.9 con \(k=p/2\) y considerando la cota anterior derivada de la Ecuación 6.19 se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & [\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Z_n|^p]\\ &\leq C_p\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*|^2|g(Y_j^*)|^2\Delta t\Bigg]^{p/2}\\ & = C_p\Delta t^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*||g(Y_j^*)|^2\Bigg]^{p/2}\\ & \leq C_p\Delta t^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[M^{p/2-1}\sum\limits_{j=0}^{M-1}(|Y_j^*|^2|g(Y_j^*)|^2)^{p/2}\Bigg]\\ & = C_p\Delta t^{p/2}M^{p/2-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}(|Y_j^*|^2|g(Y_j^*)|^2)^{p/2}\Bigg]\\ & = C_p\Delta t^{p/2}M^{p/2-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*|^p|g(Y_j^*)|^p\Bigg]\\ & \leq C_p\Delta t^{p/2}M^{p/2-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*|^pL_{\lambda}^{p/2}(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\Bigg]\\ & = C_p\Delta t^{p/2}M^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\Bigg].\\ \end{aligned} \tag{6.75}\]

Por hipótesis, tenemos que \(M\in \mathbb{N}\) es tal que \(M\Delta t\leq T\), de aquí,

\[ \Delta t^{p/2}M^{p/2-1}=(\Delta tM)^{p/2-1}\Delta t\leq T^{p/2-1}\Delta t. \tag{6.76}\]

Aplicando el Lema 3.3 y la Ecuación 6.76 a la Ecuación 6.75 tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & [\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Z_n|^p]\\ & \leq C_p\Delta t^{p/2}M^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*|^p(1+|Y_j^*|^2)^{p/2}\Bigg]\\ & \leq C_p T^{p/2-1}\Delta tL_{\lambda}^{p/2}\mathbb{E}\left[\sum\limits_{j=0}^{M-1}\frac{|Y_j^*|^{2p}+(1+|Y_j^*|^2)^p}{2}\right]. \end{aligned} \tag{6.77}\]

Para facilitar la notación, definimos la siguiente constante auxiliar

\[ \widetilde{c}=\frac{C_p T^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}}{2}. \]

De esta manera, la Ecuación 6.77 queda de la forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & [\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Z_n|^p]\\ & \leq \widetilde{c}\Delta t\mathbb{E}\left[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*|^{2p}+(1+|Y_j^*|^2)^p\right]. \end{aligned} \tag{6.78}\]

Para el término \((1+|Y_j^*|^2)^p\) usaremos nuevamente el Lema 3.2, considerando la cota dada por la Ecuación 6.25, tenemos

\[ \begin{aligned} |Y_j^*|^{2p}+(1+|Y_j^*|^2)^p & \leq |Y_j^*|^{2p}+2^{p-1}(1+|Y_j^*|^{2p})\\ & = |Y_j^*|^{2p}+2^{p-1}+2^{p-1}|Y_j^*|^{2p}\\ & = 2^{p-1}+(1+2^{p-1})|Y_j^*|^{2p}\\ & \leq 2^{p-1}+(1+2^{p-1})(\beta|Y_j|^2+\alpha)^p\\ & \leq 2^{p-1}+(1+2^{p-1})(2^{p-1}(\beta^p|Y_j|^{2p}+\alpha^p))\\ & \leq 2^{p-1}+(2^{p-1}+2^{p-1})(2^{p-1}\beta^p|Y_j|^{2p}+2^{p-1}\alpha^p)\\ & = 2^{p-1}+(2^{2(p-1)})(2^{p-1}\beta^p|Y_j|^{2p}+2^{p-1}\alpha^p)\\ & = (1+2^{2(p-1)})2^{p-1}+2^{3(p-1)}\beta^p|Y_j|^{2p}. \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.78 y aplicando la linealidad del valor esperado tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & [\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Z_n|^p]\\ & \leq \widetilde{c}\Delta t\mathbb{E}\left[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|Y_j^*|^{2p}+(1+|Y_j^*|^2)^p\right]\\ & \leq \widetilde{c}\Delta t\mathbb{E}\left[\sum\limits_{j=0}^{M-1}(1+2^{2(p-1)})2^{p-1}+2^{3(p-1)}\beta^p|Y_j|^{2p}\right]\\ & = \widetilde{c}\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[(1+2^{2(p-1)})2^{p-1}]\\ & \qquad +\widetilde{c}\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[2^{3(p-1)}\beta^p|Y_j|^{2p}]\\ & = \widetilde{c}\Delta t M(1+2^{2(p-1)})2^{p-1}+\widetilde{c}2^{3(p-1)}\beta^p\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.79}\]

Por definición de la constante \(\widetilde{c}\) tenemos que

\[ \begin{aligned} \widetilde{c}\Delta t M & (1+2^{2(p-1)})2^{p-1}\\ & = \frac{C_p T^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}}{2}\cdot\Delta t M(1+2^{2(p-1)})2^{p-1}\\ & \leq \frac{C_pT^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}T(1+2^{2(p-1)})(2^{p-1})}{2}\\ & \leq C_pT^{p/2}L_{\lambda}^{p/2}(1+2^{2(p-1)})(2^{p-1}). \end{aligned} \tag{6.80}\]

Por otro lado

\[ \begin{aligned} \widetilde{c}2^{3(p-1)}\beta^p & = \frac{C_p T^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}}{2}\cdot 2^{3(p-1)}\\ & \leq C_p T^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}2^{3(p-1)}. \end{aligned} \tag{6.81}\]

De la Ecuación 6.80 y Ecuación 6.81 definimos las constantes

\[ \begin{aligned} c_7 & = C_pT^{p/2}L_{\lambda}^{p/2}(1+2^{2(p-1)})(2^{p-1}),\\ c_8 & = C_p T^{p/2-1}L_{\lambda}^{p/2}2^{3(p-1)}. \end{aligned} \]

Reconstruyendo nuevamente la constante \(C\) mediante

\[ C:=\max\{c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_5,c_7,c_8\}. \]

Entonces la Ecuación 6.79 queda acotada

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*g(Y_j^*)\Delta W_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq \widetilde{c}\Delta t M(1+2^{2(p-1)})2^{p-1}+\widetilde{c}2^{3(p-1)}\beta^p\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\\ & \leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.82}\]

Para el noveno término de la Ecuación 6.42 basta notar que la función \(h\) posse las mismas propiedades que la función \(g\) y considerar que \(\mathbb{E}[|\Delta\widetilde{N}_j|^2]=\lambda\Delta t\). Por ende es posible realizar un proceso similar y obtener la siguiente cota

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}Y_j^*h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|^p\Bigg]\leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \tag{6.83}\]

El décimo y último término de la Ecuación 6.42 viene dado por

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|\Bigg]. \tag{6.84}\]

Notemos que para cada \(j=0,1\ldots,n-1\) se tiene

\[ |g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|\leq \frac{1}{2}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^2). \]

Sumando sobre \(j=0,1,\ldots,n-1\) y considerando la desigualdad triangular se tiene

\[ \begin{aligned} \Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|& \leq \sum\limits_{j=0}^{n-1}|g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|\\ & \leq \sum\limits_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2)\\ & = \frac{1}{2}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2). \end{aligned} \]

Al elevar ambos lados de la desigualdad anterior a la potencia \(p\) y tomar supremo sobre \(n=0,1,\ldots,M\), entonces

\[ \begin{aligned} \sup\limits_{0\leq n\leq M} & \Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|^p\\ & \leq \frac{1}{2^p}\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg(\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2)\Bigg)^p. \end{aligned} \]

Notemos que la tomar valor esperado, tenemos como resultado la primera cota de la Ecuación 6.84

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}&\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M} \Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq \frac{1}{2^p}\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg(\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2)\Bigg)^p\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.85}\]

Consideramos la siguiente notación

\[ a_j = |g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^2. \]

Con esto, aplicando el Teorema 3.9 al término del supremo de la derecha en la Ecuación 6.85, además, considerando que \(n\leq M\) entonces

\[ \begin{aligned} \Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j\Bigg|^p & \leq n^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j^p\\ & \leq M^{p-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j^p. \end{aligned} \]

Al tomar supremo en \(0\leq n\leq M\)

\[ \begin{aligned} \sup\limits_{0\leq n\leq M} & \Bigg(\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2)\Bigg)^p\\ & \leq M^{p-1}\sup\limits_{0\leq n\leq M}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^2)^p. \end{aligned} \]

Note que para cada \(j=0,1,\ldots n\) se tiene \(a_j^p>0\), por lo que la suma anterior es creciente y por tanto alcanza su supremo cuando \(n=M\), así tomando valor esperado y sustituyendo en Ecuación 6.85

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}&\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq \frac{1}{2^p}\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg(\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j|^2)\Bigg)^p\Bigg]\\ & \leq \frac{1}{2^p}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\sum\limits_{j=0}^{n-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^2)^p\Bigg]\\ & = \frac{1}{2^p}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^2)^p\Bigg]. \end{aligned} \]

Para cada \(j\) aplicamos la desigualdad \((a+b)^p\leq 2^{p-1}(a^p+b^p)\), de aquí

\[ (|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^2)^p\leq 2^{p-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^{2p}). \]

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}&\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq \frac{1}{2^p}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^2+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^2)^p\Bigg]\\ & \leq \frac{1}{2^p}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}2^{p-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^{2p})\Bigg]\\ & = \frac{2^{p-1}}{2^p}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^{2p})\Bigg]\\ & = \frac{1}{2}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}(|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}+|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^{2p})\Bigg]\\ & = \frac{1}{2}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}\Bigg]\\ &\qquad\quad +\frac{1}{2}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^{2p}\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.86}\]

Notemos que por la construcción de las cotas para el cuarto y quinto término de la Ecuación 6.42, estás dadas por la Ecuación 6.55 y Ecuación 6.56 respectivamente, tenemos que

\[ \begin{aligned} M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}\Bigg] & \leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}],\\ M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^{2p}\Bigg]& \leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en Ecuación 6.86

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}&\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}\Bigg|\sum\limits_{j=0}^{n-1}g(Y_j^*)\Delta W_jh(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j\Bigg|^p\Bigg]\\ & \leq \frac{1}{2}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|g(Y_j^*)\Delta W_j|^{2p}\Bigg]\\ &\qquad +\frac{1}{2}M^{p-1}\mathbb{E}\Bigg[\sum\limits_{j=0}^{M-1}|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j|^{2p}\Bigg]\\ & \leq \frac{1}{2}\Bigg(C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg)\\ & \qquad + \frac{1}{2}\Bigg(C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg)\\ & = C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \end{aligned} \tag{6.87}\]

Usando siguientes ecuaciones

• Ecuación 6.44 (1°, 2°, 3° término),

• Ecuación 6.55 (4° término),

• Ecuación 6.56 (5° término),

• Ecuación 6.70 (6° término),

• Ecuación 6.72 (7° término),

• Ecuación 6.82 (8° término),

• Ecuación 6.83 (9° término),

• Ecuación 6.87 (10° término),

en la Ecuación 6.42 tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}(|Y_n|^{2p})\Bigg]\\ & \leq 10^{p-1}\Bigg\{C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}] \\ & \quad + C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\\ & \quad + C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\\ & \quad + 2^p r^p\Bigg(C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg)\\ & \quad + 2^p r^p\Bigg(C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg)\\ & \quad + \left(\frac{2}{\theta}\right)^p\Bigg(C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg)\\ & \quad + \left(\frac{2}{\theta}\right)^p\Bigg(C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg)\\ & \quad + 2^p \Bigg(C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\Bigg)\Bigg\}\\ & =lC+lC\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}], \end{aligned} \]

donde \(l\) es la constante auxiliar definida mediante:

\[ l:=\Bigg(10^{p-1}\Bigg(3+2^{p+1}r^p +\frac{2^{p+1}}{\theta^p}+2^p\Bigg)\Bigg). \]

Por la forma en la que se ha estado construyendo la constante \(C\), es posible realizar los ajustes necesarios tal que \(C\) absorba la constante \(l\), obteniendo

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}(|Y_n|^{2p})\Bigg]\leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]. \tag{6.88}\]

Es claro que para cada \(j=0,1,\ldots,M-1\) se cumple

\[ |Y_j|^{2p}\leq \sup\limits_{0\leq n\leq j} |Y_n|^{2p}. \]

Aplicando la esperanza y sustituyendo en la Ecuación 6.88 tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}(|Y_n|^{2p})\Bigg] & \leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}[|Y_j|^{2p}]\\ & \leq C+C\Delta t\sum\limits_{j=0}^{M-1}\mathbb{E}\left(\sup\limits_{0\leq k\leq j}|Y_n|^{2p}\right). \end{aligned} \]

Considerando el Lema 3.6, tomaremos a

\[ u_{M}:=\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n|^{2p}\Bigg] \quad\text{y}\quad A=B=C. \]

Recordando que \(M\) es tal que \(M\Delta t\leq T\). Entonces

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n|^{2p}\Bigg]\leq Ce^{CM\Delta t}\leq Ce^{CT}. \tag{6.89}\]

Por último, recordando la cota para \(|Y_n^*|^2\) dada por la Ecuación 6.25, tenemos que

\[ |Y_n^*|^2\leq \beta|Y_n|^2+\alpha \]

Elevando a la potencia \(p\) y aplicando nuevamente la desigualdad \((a+b)^p\leq 2^{p-1}(a^p+b^p)\), tenemos

\[ \begin{aligned} (|Y_n^*|^2)^p & = |Y_n^*|^{2p}\\ & \leq (\beta|Y_n|^2+\alpha)\\ & \leq 2^{p-1}(\beta^p|Y_n|^{2p}+\alpha^p). \end{aligned} \]

Tomando supremo en \(0\leq n\leq M\) y valor esperado tenemos

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n^*|^{2p}\Bigg]\leq 2^{p-1}\beta^p\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n|^{2p}\Bigg]+2^{p-1}\alpha^p. \]

Usando la cota dada por la Ecuación 6.89, se tiene que

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n^*|^{2p}\Bigg]\leq 2^{p-1}\beta^pCe^{CT}+2^{p-1}\alpha^p. \]

Por la Ecuación 6.43 es posible tener la siguiente cota

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n^*|^{2p}\Bigg] & \leq 2^{p-1}\beta^pCe^{CT}+2^{p-1}\alpha^p\\ & \leq 2^{p-1}\widetilde{\beta}^pCe^{CT}+2^{p-1}\widetilde{\alpha}^p. \end{aligned} \tag{6.90}\]

Definimos las siguientes constantes

\[ C':= 2^{p-1}\widetilde{\beta}^pC, \quad C'':= 2^{p-1}\widetilde{\alpha}^p. \]

Dado que \(C>0\) y \(T\geq 0\), se puede afirmar que \(e^{CT}\geq e^0 = 1\), por lo tanto, de la Ecuación 6.90 se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n^*|^{2p}\Bigg] & \leq 2^{p-1}\widetilde{\beta}^pCe^{CT}+2^{p-1}\widetilde{\alpha}^p\\ &\leq 2^{p-1}\widetilde{\beta}^pCe^{CT}+2^{p-1}\widetilde{\alpha}^pe^{CT}\\ &= (2^{p-1}\widetilde{\beta}^pC+2^{p-1}\widetilde{\alpha}^p)e^{CT}\\ & = (C'+C'')e^{CT}. \end{aligned} \]

Tomando a \(\widetilde{C}:=\max\{C',C''\}\) tenemos la cota

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n^*|^{2p}\Bigg]\leq (C'+C'')e^{CT}\leq \widetilde{C}e^{CT}. \]

Notemos que las constantes \(C\) y \(\widetilde{C}\) son positivas y dependen únicamente de \((p,T,\lambda,\theta,L_{\lambda},K_{\lambda},f_{\lambda}(0),g(0),h(0))\) e independiente de \(\Delta t\) y \(N_T\). Con esto, hemos logrado obtener las siguientes cotas

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n|^{2p}\Bigg]&\leq Ce^{CT},\\ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n^*|^{2p}\Bigg]& \leq \widetilde{C}e^{CT}. \end{aligned} \]

Por tanto, basta tommar \(A:=\max\{Ce^{CT}, \widetilde{C}e^{CT}\}\), con esto podemos concluir que

\[ \max\Bigg\{ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n|^{2p}\Bigg], \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\leq M}|Y_n^*|^{2p}\Bigg]\Bigg\}\leq A. \]

Lema 6.3 (Acotamiento uniforme de momentos para la extensión continua) Considerando la Ecuación 6.9, sea \(0\leq \theta\leq 1\) y supongamos que \(\Delta t>0\) satisface

\[ 0\leq \Delta t\leq \min\{1,\frac{1}{2\theta L_{\lambda}}\}. \]

Entonces para todo \(p\geq 1\), existe una constante positiva \(A_1\) independiente de \(\Delta t\) y \(N_T\), tal que

\[ \mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}(t)|^{2p}\right]\leq A_1, \]

donde \(\overline{Y}\) es la extensión en tiempo continuo dada por la Ecuación 6.7.

Demostración. Comenzaremos acotando la extensión continua denotada por \(\overline{Y}(t)\) y definida en la Ecuación 6.7, recordemos que dicha extensión se deriva de forma directa de la Ecuación 6.4 y Ecuación 6.5. Definimos \(s\in [0,\Delta t)\) como el tiempo local dentro del intervalo \([t_n,t_{n+1}]\). Sustituyendo \(t=t_n+s\) en Ecuación 6.7 tenemos

\[ \begin{aligned} \overline{Y}(t_n+s) & = Y_n+f_{\lambda}(Y_n^*)((t_n+s)-t_n)\\ & \quad +g(Y_n^*)(W(t_n+s)-W(t_n))+h(Y_n^*)(\widetilde{N}(t_n+s)-\widetilde{N}(t_n)). \end{aligned} \]

Considerando la siguiente notación

\[ \begin{aligned} \Delta W_n(s) & :=W(t_n+s)-W(t_n)\\ \Delta\widetilde{N}_n(s)&:=\widetilde{N}(t_n+s)-\widetilde{N}(t_n). \end{aligned} \]

Con esto, la ecuación anterior queda de la forma

\[ \begin{aligned} \overline{Y}(t_n+s) & = Y_n+f_{\lambda}(Y_n^*)(s)\\ & \quad +g(Y_n^*)\Delta W_n(s)+h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s). \end{aligned} \tag{6.91}\]

Considerando la Ecuación 6.4 tenemos

\[ f_{\lambda}(Y_n^*)=\frac{Y_n^*-Y_n}{\theta\Delta t}. \tag{6.92}\]

Definimos \(a:=s/\Delta t\), de esta forma \(a\in[0,1)\), de aquí, sustituyendo la Ecuación 6.92 en la Ecuación 6.91, y usando la definición de la variable auxiliar \(a\) tenemos

\[ \begin{aligned} \overline{Y}(t_n+s) & = Y_n+\frac{Y_n^*-Y_n}{\theta\Delta t}s\\ & \qquad\quad +g(Y_n^*)\Delta W_n(s)+h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)\\ & = Y_n+\frac{a}{\theta}(Y_n^*-Y_n)\\ & \qquad\quad +g(Y_n^*)\Delta W_n(s)+h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)\\ & = \frac{a}{\theta}Y_n^*+(1-\frac{a}{\theta})Y_n\\ & \qquad\quad +g(Y_n^*)\Delta W_n(s)+h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s). \end{aligned} \tag{6.93}\]

Considerando la siguiente desigualdad

\[ |x_1+x_2+x_3+x_4|^2\leq 4(|x_1|^2+|x_2|^2+|x_3|^2+|x_4|^2), \]

tomando valor absoluto y elevando al cuadrado la Ecuación 6.93 se genera la siguiente cota

\[ \begin{aligned} |\overline{Y}(t_n+s)|^2 & = \Bigg|\frac{a}{\theta}Y_n^*+\left(1-\frac{a}{\theta}\right)Y_n\\ & \qquad\quad +g(Y_n^*)\Delta W_n(s)+h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)\Bigg|^2\\ & \leq 4\Bigg(\Bigg|\frac{a}{\theta}Y_n^*\Bigg|^2+\Bigg|\left(1-\frac{a}{\theta}\right)Y_n\Bigg|^2\\ & \qquad\quad + |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^2+|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^2\Bigg). \end{aligned} \]

Dado que \(a\in [0,1)\) y \(\theta\in(0,1]\), esto implica que \(\displaystyle \frac{a}{\theta}\leq \frac{1}{\theta}\), más aún, se cumple \(\displaystyle \left|1-\frac{a}{\theta}\right|\leq 1+ \frac{1}{\theta}\). De aquí

\[ \begin{aligned} |\overline{Y}(t_n+s)|^2 & \leq 4\Bigg(\Bigg|\frac{a}{\theta}Y_n^*\Bigg|^2+\Bigg|\left(1-\frac{a}{\theta}\right)Y_n\Bigg|^2\\ & \qquad\quad + |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^2+|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^2\Bigg)\\ & \leq 4\Bigg(\frac{1}{\theta^2}|Y_n^*|^2+\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^2|Y_n|^2\\ & \qquad\quad + |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^2+|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^2\Bigg). \end{aligned} \tag{6.94}\]

Recordando la cota para el término \(|Y_n^*|^2\) dada por la Ecuación 6.25 y sustituyendo por los términos de la Ecuación 6.43 tenemos que

\[ |Y_n^*|^2\leq \beta|Y_n|^2+\alpha\leq \widetilde{\beta}|Y_n|^2+\widetilde{\alpha}^2. \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.94

\[ \begin{aligned} |\overline{Y}(t_n+s)|^2 & \leq 4\Bigg(\frac{1}{\theta^2}|Y_n^*|^2+\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^2|Y_n|^2\\ & \qquad\quad + |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^2+|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^2\Bigg)\\ & \leq 4\Bigg(\frac{1}{\theta^2}\left(\widetilde{\beta}|Y_n|^2+\widetilde{\alpha}^2\right)+\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^2|Y_n|^2\\ & \qquad\quad + |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^2+|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^2\Bigg)\\ & = 4\Bigg(\frac{\alpha}{\theta^2}+\left(\frac{\widetilde{\beta}}{\theta^2}\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^2\right)|Y_n|^2\\ & \qquad\quad + |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^2+|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^2\Bigg). \end{aligned} \tag{6.95}\]

Definimos ahora la constante \(C_1\) como se sigue

\[ C_1:=\max\Bigg\{\frac{4\widetilde{\alpha}}{\theta^2},\frac{4\widetilde{\beta}}{\theta^2}+4\left(1+\frac{1}{\theta}\right),4\Bigg\}. \]

De esta forma, la Ecuación 6.95 queda acotada de la forma

\[ \begin{aligned} |\overline{Y}(t_n+s)|^2 & \leq C_1\Bigg[1+|Y_n|^2+|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^2\\ &\qquad\quad\quad +|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^2\Bigg]. \end{aligned} \]

Notemos que esta nueva constante \(C_1\) es independiente de \(\Delta t\). Elevando a la potencia \(p\) tenemos

\[ \begin{aligned} |\overline{Y}(t_n+s)|^{2p} & \leq C_1\Bigg[1+|Y_n|^2+|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^2\\ &\qquad\quad\quad +|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^2\Bigg]^p\\ & \leq C_1\Bigg[4^{p-1}\Bigg(1+|Y_n|^{2p}+|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\\ & \qquad\quad\quad + |h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg)\Bigg]\\ & \leq C_1\Bigg(1+|Y_n|^{2p}+|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\\ & \qquad\quad\quad + |h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg). \end{aligned} \tag{6.96}\]

Al ser \(4^{p-1}\) dependiente de \(p\) es posible realizar los arreglos de tal forma que la constante \(C_1\) pueda absorber dicho término, como se realizó en el Lema 6.2 con la constante \(C\). Recordemos que \(t_n=n\Delta t\), luego el intervalo \([0,T]\) se divide en \(N_T+1\) subintervalos definidos por la malla de la forma

\[ [0,T]=[t_0,t_1)\cup [t_1,t_2)\cup\cdots\cup[t_{N_T-1},t_{N_T})\cup [t_{N_T},T). \]

Donde \(N_T\) es el mayor entero tal que \(N_T\Delta t\leq T\). Por otro lado, recordemos que para cualquier función real definida sobre un intervalo, en nuestro caso \([0,T]\), el supremo global coincide con el supremo de los supremos locales, es decir,

\[ \sup\limits_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}(t)|^{2p}=\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}\Bigg(\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|\overline{Y}(t_n+s)|^{2p}\Bigg). \]

Por tanto, tomando supremo local a la Ecuación 6.96 tenemos

\[ \begin{aligned} \sup\limits_{0\leq t\leq T}&|\overline{Y}(t)|^{2p}= \sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}\Bigg(\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|\overline{Y}(t_n+s)|^{2p}\Bigg)\\ & \leq \sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}\Bigg(\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}C_1\Bigg(1+|Y_n|^{2p}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad + |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad + |h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg)\Bigg)\\ & = C_1\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}\Bigg(1+\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|Y_n|^{2p}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad + \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t} |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad + \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg)\\ & = C_1\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}\Bigg(1+|Y_n|^{2p}+ \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t} |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad + \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg). \end{aligned} \tag{6.97}\]

Consideramos la Proposición 3.1. Tomando a

\[ F(n,s)=|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}, \]

entonces, al distribuir el segundo supremo de la Ecuación 6.97, notemos que para el tercer término, tenemos

\[ \begin{aligned} \sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}&\Bigg(\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\Bigg)\\ & =\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\Bigg). \end{aligned} \tag{6.98}\]

De igual forma, aplicamos este mismo resultado para el cuarto término, es decir,

\[ \begin{aligned} \sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T} & \Bigg(\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg)\\ & =\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg). \end{aligned} \tag{6.99}\]

Por definición, tenemos que \(N_T=\max\{n\in \mathbb{N}:n\Delta t\leq T\}\), con esto, la condición \(0\leq n\Delta t\leq T\) es equivalente para \(n\in \{0,1,2,\ldots,N_T\}\). Queremos usar el siguiente resultado el cuál dicta que para cualquier secuencia finita de números reales no negativos \(\{a_j\}_{j=0}^N\) se cumple

\[ \max\limits_{0\leq j\leq N}a_j\leq \sum\limits_{j=0}^N a_j. \]

En nuestro caso los términos no negativos son \(|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\) y \(|h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n(s)|^{2p}\), además, notemos que el supremo sobre un conjunto discreto finito, \(n\Delta t\in [0,T]\) o bien \(n\in\{0,1,2,\ldots, N_T\}\) va a coincidir con el máximo, por lo tanto es valido usar la desigualdad mencionada, de tal forma que obtenemos

\[ \sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\leq \sum\limits_{j=0}^{N_T} |g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}. \]

De igual forma se tiene

\[ \sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n(s)|^{2p}\leq \sum\limits_{j=0}^{N_T} |h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j(s)|^{2p}. \]

Por lo tanto, Ecuación 6.98 y Ecuación 6.99 quedan de la forma

\[ \begin{aligned} \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\Bigg) & \leq \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(\sum\limits_{j=0}^{N_T} |g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg),\\ \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|h(Y_n^*)\Delta \widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg)&\leq \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(\sum\limits_{j=0}^{N_T} |h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j(s)|^{2p}\Bigg). \end{aligned} \]

De aquí, la Ecuación 6.97

\[ \begin{aligned} \sup\limits_{0\leq t\leq T}&|\overline{Y}(t)|^{2p}= \sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}\Bigg(\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|\overline{Y}(t_n+s)|^{2p}\Bigg)\\ & \leq C_1\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}\Bigg(1+|Y_n|^{2p}+ \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t} |g(Y_n^*)\Delta W_n(s)|^{2p}\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad + \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|h(Y_n^*)\Delta\widetilde{N}_n(s)|^{2p}\Bigg)\\ & \leq C_1\Bigg(1+\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|Y_n|^{2p}+ \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(\sum\limits_{j=0}^{N_T} |g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg)\\ & \qquad\quad\qquad + \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(\sum\limits_{j=0}^{N_T} |h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j(s)|^{2p}\Bigg)\Bigg)\\ & = C_1\Bigg(1+\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|Y_n|^{2p}+ \sum\limits_{j=0}^{N_T} \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg)\\ & \qquad\quad\qquad + \sum\limits_{j=0}^{N_T} \sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j(s)|^{2p}\Bigg)\Bigg). \end{aligned} \]

Tomando esperanza y aplicando la linealidad obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}&\Bigg[\sup\limits_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}(t)|^{2p}\Bigg]\\ & \leq C_1\Bigg(1+\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|Y_n|^{2p}\Bigg]\\ & \qquad\qquad + \sum\limits_{j=0}^{N_T} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg)\Bigg]\\ & \qquad\qquad + \sum\limits_{j=0}^{N_T}\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j(s)|^{2p}\Bigg)\Bigg]\Bigg). \end{aligned} \tag{6.100}\]

Puesto que \(g(Y_j^*)\Delta W_j(s)=g(Y_j^*)(W(t_j+s)-W(t_j))\), veamos que es una martingala continua. Para ello, fijaremos un paso discreto mediante \(j\in\{0,1,2,\ldots,N_T\}\) y definimos la siguiente filtración

\[ \mathcal{G}_s:=\mathcal{F}_{t_j+s},\qquad s\in [0,\Delta t]. \]

Para \(0\leq s_1\leq s_2\leq \Delta t\), se tiene que \(t_j+s_1\leq t_j+s_2\), al ser \(\{\mathcal{F}_t\}\) una filtración, entonces por definición es creciente y por tanto

\[ \mathcal{F}_{t_j+s_1}\subset \mathcal{F}_{t_j+s_2}, \]

esto equivale a \(\mathcal{G}_{s_1}\subset \mathcal{G}_{s_2}\), por lo que \(\{\mathcal{G}_s\}\) es una filtración. Recordemos que por construcción del método \(\text{CSS}\theta\) la filtración \(\mathcal{F}_t\) es continua por la derecha, es decir, satisface

\[ \mathcal{F}_t=\bigcap\limits_{u>t}\mathcal{F}_u,\quad \forall t\geq 0. \]

Note que para cualquier \(s\in[0,\Delta t]\) se cumple

\[ \mathcal{G}_s=\mathcal{F}_{t_j+s}=\bigcap\limits_{v>t_j+s}\mathcal{F}_v=\bigcap\limits_{u>s}\mathcal{F}_{t_j+u}=\bigcap\limits_{u>s}\mathcal{G}_u, \]

por lo que \(\{\mathcal{G}_s\}\) hereda la continuidad por la derecha de la filtración \(\{\mathcal{F}_t\}\). Finalmente, por hipótesis \(\mathcal{F}_0\) contiene todos los conjuntos \(P\)-nulos. Dado que \(t_j\geq 0\) y la filtración es creciente, esto implica que \(\mathcal{F}_0\subset\mathcal{F}_{t_j}=\mathcal{G}_0\), por lo tanto \(\mathcal{G}_0\) también contiene los conjuntos \(P\)-nulos. Con esto la filtración \(\{G\}_s\) esestá bien definida.

Luego como primer paso, demostraremos que \(g(Y_j^*)\Delta W_j(s)\) es \(\mathcal{G}_s\)-medible para todo \(s\in [0,\Delta t]\).

Por construcción del método \(\text{CSS}\theta\) sabemos que \(Y_j\) y \(Y_j^*\) son funciones medibles de los incrementos estocásticos hasta el tiempo \(t\), por lo que podemos afirmar que \(Y_j^*\) es \(\mathcal{F}_{t_j}\)-medible. Dado que \(\mathcal{F}_{t_j}\subset \mathcal{F}_{t_j+s}=\mathcal{G}_s\), esto implica que \(Y_j^*\) es \(\mathcal{G}_s\)-medible. Por ser \(g(Y_j^*)\) composición de una función continua con una variable \(\mathcal{G}_s\)-medible, entonces \(g(Y_j^*)\) también es \(\mathcal{G}_s\)-medible. Por definición de movimiento browniano, los incrementos, \(\Delta W_j(s)\) son \(\mathcal{F}_t\)-medibles, por lo tanto, tambien son \(\mathcal{G}_s\)-medibles. El producto de variables \(\mathcal{G}_s\)-medibles, en nuestro caso, \(g(Y_j^*)\) y \(\Delta W_j(s)\), es \(\mathcal{G}_s\)-medible.

Procedemos a demostrar que \(g(Y_j^*)\Delta W_j(s)=g(Y_j^*)(W(t_j+s)-W(t_j))\) es integrable, es decir, que cumple

\[ \mathbb{E}[|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|]=g(Y_j^*)(W(t_j+s)-W(t_j))<\infty, \quad \forall s\in [0,\Delta t]. \]

Usando la desigualdad dada por la Ecuación 6.19, tomando \(x=Y_j^*\), tenemos

\[ \begin{aligned} |g(Y_j^*)|^{2p} & \leq (L_{\lambda}(1+|Y_j^*|^2))^p\\ & = L_{\lambda}^p(1+|Y_j^*|^2)^p\\ & \leq L_{\lambda}^p(2^{p-1}(1+|Y_j^*|^{2p}))\\ & = 2^{p-1}L_{\lambda}^p(1+|Y_j^*|^{2p}). \end{aligned} \]

Al aplicar esperanza y usar el Lema 6.2 tenemos que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]& \leq \mathbb{E}[2^{p-1}L_{\lambda}^p(1+|Y_j^*|^{2p})]\\ & = 2^{p-1}L_{\lambda}^p(1+\mathbb{E}[|Y_j^*|^{2p}])\\ & \leq 2^{p-1}L_{\lambda}^p(1+A)<\infty. \end{aligned} \]

Para nuestro caso, \(p=1\), con esto

\[ \mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2}]\leq L_{\lambda}(1+A)<\infty. \]

Luego, al ser \(\Delta W_j(s)\) un incremento browniano, entonces se cumple

\[ \mathbb{E}[|\Delta W_j(s)|^2]=\mathbb{E}[|W(t_j+s)-W(t_j)|^2]=(t_j+s)-t_j=s\leq \Delta t<\infty. \]

Usando el Teorema 3.8, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|] & \leq \sqrt{\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^2]}\cdot \sqrt{\mathbb{E}[|\Delta W_j(s)|^2]}\\ & \leq \sqrt{L_{\lambda}(1+A)}\cdot \sqrt{\Delta t}<\infty. \end{aligned} \]

Por lo tanto, el proceso es integrable. Por último, debemos probar que posee la propiedad de martingala, es decir, para \(0\leq u\leq s\) se debe cumplir

\[ \mathbb{E}[g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|\mathcal{G}_u]= g(Y_j^*)\Delta W_j(u). \]

Mediante argumentos previamente abordados se puede afirmar que el factor \(g(Y_j^*)\) es \(\mathcal{G}_u\)-medible y además es posible factorizarlo fuera de la esperanza condicional, esto es

\[ \mathbb{E}[g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|\mathcal{G}_u]=g(Y_j^*)\mathbb{E}[\Delta W_j(s)|\mathcal{F}_{t_j+u}], \]

donde recordemos que \(\mathcal{G}_u=\mathcal{F}_{t_j+u}\). Por otro lado, realizando la siguiente manipulación al incremento browniano

\[ W(t_j+s) - W(t_j) = (W(t_j+s) - W(t_j+u)) + (W(t_j+u) - W(t_j)). \]

Aplicando esperanza condicional y su respectiva linealidad se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} [W(t_j+s) - W(t_j)|\mathcal{F}_{t_j+u}] & = \mathbb{E}[W(t_j+s) - W(t_j+u)|\mathcal{F}_{t_j+u}]\\ &\qquad +\mathbb{E}[W(t_j+u) - W(t_j)|\mathcal{F}_{t_j+u}]. \end{aligned} \]

Por la propiedad de incrementos independientes del movimiento browniano, tenemos que

\[ \mathbb{E}[W(t_j+s) - W(t_j+u)|\mathcal{F}_{t_j+u}]=0. \]

Además, dado que \(W(t_j+u)-W(t_j)\) es \(\mathcal{F}_{t_j+u}\)-medible, por lo que

\[ \mathbb{E}[W(t_j+u) - W(t_j)|\mathcal{F}_{t_j+u}]=W(t_j+u) - W(t_j)=\Delta W_j(u). \]

Por lo tanto

\[ \mathbb{E}[g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|\mathcal{G}_u]=g(Y_j^*)\mathbb{E}[\Delta W_j(s)|\mathcal{F}_{t_j+u}]=g(Y_j^*)\Delta W_j(u). \]

Con esto, queda demostrado que dicho proceso posee la propiedad de martingala. Por lo que podemos concluir que \(g(Y_j^*)\Delta W_j(s)\) es una martingala continua, lo que nos permite usar el Teorema 3.15 al tercer término de la Ecuación 6.100

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg]\leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)\Delta W_j(\Delta t)|^{2p}]. \]

Usando la linealidad del valor esperado a la ecuación anterior tenemos que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg] & \leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)\Delta W_j(\Delta t)|^{2p}]\\ & = \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\mathbb{E}[|\Delta W_j(\Delta t)|^{2p}]. \end{aligned} \]

En el Lema 6.2 se abordó que el valor esperado del incremento browniano está acotado por una constante \(c_p\) que depende únicamente de \(p\), esto en Ecuación 6.49. Para nuestro caso, tenemos el caso continuo, por lo que mediante un análisis similar, es posible afirmar que existe una constante \(K_p\) tal que solo depende de \(p\) y que cumple

\[ \mathbb{E}[|\Delta W_j(\Delta t)|^{2p}]\leq K_p(\Delta t)^p. \]

Considerando que \(\Delta t\leq 1\), esto a su vez implica que \((\Delta t)^{p-1}\leq 1\), además de usar la Ecuación 6.19 logramos obtener la siguiente cota

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg] & \leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}\mathbb{E}[|g(Y_j^*)|^{2p}]\mathbb{E}[|\Delta W_j(\Delta t)|^{2p}]\\ & \leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}\mathbb{E}[(L_{\lambda}(1+|Y_j^*|^2))^{p}]K_p(\Delta t)^{p}\\ & \leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}\mathbb{E}[L_{\lambda}^p 2^{p-1}(1+|Y_j^*|^{2p})]K_p\Delta t(\Delta t)^{p-1}\\ & \leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}2^{p-1}L_{\lambda}^pK_p\mathbb{E}[1+|Y_j^*|^{2p}]\Delta t. \end{aligned} \]

Usando la constante \(A\) del Lema 6.2 se tiene que

\[ \mathbb{E}[1+|Y_j^*|^{2p}]\leq \mathbb{E}[1+A]=(1+A), \]

entonces

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg] & \leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}2^{p-1}L_{\lambda}^pK_p\mathbb{E}[1+|Y_j^*|^{2p}]\Delta t\\ & \leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}2^{p-1}L_{\lambda}^pK_p(1+A)\Delta t. \end{aligned} \]

Bajo la misma metodología que se ha estado usando, los términos \(\displaystyle\Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}2^{p-1}L_{\lambda}^pK_p(1+A)\) quedarán absorbidos por la constante \(C_1\) de tal forma que de la desigualdad anterior se reduce

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg] & \leq \Bigg(\frac{2p}{2p-1}\Bigg)^{2p}2^{p-1}L_{\lambda}^pK_p(1+A)\Delta t\\ & \leq C_1\Delta t. \end{aligned} \tag{6.101}\]

De forma análoga, afirmamos que \(h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j(s)\) es una martingala lo que nos permite usar el mismo método previo para obtener

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}|h(Y_j^*)\Delta\widetilde{N}_j(s)|^{2p}\Bigg]\leq C_1\Delta t. \tag{6.102}\]

Usando las cotas de la Ecuación 6.101 y Ecuación 6.102, además usando el resultado del Lema 6.2, la Ecuación 6.100 queda de la forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}&\Bigg[\sup\limits_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}(t)|^{2p}\Bigg]\\ & \leq C_1\Bigg(1+\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq n\Delta t\leq T}|Y_n|^{2p}\Bigg]\\ & \qquad\qquad + \sum\limits_{j=0}^{N_T} \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(|g(Y_j^*)\Delta W_j(s)|^{2p}\Bigg)\Bigg]\\ & \qquad\qquad + \sum\limits_{j=0}^{N_T}\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq \Delta t}\Bigg(|h(Y_j^*)\Delta \widetilde{N}_j(s)|^{2p}\Bigg)\Bigg]\Bigg)\\ & \leq C_1\Bigg(1+A+\sum\limits_{j=0}^{N_T} C\Delta t + \sum\limits_{j=0}^{N_T} C\Delta t\Bigg)\\ & = C_1(1+A+C_1 N_T\Delta t + C_1N_T\Delta t). \end{aligned} \]

Dado que \(N_T\) es tal que \(N_T\Delta t\leq T\), basta tomar a \(A_1= C_1(1+A+C_1T + C_1T)\) de esta forma se tiene

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}(t)|^{2p}\Bigg]\leq A_1. \tag{6.103}\]

Lema 6.4 (Acotamiento de momentos de la solución exacta) Considerando la Ecuación 6.9, sea \(0\leq \theta\leq 1\) y supongamos que \(\Delta t>0\) satisface

\[ 0\leq \Delta t\leq \min\left\{1,\frac{1}{2\theta L_{\lambda}}\right\}. \]

Entonces para todo \(p\geq 4\), existe una constante positiva \(A_2\) independiente de \(\Delta t\) y \(N_T\), tal que

\[ \mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq t\leq T}|X(t)|^p\right]\leq A_2, \]

donde \(X(t)\) es la solución exacta de la Ecuación 6.1.

Demostración. Comenzaremos acotanto la solución exacta denotada por \(X(t)\) y definida en la Ecuación 6.1. Vamos a establecer una cota para el momento de orden \(p\geq 4\). Consideremos la siguiente función

\[ U(x)=(1+x^2)^{p/2}, \qquad p\geq 4, \]

tomando a \(x=X(t)\), aplicaremos la fórmula de Itô generalizada para \(U\in C^2(\mathbb{R})\), la cuál está dada en el Teorema 3.14

\[ \begin{aligned} U(X(t)) & = U(X_0)+\int_0^t\mathcal{L}U(X(s-))ds\\ & \qquad +\int_0^t U'(X(s-))g(X(s-))dW(s)\\ & \qquad +\int_0^t [U(X(s-)+h(X(s-)))-U(X(s-))]dN(s), \end{aligned} \tag{6.104}\]

donde \(\mathcal{L}\) es el operador infinitesimal para la parte de difusión, dado que estamos abordando el caso particular unidimensional dicho operador se reduce a

\[ \mathcal{L}U(x)=U'(x)f(x)+\frac{1}{2}g(x)^2U''(x). \]

Calculando la primera y segunda derivada de la función \(U\)

\[ \begin{aligned} U'(x) & = \frac{p}{2}(1+x^2)^{p/2-1} \cdot 2x = p(1+x^2)^{(p-2)/2}x, \\ U''(x) & = p\left[\frac{p-2}{2}(1+x^2)^{(p-4)/2} \cdot 2x \cdot x + (1+x^2)^{(p-2)/2} \cdot 1\right] \\ & = p(p-2)(1+x^2)^{(p-4)/2}x^2 + p(1+x^2)^{(p-2)/2}. \end{aligned} \tag{6.105}\]

Con esto, el segundo término de la Ecuación 6.104 queda

\[ \begin{aligned} \int_0^t & \mathcal{L}U(X(s-))ds\\ & = \int_0^t \Bigg(U'(X(s-))f(X(s-))+\frac{1}{2}g(X(s-))^2U''(X(s-))\Bigg)ds\\ & = \int_0^t\Bigg(p(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)f(X(s-))\\ & \qquad + \frac{1}{2}g(X(s-))^2\Bigg(p(p-2)(1+(X(s-))^2)^{(p-4)/2}(X(s-))^2\\ & \qquad + p(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}\Bigg)\Bigg)ds\\ & = \int_0^t\Bigg(p(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)f(X(s-))\\ & \qquad + \frac{p(p-2)}{2}g(X(s-))^2(1+(X(s-))^2)^{(p-4)/2}(X(s-))^2\\ & \qquad + \frac{p}{2}g(X(s-))^2(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}\Bigg)ds\\ & =p\int_0^t (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)f(X(s-))ds\\ & \qquad + \frac{p(p-2)}{2}\int_0^t(1+(X(s-))^2)^{(p-4)/2}(X(s-))^2g(X(s-))^2ds\\ & \qquad + \frac{p}{2}\int_0^t(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}g(X(s-))^2ds. \end{aligned} \tag{6.106}\]

Para el tercer término de la Ecuación 6.104 que corresponde a la integral estocástica respecto al movimiento browniano basta con sustituir la primera derivada de la función \(U\) dada en la Ecuación 6.105, de aquí

\[ \begin{aligned} \int_0^t & U'(X(s-))g(X(s-))dW(s) \\ & = p\int_0^t (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-)) dW(s). \end{aligned} \tag{6.107}\]

Finalmente para el cuarto y último término tenemos

\[ \begin{aligned} \int_0^t & \Big[U(X(s-)+h(X(s-))) - U(X(s-))\Big]\,dN(s) \\ & = \int_0^t \Bigg[ \Big(1+(X(s-)+h(X(s-)))^2\Big)^{p/2} - (1+(X(s-))^2)^{p/2} \Bigg]\,dN(s). \end{aligned} \tag{6.108}\]

Juntando la Ecuación 6.106, Ecuación 6.107 y Ecuación 6.108 en la Ecuación 6.104 tenemos

\[ \begin{aligned} U(X(t)) & = U(X_0)+\int_0^t\mathcal{L}U(X(s-))ds\\ & \qquad +\int_0^t U'(X(s-))g(X(s-))dW(s)\\ & \qquad +\int_0^t [U(X(s-)+h(X(s-)))-U(X(s-))]dN(s)\\ & = (1+X_0^2)^{p/2}\\ & \qquad + p\int_0^t (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)f(X(s-))ds\\ & \qquad + \frac{p}{2}\int_0^t(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}g(X(s-))^2ds\\ & \qquad + \frac{p(p-2)}{2}\int_0^t(1+(X(s-))^2)^{(p-4)/2}(X(s-))^2g(X(s-))^2ds\\ & \qquad + p\int_0^t (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-)) dW(s)\\ & \qquad + \int_0^t\Bigg[(1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg]dN(s). \end{aligned} \tag{6.109}\]

Haremos uso de la desigualdad dada por la Ecuación 6.19, sabemos que para números no negativos se cumple la desigualdad \((a+b)^2\leq 2a^2+2b^2\). Para acotar superiormente el término de salto de la fórmula de Itô, aplicamos la desigualdad triangular \(|x+h(x)|\leq |x|+|h(x)|\) lo que implica que

\[ \begin{aligned} 1+(|x|+|h(x)|)^2 & \leq 1 + 2|x|^2+2|h(x)|^2\\ & \leq 1+2|x^2|+2(2L_h|x|^2+2|h(0)|^2)\\ & = 1+4|h(0)|^2+(2+4L_h)|x|^2. \end{aligned} \]

Tomando a \(K_1:=\max\{1+4|h(0)|^2,2+4L_h\}\) se tiene

\[ 1+(|x|+|h(x)|)^2\leq K_1(1+|x|^2), \]

elevando a la potencia \(p/2\), lo que preserva la desigualdad ya que \(p/2>2>0\), obtenemos

\[ (1+(|x|+|h(x)|)^2)^{p/2}\leq K_1^{p/2}(1+|x|^2)^{p/2}. \]

Al restar de ambos lados el término \((1+|x|^2)^{p/2}\) y definiendo

\[ K:=2^{(p-2)/2}(K_1^{p/2}-1) \]

es posible obtener

\[ \begin{aligned} (1+(|x|+|h(x)|)^2)^{p/2} & - (1+|x|^2)^{p/2}\\ & \leq K_1^{p/2}(1+|x|^2)^{p/2} - (1+|x|^2)^{p/2}\\ & = (K_1^{p/2}-1)(1+|x|^2)^{p/2} \\ & \leq (K_1^{p/2}-1)2^{p/2-1}(1+(|x|^2)^{p/2})\\ & = (2^{(p-2)/2}(K_1^{p/2}-1))(1+|x|^p)\\ & = K(1+|x|^p). \end{aligned} \tag{6.110}\]

Necesitamos definir los siguientes tiempos de paro mediante

\[ \tau_N:= \min\{T,\inf\{t\in[0,T]:|X(t)|\geq N\}\}. \tag{6.111}\]

Nuestro objetivo es demostrar que \(\tau_N\rightarrow T\) casi seguramente cuando \(N\rightarrow\infty\), sin embargo, es necesario contar previamente con la validez de los siguientes resultados

Lema H1. Una función càdlàg definida en un intervalo compacto \([0,T]\) es acotada.

Demostración. Procediendo por contradicción, supongamos que \(f:[0,T]\rightarrow\mathbb{R}\) es una función càdlàg que no es acotada en \([0,T]\). Es decir, existe una sucesión \(\{t_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset[0,T]\) tal que

\[ |f(t_n)|\rightarrow\infty\quad\text{cuando}\quad n\rightarrow\infty. \]

Por el Teorema 3.2, como \([0,T]\) es compacto, existe una subsucesión \(\{t_{n_k}\}\) que converge a algún punto \(t^*\in[0,T]\), vale decir

\[ t_{n_k}\rightarrow t^*\quad\text{cuando}\quad k\rightarrow\infty. \]

Caso 1. \(t_{n_k}\rightarrow t^*\) por la derecha o eventualmente es constante. Como \(f\) es continua por la derecha en \(t^*\), tenemos que

\[ \lim\limits_{s\downarrow t} f(s)=f(t^*). \]

Esto implica que para cualquier \(\varepsilon>0\), existe \(\delta> 0\) tal que

\[ |f(s)-f(t^*)|<\varepsilon,\qquad\forall s\in [t^*,t^*+\delta). \]

En particular, \(f\) está acotada en \([t^*,t^*+\delta)\), lo que contardice que \(|f(t_n)|\rightarrow\infty\) para \(t_{n_k}\geq t^*\).

Caso 2. \(t_{n_k}\rightarrow t^*\) por la izquiera, es decir, \(t_{n_k} \uparrow t^*\). Por la propiedad càdlàg de \(f\), el límite por la izquierda

\[ f(t^{*-}) := \lim_{s \uparrow t^*} f(s) \]

existe y es finito. Por lo tanto, \(f(t_{n_k}) \rightarrow f(t^{*-})\) cuando \(k \rightarrow \infty\). Nuevamente, esto contradice que \(|f(t_{n_k})| \rightarrow \infty\). En ambos casos llegamos a una contradicción, por lo tanto, \(f\) debe ser acotada en \([0,T]\). \(\blacksquare\)

Lema. H2 Para casi todo \(\omega\in\Omega\), la trayectoria \(t\mapsto X(t,\omega)\) es acotada en \([0,T]\).

Demostración. Por las propiedades de las soluciones de EDEs con saltos de tipo Poisson, el proceso \(X(t)\) tiene trayectorias càdlàg casi seguramente. Esto implica que para cada \(\omega\in\Omega\), la función

\[ f_{\omega}:[0,T]\rightarrow\mathbb{R},\quad f_{\omega}(t)=X(t,\omega) \]

es càdlàg. Por H1, podemos afirmar que cada \(f_{\omega}\) es acotada en \([0,T]\). Por lo tanto, para casi todo \(\omega\), existe una constante \(M_{\omega}<\infty\) tal que

\[ \sup\limits_{t\in[0,T]}|X(t,\omega)|\leq M_\omega<\infty. \]

Basta definir a la variable \(\displaystyle M:=\sup\limits_{t\in[0,T]}|X(t)|\), entonces \(M<\infty\) casi seguramente. \(\blacksquare\)

Continuando con la prueba de \(\tau_N\rightarrow T,\) definimos al conjunto de probabilidad total donde las trayectorias son acotadas mediante

\[ \Omega_0:=\left\{\omega\in\Omega:\sup\limits_{t\in[0,T]}|X(t,w)|<\infty\right\}. \]

Por el Lema H2, tenemos que \(\mathbb{P}(\Omega_0)=1\). Fijando \(\omega\in\Omega_0\), por definición existe una constante \(M_{\omega}<\infty\) tal que

\[ |X(t,\omega)|\leq M_{\omega}, \qquad\forall t\in[0,T]. \]

Sea \(N\in\mathbb{N}\) tal que \(N>M_{\omega}\). La definición de tiempos de paro dada en la Ecuación 6.111 indica que

\[ \tau_N(\omega)=\min\{T,\inf\{t\in[0,T]:|X(t,\omega)|\geq N\}\}. \]

Como \(|X(t,\omega)|\leq M_{\omega}<N\) para todo \(t\in[0,T]\), entonces el conjunto de tiempos donde el proceso excede a \(N\) es vacío, es decir

\[ \{t\in[0,T]:|X(t,\omega)|\geq N\}=\emptyset. \]

Por la definición del ínfimo en los reales extendidos se tiene que \(\inf\emptyset=+\infty\). Por lo tanto

\[ \tau_N(\omega)=\min\{T,+\infty\}=T. \]

Con esto, para cada \(\omega\in\Omega_0\) existe \(N_{\omega}\) tal que \(\tau_N=T\) para todo \(N\geq N_{\omega}\), en particular podemos afirmar

\[ \lim\limits_{N\rightarrow\infty}\tau_N(\omega)=T, \qquad\forall \omega\in\Omega_0 \]

Cómo \(\mathbb{P}(\Omega_0)=1\), entonces \(\tau_N\) converge a \(T\) casi seguramente cuando \(N\rightarrow\infty\). Por otro lado, afirmamos que la secuencia \(\{\tau_N\}_{N\in \mathbb{N}}\) es creciente. Si \(N_1,N_2\in\mathbb{N}\) son tales que \(N_1<N_2\), esto implica que

\[ \{t:|X(T)|\geq N_2\}\subset\{t:|X(T)|\geq N_1\}. \]

Por lo tanto

\[ \inf\{t:|X(T)|\geq N_2\}\geq\inf\{t:|X(T)|\geq N_1\}. \]

Y así

\[ \tau_{N_2}=\min\{T,\inf\{t:|X(T)|\geq N_2\}\}\geq\min\{T,\inf\{t:|X(T)|\geq N_1\}\}=\tau_{N_1}. \]

Ya definido completamente los tiempos de paro, procedemos a definir el proceso truncado de la siguiente forma

\[ X(t\wedge\tau_N):=X(\min\{t,\tau_N\}) = \begin{cases} X(t) & \text{si}\quad t<\tau_N,\\ X(\tau_N) & \text{si}\quad t\geq\tau_N. \end{cases} \tag{6.112}\]

Afirmamos que existe una constante \(K_N<\infty\) tal que depende de \(N\) y cumple

\[ \sup\limits_{t\in[0,T]}|X(t\wedge\tau_N)|\leq K_N,\quad \text{c.s.} \]

Dado que \(X(t)\) tiene trayectorias càdlàg, para casi todo \(\omega\in \Omega\) y todo \(t<\tau_N(\Omega)\), se tiene \(|X(t,\omega)|<N\) por la definición del ínfimo.

Notemos que cuando \(t=\tau_N(\omega)\) el proceso \(X(t)\) puede experimentar un salto de Poisson. En este instante, el valor del proceso está dado por \(X(\tau_N) = X(\tau_N^-) + h(X(\tau_N^-))\Delta N(\tau_N)\). Dado que \(\Delta N(\tau_N) \in \{0, 1\}\), aplicando la desigualdad triangular obtenemos: \[ |X(\tau_N, \omega)| \leq |X(\tau_N^-, \omega)| + |h(X(\tau_N^-, \omega))|. \]

Por la definición de \(\tau_N\), el límite por la izquierda satisface \(|X(\tau_N^-, \omega)| \leq N\). El conjunto de valores posibles para \(X(\tau_N^-, \omega)\) está contenido en el intervalo cerrado y acotado:

\[ D_N:=\{x\in\mathbb{R}:|x|\leq N\}=[-N,N]. \]

Por el Teorema 3.1, \(D_N\) es un conjunto compacto. Dado que por hipótesis \(h\) es continua, el Teorema 3.3 garantiza que \(h\) alcanza su máximo absoluto en \(D_N\). Por tanto, podemos definir la constante

\[ C_N:=\max\limits_{|x|\leq N}|h(x)|<\infty. \]

Sustituyendo esto en nuestra cota, obtenemos

\[ |X(\tau_N,\omega)|\leq |X(\tau_N-,\omega)|+|h(X(\tau_N-,\omega))|\leq N+C_N. \]

Finalmente, para \(t>\tau_N(\omega)\), el proceso truncado se mantiene constante en \(X(\tau_N,\omega)\). Por lo tanto basta tomar a \(K_N=N+C_N\) lo que cumple

\[ \sup\limits_{t\in[0,T]}|X(t\wedge\tau_N)|\leq K_N, \]

casi seguramente.

Ya definidos estos resultados, evaluamos la Ecuación 6.109 en el tiempo de paro y tomamos esperanza

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & [1+ X(t\wedge\tau_N)^{2}]^{p/2}\\ & = \mathbb{E}[(1+X_0^2)^{p/2}]\\ & \quad + p\mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N} (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)f(X(s-))ds\Bigg]\\ & \quad + \frac{p}{2}\mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}g(X(s-))^2ds\Bigg]\\ & \quad + \frac{p(p-2)}{2}\mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}(1+(X(s-))^2)^{(p-4)/2}(X(s-))^2g(X(s-))^2ds\Bigg]\\ & \quad + p\mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N} (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-)) dW(s)\Bigg]\\ & \quad + \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}\Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)dN(s)\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.113}\]

Comenzaremos estudiando el término correspondiente al movimiento browniano dado por

\[ M_W(t):=\int_0^{t\wedge\tau_N} (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-)) dW(s). \tag{6.114}\]

Demostraremos que esta integral estocástica es una martingala, lo cual grantiza que su esperanza sea cero. Para ello, es suficiente probar que el integrando pertenece al espacio \(L^2\), es decir, que su norma cuadrada tiene esperanza finita:

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N} |(1+X(s-))^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-))|^2\Bigg]<\infty,\quad s\in[0,t\wedge\tau_N]. \tag{6.115}\]

Si esto se cumple, entonces la propiedad de martingala nos asegura que \(\mathbb{E}[M_W(t)]=0\). Desarrollando el integrando, notemos que

\[ \begin{aligned} \left|(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-))\right|^2 & = (1+(X(s-))^2)^{p-2}(X(s-))^2|g(X(s-))|^2. \end{aligned} \]

Usando la cota dada por la Ecuación 6.19, tomando a \(x=X(s-)\) se tiene

\[ \begin{aligned} |(1+X(s-))^{(p-2)/2}&X(s-)g(X(s-))|^2\\ & \leq L_{\lambda}(1+X(s-))^{p-1}X(s-)^2. \end{aligned} \tag{6.116}\]

Por la definición del tiempo de paro dado en la Ecuación 6.111, sabemos que para cualquier \(s\leq\tau_N\) el proceso satisface \(|X(s-)|\leq N\) casi seguramente. Esto implica que \(X(s-)^2\leq N^2\) y \((1+(X(s-))^2)\leq (1+N^2)\). Recordemos que para \(p\geq 4\), la función \(u\mapsto u^{p-1}\) es creciente para \(u\geq 1\). Por tanto de la Ecuación 6.116 obtenemos

\[ \begin{aligned} |(1+X(s-))^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-))|^2 & \leq (1+X(s-))^{p-1}X(s-)^2L_{\lambda}(1+X(s-)^2)\\ & \leq L_{\lambda}(1+N^2)^{p-1}N^2<\infty, \end{aligned} \]

al definir \(I:=L_{\lambda}(1+N^2)^{p-1}N^2\), la cual depende de \(N\), \(p\) y \(L_{\lambda}\), y considerando que el tiempo de paro satisface \(t\wedge\tau_N\leq T\) se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N} |(1+X(s-))^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-))|^2\Bigg] &\leq \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}Ids\Bigg]\\ & = I\cdot\mathbb{E}[t\wedge\tau_N]\\ & \leq I\cdot T\leq \infty. \end{aligned} \]

Con esto, queda demostrado que el integrando pertenece al espacio \(L^2\), por lo que la integral estocástica \(M_W(t)\) es una martingala cuadrado-integrable, y por la propiedad de las martingalas se afirma que

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N} (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)g(X(s-)) dW(s)\Bigg]ds=0. \tag{6.117}\]

Analizaremos el último término de la Ecuación 6.113 dado por

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}\Big((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Big)dN(s)\Bigg]. \tag{6.118}\]

Recordemos que el proceso de Poisson compensado está definido mediante

\[ \widetilde{N}(t)=N(t)-\lambda t. \]

Esto implica \(dN(s)=d\widetilde{N}(s)+\lambda ds\), sustituyendo en la integral de la Ecuación 6.118 se tiene

\[ \begin{aligned} \int_0^{t\wedge\tau_N} & \Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)dN(s)\\ & = \int_0^{t\wedge\tau_N}\Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)d\widetilde{N}(s)\\ & \qquad\quad + \lambda \int_0^{t\wedge\tau_N}\Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)ds. \end{aligned} \tag{6.119}\]

Bajo el mismo razonamiento que para el término browniano, demostraremos que la integral respecto a la martingala compensada \(d\widetilde{N}(s)\) es una martingala cuadrado-integrable, garantizando así que su esperanza sea cero. Para ello, debemos probar que el integrando pertenece al espacio \(L^2\), es decir, que cumple

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}\Big|(1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Big|^2ds\Bigg]<\infty. \]

Para acotar el integrando, utilizamos la desigualdad \((a+b)^2\leq 2a^2+2b^2\) y la monotonía de la función \(u\mapsto u^{p/2}\) para \(p\geq 4\). Primero, acotamos el argumento de la primera potencia:

\[ (X(s-)+h(X(s-)))^2 \leq 2(X(s-))^2 + 2|h(X(s-))|^2. \]

Usando la cota de crecimiento lineal de \(h\) dada por la Ecuación 6.19 y dado que \(|X(s-)|\leq N\) para \(s\leq\tau_N\), obtenemos

\[ \begin{aligned} |(1+(X(s-) & +h(X(s-)))^2)^{p/2} -(1+X(s-)^2)^{p/2}|\\ & \leq |(1+2X(s-)^2+2h(X(s-))^2)^{p/2}-(1+X(s-)^2)^{p/2}|\\ & \leq |(1+2X(s-)^2+2L_{\lambda}(1+X(s-)^2))^{p/2}-(1+X(s-)^2)^ {p/2}|\\ & \leq |(1+2N^2+2L_{\lambda}(1+N^2))^{p/2}-(1+N^2)^{p/2}|.\\ \end{aligned} \]

Al elevar al cuadrado se mantiene la desigualdad y se tiene

\[ \begin{aligned} |(1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2} & -(1+X(s-)^2)^{p/2}|^2\\ & \leq |(1+2N^2+2L_{\lambda}(1+N^2))^{p/2}-(1+N^2)^{p/2}|^2<\infty. \end{aligned} \]

Con esto, al integrar sobre el el intervalo \([0,t\wedge\tau_N]\) y tomar esperanza se tiene que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}|(1+(X(s-) + h(X(s-)))^2)^{p/2} - (1+X(s-)^2)^{p/2}|^2ds\Bigg]\\ & \leq \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}|(1+2N^2+2L_{\lambda}(1+N^2))^{p/2}-(1+N^2)^{p/2}|^2 ds\Bigg]\\ & = |(1+2N^2+2L_{\lambda}(1+N^2))^{p/2}-(1+N^2)^{p/2}|^2\mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}ds\Bigg]\\ & \leq |(1+2N^2+2L_{\lambda}(1+N^2))^{p/2}-(1+N^2)^{p/2}|^2\mathbb{E}[t\wedge\tau_N]\\ & \leq |(1+2N^2+2L_{\lambda}(1+N^2))^{p/2}-(1+N^2)^{p/2}|^2T<\infty. \end{aligned} \]

Con esto, queda demostrado que el integrando pertenece al espacio \(L^2\). Entonces, la integral estocástica respecto a \(d\widetilde{N}(s)\) es una martingala cuadrado-integrable, y se garantiza que si esperanza sea cero, es decir

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}\Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)d\widetilde{N}(s)\Bigg]=0. \]

Tomando valor esperado a la Ecuación 6.119 y considerando lo anterior, tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N} \Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)dN(s)\Bigg]\\ & = \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}\Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)d\widetilde{N}(s)\Bigg]\\ & \qquad\quad + \mathbb{E}\Bigg[\lambda \int_0^{t\wedge\tau_N}\Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)ds\Bigg]\\ & = \lambda \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}\Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)ds\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.120}\]

Sustituyendo la Ecuación 6.117 y la Ecuación 6.120 en la Ecuación 6.113 se obtiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\Big(1+X(t\wedge\tau_N)^{2}\Big)^{p/2}\Bigg]\\ & = \mathbb{E}\Bigg[\Big(1+X_0^2\Big)^{p/2}\Bigg]\\ & \quad + p\mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N} (1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}X(s-)f(X(s-))ds\Bigg]\\ & \quad + \frac{p}{2}\mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}(1+(X(s-))^2)^{(p-2)/2}g(X(s-))^2ds\Bigg]\\ & \quad + \frac{p(p-2)}{2}\mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}(1+(X(s-))^2)^{(p-4)/2}(X(s-))^2g(X(s-))^2ds\Bigg]\\ & \quad + \lambda \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}\Bigg((1+(X(s-)+h(X(s-)))^2)^{p/2}-(1+(X(s-))^2)^{p/2}\Bigg)ds\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.121}\]

Para facilitar la notación en lo que resta, usaremos \(x=X(s-)\). Acotaremos término a término de la Ecuación 6.121 haciendo uso de las cotas de crecimiento lineal. Para las siguientes manipulaciones, haremos uso de la Ecuación 6.19. Comenzando con el segundo término de la Ecuación 6.121 tenemos

\[ \begin{aligned} p(1+x^2)^{(p-2)/2}xf(x) & \leq p(1+x^2)^{(p-2)/2}L_{\lambda}(1+x^2)\\ & = L_{\lambda}p(1+x^2)^{p/2}. \end{aligned} \tag{6.122}\]

Para el tercer término, contemplamos que \(g(x)^2\leq |g(x)|^2\) para poder hacer uso de la Ecuación 6.19, con esto

\[ \begin{aligned} \frac{p}{2}(1+x^2)^{(p-2)/2}g(x)^2 & \leq \frac{p}{2}(1+x^2)^{(p-2)/2}L_{\lambda}(1+x^2)\\ & = \frac{pL_{\lambda}}{2}(1+x^2)^{p/2}. \end{aligned} \tag{6.123}\]

El producto \(xg(x)\) se puede acotar mediante el Lema 3.3, de esta forma

\[ \begin{aligned} xg(x) & \leq \frac{1}{2}(x^2+g(x)^2)\\ & \leq \frac{1}{2}(x^2+L_{\lambda}(1+x^2))\\ & = \frac{1}{2}(L_{\lambda}+(1+L_{\lambda})x^2)\\ & \leq \frac{1}{2}((1+L_{\lambda})+(1+L_{\lambda})x^2) \\ & = \frac{1+L_{\lambda}}{2}(1+x^2). \end{aligned} \]

Esto implica que

\[ x^2g(x)^2\leq \frac{(1+L_{\lambda})^2}{4}(1+x^2)^2. \]

Con esto, el cuarto término se acota mediante

\[ \begin{aligned} \frac{p(p-2)}{2}(1 & +x^2)^{(p-4)/2} x^2g(x)^2\\ & \leq \frac{p(p-2)}{2}(1+x^2)^{(p-4)/2}\frac{(1+L_{\lambda})^2}{4}(1+x^2)^2\\ & = \frac{p(p-2)(1+L_{\lambda}^2)}{8}(1+x^2)^{p/2}. \end{aligned} \tag{6.124}\]

Finalmente, para el quinto término de la Ecuación 6.121. Recordemos la cota derivada en la Ecuación 6.110, donde demostramos que la diferencia de saltos está cotada por \(K(1+|x|^p)\). Dado que \((1+|x|^p)\leq 2^{(p-2)/2}(1+x^2)^{p/2}\), podemos acotar este término directamente como

\[ \begin{aligned} \lambda((1 & +(x+h(x))^2)^{p/2}-(1+x^2)^{p/2})\\ & \leq \lambda K(1+|x|^p)\\ & \leq \lambda K 2^{(p-2)/2}(1+x^2)^{p/2}. \end{aligned} \tag{6.125}\]

Sustituyendo la Ecuación 6.122, Ecuación 6.123, Ecuación 6.124 y Ecuación 6.125 en la Ecuación 6.121

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} [1+X( & t\wedge\tau_N)^{2}]^{p/2}\\ & \leq \mathbb{E}[1+X_0^2]^{p/2}\\ & \quad + \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}L_{\lambda}p(1+X(s-)^2)^{p/2}ds\Bigg]\\ & \quad + \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}L_{\lambda}p(1+X(s-)^2)^{p/2}ds\Bigg]\\ & \quad + \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}\frac{p(p-2)(1+L_{\lambda}^2)}{8}(1+X(s-)^2)^{p/2}ds\Bigg]\\ & \quad + \mathbb{E}\Bigg[\int_0^{t\wedge\tau_N}(\lambda K 2^{(p-2)/2}(1+x^2)^{p/2}ds\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.126}\]

Definimos la constante

\[ \overline{K}:= L_{\lambda}p + \frac{L_{\lambda}p}{2} + \frac{p(p-2)(1+L_{\lambda}^2)}{8} + (2^{(p-2)/2}\lambda K), \]

la cual es independiente de \(N\) y \(t\). De esta forma, la Ecuación 6.126 queda

\[ \mathbb{E} [1+X(t\wedge\tau_N)^{2}]^{p/2}\leq \mathbb{E}[1+X_0^2]^{p/2} + \overline{K}\mathbb{E}\Bigg[\int_{0}^{t\wedge\tau_N}(1+X(s-)^2)^{p/2}ds\Bigg]. \]

Dado que la solución \(X(t)\) es un proceso càdlàg, su conjunto de puntos de discontinuidad es a lo más numerable y, por tanto, tiene medida de Lebesgue cero. Esto implica que \(X(s-)=X(s)\) para casi todo \(s\in[0,t]\) , casi seguramente. En términos de la medida de Lebesgue \(ds\) podemos reescribir la Ecuación 6.126 como

\[ \mathbb{E} [1+X(t\wedge\tau_N)^{2}]^{p/2}\leq \mathbb{E} \Big[(1+X_0^2)^{p/2}\Big] + \overline{K}\mathbb{E}\Bigg[\int_{0}^{t\wedge\tau_N}(1+X(s)^2)^{p/2}ds\Bigg]. \tag{6.127}\]

Para poder aplicar el Teorema 3.18, necesitamos cambiar el límite superior de integración de \(t\wedge\tau_N\) a \(t\). Haremos uso de la función indicadora definida por

\[ 1_{s\leq\tau_N} = \begin{cases} 1 & \text{si } s\leq\tau_N,\\ 0 & \text{si } s>\tau_N. \end{cases} \]

Con esto, podemos reescribir la integral de la Ecuación 6.127 y aplicamos el Teorema 3.7, dado que el integrando es no negativo, para intercambiar el orden de la integral y la esperanza, obteniendo

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\int_{0}^{t\wedge\tau_N}(1+X(s)^2)^{p/2}ds\Bigg] & = \mathbb{E}\Bigg[\int_0^t (1+X(s)^2)^{p/2}1_{s\leq\tau_N}ds\Bigg]\\ & = \int_0^t \mathbb{E}\Big[(1+X(s)^2)^{p/2}1_{s\leq\tau_N}\Big]ds. \end{aligned} \tag{6.128}\]

Dentro de la esperanza, estamos evaluando la función en el evento \(\{s\leq\tau_N\}\). Por la definición del tiempo de paro, en este evento se cumple que \(s\wedge \tau_N = s\), por lo que \(X(s)=X(s\wedge\tau_N)\). Además, como la función indicadora satisface \(1_{s\leq\tau_N}\leq 1\), podemos eliminarla para obtener una cota superior

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\int_{0}^{t\wedge\tau_N}(1+X(s)^2)^{p/2}ds\Bigg] & = \int_0^t \mathbb{E}[(1+X(s\wedge\tau_N)^2)^{p/2}1_{s\leq\tau_N}]ds\\ & \leq \int_0^t \mathbb{E}\Big[\Big(1+X(s\wedge\tau_N)^2\Big)^{p/2}\Big]ds. \end{aligned} \tag{6.129}\]

Sustituyendo la Ecuación 6.129 en la Ecuación 6.127 obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} [1+X(t\wedge\tau_N)^{2}]^{p/2} & \leq \mathbb{E}\Big[(1+X_0^2)^{p/2}\Big] + \overline{K}\mathbb{E}\Bigg[\int_{0}^{t\wedge\tau_N}(1+X(s)^2)^{p/2}ds\Bigg]\\ & \leq \mathbb{E}\Big[(1+X_0^2)^{p/2}\Big] + \overline{K}\int_0^t \mathbb{E}\Big[\Big(1+X(s\wedge\tau_N)^2\Big)^{p/2}\Big]ds. \end{aligned} \tag{6.130}\]

Para acotar el término inicial, aplicamos la desigualdad \((a+b)^r\leq 2^{r-1}(a^r+b^r)\), con \(r=p/2>2\)

\[ (1+X_0^2)^{p/2}\leq 2^{(p/2)-1}(1^{p/2}+(X_0^2)^{p/2})=2^{(p-2)/2}(1+X_0^p). \]

Aplicando valor esperado se tiene

\[ \mathbb{E}[(1+X_0^2)^{p/2}]\leq \mathbb{E}[2^{(p-2)/2}(1+X_0^p)]=2^{(p-2)/2}(1+\mathbb{E}[X_0^p]) \]

Usando la hipótesis de momentos fiinitos de la condición inicial \(\mathbb{E}[X_0^p]<\infty\), definimos la constante \(a:=2^{(p-2)/2}(1+\mathbb{E}[X_0^p])\geq 0\). Sustituyendo esto en la Ecuación 6.130 se obtiene

\[ \mathbb{E} [1+X(t\wedge\tau_N)^{2}]^{p/2} \leq a + K\int_0^t \mathbb{E}[1+X(s\wedge\tau_N)^2]^{p/2}ds. \]

Definimos la función \(u(t)=\mathbb{E}[1+X(t\wedge\tau_N)]^{p/2}\), la cuál es medible y no negativa. La desigualdad anterior toma la forma \(u(t)\leq a + \int_0^t \overline{K}u(s)ds\), con \(b(s)=K\). Por el Teorema 3.18, concluimos que

\[ u(t)\leq a\exp\Bigg(\int_0^t Kds\Bigg)=a\exp(Kt)\leq a\exp(KT),\qquad \forall t\in [0,T]. \]

Al escribir explícitamente \(u(t)\)

\[ \mathbb{E}[1+X(t\wedge\tau_N)]^{p/2}\leq 2^{(p-2)/2}(1+\mathbb{E}[X_0^p])e^{KT}. \tag{6.131}\]

Recordemos que \(\tau_N \rightarrow T\) casi seguramente cuando \(N\rightarrow\infty\). Al ser \(X(t)\) un proceso càdlàg, entonces por la continuidad por la derecha de sus trayectorias, se cumple \(X(t\wedge\tau_N)\rightarrow X(t)\) casi seguramente cuando \(N\rightarrow\infty\). Por la continuidad de la función \(x\mapsto(1+x^2)^{p/2}\) podemos afirmar que

\[ \lim_{N\rightarrow\infty}(1+X(t\wedge\tau_N)^2)^{p/2}=(1+X(t)^2)^{p/2},\quad \text{c.s.} \tag{6.132}\]

Como dicho límite existe, entonces el límite inferior coincide, es decir

\[ \liminf_{N \to \infty} \left( 1 + X(t \wedge \tau_N)^2 \right)^{p/2} = \lim_{N\rightarrow\infty}(1+X(t\wedge\tau_N)^2)^{p/2} \tag{6.133}\]

Consideremos la sucesión de variables aleatorias \(Y_N:=(1+X(t\wedge\tau_N)^2)^{p/2}\), la cual es una sucesión de términos no negativos. Lo que nos permite usar el Lema 3.1, obteniendo

\[ \mathbb{E}\left[\liminf_{N\rightarrow\infty}(1+X(t\wedge\tau_N)^2)^{p/2}\right]\leq \liminf_{N\rightarrow\infty}\mathbb{E}[1+X(t\wedge\tau_N)^2]^{p/2} \tag{6.134}\]

Por tanto, de la Ecuación 6.131, Ecuación 6.132, Ecuación 6.133 y Ecuación 6.134 se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[1+X(t)^2]^{p/2} & = \mathbb{E}\Bigg[\lim_{N\rightarrow\infty}(1+X(t\wedge\tau_N)^2)^{p/2}\Bigg]\\ & = \mathbb{E}\Bigg[\liminf_{N\rightarrow\infty}(1+X(t\wedge\tau_N)^2)^{p/2}\Bigg]\\ & \leq \liminf_{N\rightarrow\infty}\mathbb{E}[1+X(t\wedge\tau_N)^2]^{p/2}\\ & \leq \liminf_{N\rightarrow\infty}2^{(p-2)/2}(1+\mathbb{E}[X_0^p])e^{KT}\\ & = 2^{(p-2)/2}(1+\mathbb{E}[X_0^p])e^{KT}. \end{aligned} \tag{6.135}\]

Definimos la siguiente constante \(\widehat{C}:=2^{(p-2)/2}e^{KT}\), la cual es independiente de \(N\) y \(t\). Notemos que para \(x\in\mathbb{R}\) y \(p\geq 4\) se cumple \(|x|^p\leq (1+x^2)^{p/2}\), por tanto de la Ecuación 6.135 se obtiene la cota final para el momento \(p\)-ésimo de la solución \(X(t)\)

\[ \mathbb{E}[|X(t)|^p]\leq \mathbb{E}[(1+X(t)^2)^{p/2}]\leq \widehat{C}(1+\mathbb{E}[X_0^p]). \tag{6.136}\]

Haremos uso de las mismas técnicas para encontrar una cota para el término

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq t\leq T}|X(t)|^p\Bigg]. \]

Considerando la función \(u(x)=x^2\). A dicha función aplicaremos el Teorema 3.14 para \(u\in C^2(\mathbb{R})\) dada en la Ecuación 6.104. Nuevamente para facilitar la notación, haremos uso de \(x=X(s-)\). Es claro que la primera y segunda derivada de la función \(u\) están dadas por

\[ u'(x)=2x,\quad u''(x)=2, \]

respectivamente. Procedemos a calcular los términos de cada integrando de la Ecuación 6.104. Para el operador de la parte de difusión se tiene

\[ \begin{aligned} \mathcal{L}u(x) & = u'(x)f(x)+\frac{1}{2}g(x)^2u''(x)\\ & = 2xf(x)+\frac{1}{2}g(x)^2\cdot 2\\ & = 2xf(x)+g(x)^2. \end{aligned} \]

Para el término correspondiente al movimiento browniano tenemos

\[ u'(x)g(x) = 2xg(x). \]

Por último, para el término de Poisson se tiene

\[ \begin{aligned} u(x+h(x))-u(x) & = (x+h(x))^2-x^2\\ & = 2xh(x)+h(x)^2. \end{aligned} \]

Sustituyendo todo lo anterior en la Ecuación 6.104 se tiene

\[ \begin{aligned} u(X(t)) & = X(t)^2 \\ & = X_0^2 + \int_0^t (2X(s-)f(X(s-))+g(X(s-))^2)ds\\ & \qquad\quad + \int_0^t 2X(s-)g(X(s-))dW(s)\\ & \qquad\quad + \int_0^t (2X(s-)h(X(s-))+h(X(s-))^2)dN(s). \end{aligned} \tag{6.137}\]

Recordemos que el proceso de Poisson compensado está definido por \(N(t)=\widetilde{N}(t)+\lambda t\). Entonces, la integral con respecto a dicho proceso queda de la forma

\[ \begin{aligned} \int_0^t & (2X(s-)h(X(s-)) +h(X(s-))^2)dN(s)\\ & = \int_0^t(2X(s-)h(X(s-))+h(X(s-))^2)(d\widetilde{N}(s)+\lambda ds)\\ & = \int_0^t (2X(s-)h(X(s-))+h(X(s-))^2)d\widetilde{N}(s)\\ & \qquad + \lambda\int_0^t (2X(s-)h(X(s-))+h(X(s-))^2)ds. \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.137 tenemos

\[ \begin{aligned} X(t)^2 & = X_0^2 + \int_0^t (2X(s-)f(X(s-))+g(X(s-))^2)ds\\ & \qquad\quad + \int_0^t 2X(s-)g(X(s-))dW(s)\\ & \qquad\quad + \int_0^t (2X(s-)h(X(s-))+h(X(s-))^2)d\widetilde{N}(s)\\ & \qquad\quad + \lambda\int_0^t (2X(s-)h(X(s-))+h(X(s-))^2)ds. \end{aligned} \]

Agrupando las integrales respecto a \(ds\) y distribuyendo el término correspondiente al procceso de Poisson compensado, obtenemos la siguiente expresión

\[ \begin{aligned} X(t)^2 & = X_0^2 + \int_0^t \Big(2X(s-)f(X(s-))+g(X(s-))^2\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad +\lambda(2X(s-)h(X(s-))+h(X(s-))^2)\Big)ds\\ & \qquad\quad + 2\int_0^t X(s-)g(X(s-))dW(s)\\ & \qquad\quad + 2\int_0^t X(s-)h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\\ & \qquad\quad + \int_0^t h(X(s-))^2d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \tag{6.138}\]

Considerando la función \(f_\lambda\) definida en Ecuación 6.3 podemos reescribir la integral determinista de la Ecuación 6.138 como

\[ \begin{aligned} \int_0^t & \Big(2X(s-)f(X(s-))+g(X(s-))^2+\lambda(2X(s-)h(X(s-))+h(X(s-))^2)\Big)ds\\ & = \int_0^t \Big(2X(s-)(f(X(s-))+\lambda h(X(s-)))+g(X(s-))^2+\lambda h(x)^2\Big)ds\\ & = \int_0^t \Big(2X(s-)f_{\lambda}(X(s-))+|g(X(s-))|^2+\lambda |h(x)|^2\Big)ds. \end{aligned} \]

Ahora, hacemos uso de la cota de crecimiento lineal dada por la Ecuación 6.19. Aplicando esta cota a cada término del integrando, obtenemos

\[ \begin{aligned} 2xf_{\lambda}(x)+|g(x)|^2+\lambda |h(x)|^2 & \leq 2L_{\lambda}(1+x^2)+L_{\lambda}(1+x^2)+\lambda L_{\lambda}(1+x^2)\\ & = (3+\lambda)L_{\lambda}(1+x^2). \end{aligned} \]

Entonces la Ecuación 6.138 se reduce a

\[ \begin{aligned} X(t)^2 & \leq X_0^2 +(3+\lambda)L_{\lambda}\int_0^t(1+X(s-)^2)ds\\ & \qquad\quad + 2\int_0^t X(s-)g(X(s-))dW(s)\\ & \qquad\quad + 2\int_0^t X(s-)h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\\ & \qquad\quad + \int_0^t h(X(s-))^2d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \tag{6.139}\]

Notemos que en la integral determinista, es decir, la integral respecto a \(ds\), se cumple \(X(s)=X(s-)\), para casi todo \(s\). Esto se debe a que el conjunto de tiempos de salto del proceso de Poisson tiene medida de Lebesgue cero. Por otro lado, en las integrales estocásticas es necesario usar \(X(s-)\), esto para garantizar que el integrando sea predecible y que la integral preserve las propiedades de martingala.

Partiendo de la Ecuación 6.139, tomaremos valor absoluto y aplicando la desigualdad triangular se tiene

\[ \begin{aligned} |X(t)|^2 & \leq |X_0^2| +(3+\lambda)L_{\lambda}\Bigg|\int_0^t (1+X(s)^2)ds\Bigg|\\ & \qquad\quad + 2\Bigg|\int_0^t X(s-)g(X(s-))dW(s)\Bigg|\\ & \qquad\quad + 2\Bigg|\int_0^t X(s-)h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\Bigg|\\ & \qquad\quad + \Bigg|\int_0^t h(X(s-))^2d\widetilde{N}(s)\Bigg|. \end{aligned} \]

Aplicando el supremo sobre el intervalo \([0,t]\) en ambos lados, y considerando la propiedad del supremo para funciones no negativas, obtenemos

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^2 & \leq |X_0^2| +(3+\lambda)L_{\lambda}\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} (1+X(s)^2)ds\Bigg|\\ & \qquad\quad + 2\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)g(X(s-))dW(s)\Bigg|\\ & \qquad\quad + 2\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\Bigg|\\ & \qquad\quad + \sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} h(X(s-))^2d\widetilde{N}(s)\Bigg|. \end{aligned} \]

Dado que el integrando \((1+X(s))^2\) es no negativo, su integral correspondiente es creciente en \(\tau\), por lo que alcanza su supremo en el extremo del intervalo, es decir, cuando \(\tau=t\). Con esto,

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^2 & \leq |X_0^2| +(3+\lambda)L_{\lambda}\int_0^{t} (1+X(s)^2)ds\\ & \qquad\quad + 2\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)g(X(s-))dW(s)\Bigg|\\ & \qquad\quad + 2\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\Bigg|\\ & \qquad\quad + \sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} h(X(s-))^2d\widetilde{N}(s)\Bigg|. \end{aligned} \]

Al elevar a la potencia \(p/2\) y al aplicar el Lema 3.2, obtenemos

\[ \begin{aligned} \Bigg(\sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^2\Bigg)^{p/2} & \leq \Bigg(|X_0^2| +(3+\lambda)L_{\lambda}\Bigg|\int_0^{t} (1+X(s)^2)ds\Bigg|\\ & \qquad\quad + 2\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)g(X(s-))dW(s)\Bigg|\\ & \qquad\quad + 2\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\Bigg|\\ & \qquad\quad + \sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} h(X(s-))^2d\widetilde{N}(s)\Bigg|\Bigg)^{p/2}\\ & \leq 5^{(p-2)/2}\Bigg(|X_0^2|^{p/2} +((3+\lambda)L_{\lambda})^{p/2}\Bigg|\int_0^{t} (1+X(s)^2)\Bigg|^{p/2}ds\\ & \qquad\quad + 2^{p/2}\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)g(X(s-))dW(s)\Bigg|^{p/2}\\ & \qquad\quad + 2^{p/2}\sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\Bigg|^{p/2}\\ & \qquad\quad + \sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} h(X(s-))^2d\widetilde{N}(s)\Bigg|^{p/2}\Bigg). \end{aligned} \tag{6.140}\]

Para reducir la expresión anterior, definimos la siguiente constante

\[ \widehat{K}:=5^{(p-2)/2}\max\{1,((3+\lambda)L_{\lambda})^{p/2},2^{p/2}\}. \]

Es claro que \(\widehat{K}>0\). Notando que

\[ \Big(\sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^2\Big)^{p/2} = \sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^p, \]

la Ecuación 6.140 se reescribe de la forma

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq\tau\leq t}|X(t)|^p & \leq \widehat{K}\Bigg[|X_0|^p +\Bigg|\int_0^{t} (1+X(s)^2)\Bigg|^{p/2}ds\\ & \qquad\quad + \sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)g(X(s-))dW(s)\Bigg|^{p/2}\\ & \qquad\quad + \sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} X(s-)h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\Bigg|^{p/2}\\ & \qquad\quad + \sup_{0\leq\tau\leq t}\Bigg|\int_0^{\tau} h(X(s-))^2d\widetilde{N}(s)\Bigg|^{p/2}\Bigg]. \end{aligned} \]

Tomamos esperanza en ambos lados de la desigualdad obtenida previamente. Por la linealidad de la esperanza y la monotonía de la integral, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^p\right] & \leq \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[|X_0|^p\right] \\ & \quad + \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[\left(\int_0^{t} (1+X(s)^2)\,ds\right)^{p/2}\right] \\ & \quad + \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}\left|\int_0^{\tau} X(s-)g(X(s-))\,dW(s)\right|^{p/2}\right] \\ & \quad + \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}\left|\int_0^{\tau} X(s-)h(X(s-))\,d\widetilde{N}(s)\right|^{p/2}\right] \\ & \quad + \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}\left|\int_0^{\tau} h(X(s-))^2\,d\widetilde{N}(s)\right|^{p/2}\right]. \end{aligned} \tag{6.141}\]

Nos enfocamos ahora en acotar el término determinista, es decir, la esperanza de la integral respecto a \(ds\). Para ello, aplicamos el Teorema 3.9 para integrales o equivalentemente, el Teorema 3.10 para la medida de Lebesgue normalizada. Dado que \(p\geq 4\), el exponente \(q=p/2\) satisface \(q\geq 2>1\). Por lo tanto, para cualquier función medible y no negativa \(F(s)\), se cumple la desiguldad

\[ \left(\int_0^t F(s)\,ds\right)^q \leq t^{q-1}\int_0^t F(s)^q\,ds. \]

Tomando \(F(s)=1+X(s)^2\), \(q=p/2\) y recordando que \(t\in[0,T]\), obtenemos la siguiente cota determinista

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\left(\int_0^{t} (1+X(s)^2)\,ds\right)^{p/2}\right] & \leq T^{(p/2)-1}\mathbb{E}\left[\int_0^{t} (1+X(s)^2)^{p/2}\,ds\right]\\ & = T^{(p/2)-1}\int_0^{t} \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]ds, \end{aligned} \tag{6.142}\]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.141, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^p\right] & \leq \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[|X_0|^p\right] \\ & \quad + \widehat{K}\,T^{(p/2)-1}\int_0^{t} \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]ds \\ & \quad + \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}\left|M_W(\tau)\right|^{p/2}\right] \\ & \quad + \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}\left|M_{\widetilde{N},1}(\tau)\right|^{p/2}\right] \\ & \quad + \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}\left|M_{\widetilde{N},2}(\tau)\right|^{p/2}\right], \end{aligned} \tag{6.143}\]

donde

\[ \begin{aligned} M_W(\tau) & : = \int_0^{\tau} X(s-)g(X(s-))\,dW(s)\\ M_{\widetilde{N},1}(\tau) & : = \int_0^{\tau} X(s-)h(X(s-))\,d\widetilde{N}(s)\\ M_{\widetilde{N},2}(\tau) & : = \int_0^{\tau} h(X(s-))^2\,d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \]

Afirmamos que dichos procesos son martingalas. Para ello, desmotraremos que sus integrandos pertenecen al espacio \(L^2\). Haciendo uso de la cota de crecimiento lineal dada por la Ecuación 6.19, podemos acotar los cuadrados de nuestros integrandos de la siguiente manera

\[ \begin{aligned} |xg(x)|^2 & =|x|^2|g(x)|^2\leq |x|^2L_{\lambda}(1+|x|^2)\leq L_{\lambda}(1+|x|^2)^2,\\ |xh(x)|^2 & =|x|^2|h(x)|^2\leq |x|^2L_{\lambda}(1+|x|^2)\leq L_{\lambda}(1+|x|^2)^2,\\ |h(x)^2|^2 & =|h(x)|^4\leq L_{\lambda}^2(1+|x|^2)^2. \end{aligned} \]

Notemos que para cualquier \(x\in\mathbb{R}\), se cumple la desigualdad

\[ (1+|x|^2)^2\leq 4(1+|x|^4). \]

Dado que se establece por hipótesis que \(p\geq 4\), en la Ecuación 6.136 garantizamos que para momentos de orden \(q\leq p\) de la sokución exacta están uniformemente acotados. En particular para \(q=4\), se cumple

\[ \mathbb{E}\Big[|X(t)|^4\Big]\leq \sup_{0\leq \tau\leq T}\mathbb{E}\Big[|X(\tau)|^4\Big]\leq \widehat{C}(1+\mathbb{E}[X_0^4])\leq \infty. \]

Además, recordemos que \(X(s-)=X(s)\) para casi todo \(s\) respecto a la medida de Lebesgue, por lo que podemos omitir el signo de límite por la izquierda dentro de las integrales deterministas. Con esto, para el término browniano \(M_W(t)\), el integrando es \(X(s-)g(X(s-))\). Evaluamos su norma en \(L^2\)

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\int_0^t |X(s)g(X(s))|^2 \, ds\right] & = \mathbb{E}\left[\int_0^t|X(s)|^2|g(X(s))|^2\, ds\right]\\ & \leq \mathbb{E}\left[\int_0^t|X(s)|^2L_{\lambda}(1+|X(s)|^2)\, ds\right]\\ & \leq \mathbb{E}\left[\int_0^t L_\lambda(1+|X(s)|^2)^2 \, ds\right] \\ & \leq 4 L_\lambda \int_0^t \mathbb{E}\left[1 + |X(s)|^4\right] \, ds \\ & \leq 4 L_\lambda\left[\int_0^t ds +\sup_{0\leq \tau\leq t}\mathbb{E}\Big[|X(\tau)|^4\Big]\int_0^t\, ds\right]\\ & \leq \Big(4 L_\lambda+4 L_\lambda\widehat{C}(1+\mathbb{E}[X_0^4])\Big)T\leq \infty. \end{aligned} \]

Por lo tanto, \(M_W(t)\) es una martingala cuadrado-integrable. Recordemos que el término de difusión \(h\) posee la misma cota de crecimiento polinomial, por lo que se obtiene la misma cota, es decir,

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\int_0^t |X(s)h(X(s))|^2 \, ds\right] & \leq \Big(4 L_\lambda+4 L_\lambda\widehat{C}(1+\mathbb{E}[X_0^4])\Big)T\leq \infty. \end{aligned} \]

De esta forma, queda demostrado que \(M_{\widetilde{N},1}(t)\) también es una martingala-cuadrado integrable. Para el proceso \(M_{\widetilde{N},2}(t)\) se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\int_0^t |h(X(s))^2|^2 \, ds\right] & = \mathbb{E}\left[\int_0^t |h(X(s))|^4 \, ds\right] \\ & \leq \mathbb{E}\left[\int_0^t L_\lambda^2(1+|X(s)|^2)^2 \, ds\right] \\ & \leq 4 L_\lambda^2 \int_0^t \mathbb{E}\left[1 + |X(s)|^4\right] \, ds \\ & \leq \Big(4 L_\lambda^2+4 L_\lambda^2\widehat{C}(1+\mathbb{E}[X_0^4])\Big)T\leq \infty. \end{aligned} \]

Por lo tanto \(M_{\widetilde{N},2}\) es una martingala cuadrado-integrable. Con esto, hemos verificado que los procesos \(M_W(t)\), \(M_{\widetilde{N},1}\) y \(M_{\widetilde{N},2}\) pertenecen al espacio \(L^2\), lo que garantiza que son martingalas y nos permite aplicar el Teorema 3.16.

Para la martingala \(M_W(\tau)\), su variación cuadrática está dada por

\[ [ M_W ]_{\tau} = \int_0^\tau |X(s)g(X(s)|^2ds. \]

Aplicando el Teorema 3.16 con \(q=p/2\), nos indica que existe una constante \(C_{p/2,W}\) tal que

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq\tau\leq t}|M_W(\tau)|^{p/2}\Bigg]\leq C_{p/2,W}\mathbb{E}\Bigg[\Bigg(\int_0^t |X(s)g(X(s))|^2\, ds\Bigg)^{p/4}\Bigg]. \tag{6.144}\]

Para acotar el lado derecho, haremos uso del Teorema 3.9 para integrales con el exponente \(r=p/4\leq 1\)

\[ \begin{aligned} \left(\int_0^t |X(s-)g(X(s-))|^2\,ds\right)^{p/4} & \leq t^{p/4 - 1} \int_0^t |X(s-)g(X(s-))|^{p/2}\,ds\\ & \leq T^{p/4 - 1} \int_0^t |X(s-)g(X(s-))|^{p/2}\,ds. \end{aligned} \]

Tomando esperanza y usando el Teorema 3.7, ya que el integrando es no negativo, podemos obtener de la Ecuación 6.144

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq\tau\leq t}|M_W(\tau)|^{p/2}\Bigg]\leq C_{p/2,W}T^{p/4 - 1} \int_0^t |X(s-)g(X(s-))|^{p/2}\,ds.. \]

Usamos la cota de crecimiento lineal dada por la Ecuación 6.19, de la cual obtenemos

\[ |xg(x)|^2\leq L_{\lambda}(1+|x|^2)^2, \]

al elevar a la potencia \(p/4\), se tiene \(|xg(x)|^{p/2}\leq L_{\lambda}^{p/4}(1+|x|^2)^{p/2}\). Con esto, se tiene

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t} \left|\int_0^{\tau} X(s-)g(X(s-))\,dW(s)\right|^{p/2}\right] \leq K_1 \int_0^t \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]\,ds, \tag{6.145}\]

donde \(K_1 = C_{p/2,W}\, T^{p/4 - 1} \, L_\lambda^{p/4}\).

Considerando ahora la martingala de salto \(M_{\widetilde{N},1}(\tau)\), su variación cuadrática viene dada por

\[ [ M_{\widetilde{N},1}]_{t}=\lambda \int_0^t|X(s)h(X(s))|^2 ds. \]

Notemos que dicho término difiere de la constante \(\lambda>0\) a la variación cuadrática del proceso \(M_W(\tau)\), como \(h\) también satisface la cota de crecimiento lineal de la Ecuación 6.19, entonces es posible realizar el mismo procedimiento, aplicar el Teorema 3.16, el Teorema 3.9 y el Teorema 3.7 para llegar a

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t} \left|\int_0^{\tau} X(s-)h(X(s-))\,d\widetilde{N}(s)\right|^{p/2}\right] \leq K_2 \int_0^t \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]\,ds, \tag{6.146}\]

donde \(K_2 = C_{p/2,\widetilde{N},1} \, \lambda^{p/4} \, T^{p/4 - 1} \, L_\lambda^{p/4}\).

Por último consideremos la martingala \(M_{\widetilde{N},2}\), su variación cuadrática está dada por

\[ [ M_{\widetilde{N},1}]_{t}=\lambda \int_0^t|h(X(s))|^4 ds. \]

Aplicando el @Teorema 3.16, podemos afirmar que existe una constante positiva \(C_{p/2,\widetilde{N},2}>0\) tal que

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t} |M_{\widetilde{N},2}(\tau)|^{p/2}\right] \leq C_{p/2} \, \mathbb{E}\left[\left(\lambda \int_0^t |h(X(s))|^4 \, ds\right)^{p/4}\right]. \]

Aplicando los siguientes teoremas: Teorema 3.9 y Teorema 3.7:

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t} |M_{\widetilde{N},2}(\tau)|^{p/2}\right] \leq C_{p/2} \, \lambda^{p/4} \, T^{p/4 - 1} \int_0^t \mathbb{E}\left[|h(X(s))|^{p}\right]\,ds. \]

Usando la cota de la Ecuación 6.19 se tiene que \(|h(x)|^p\leq L_{\lambda}^{p/2}(1+|x|^2)^{p/2}\). Sustituyendo esto, llegamos a

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t} \left|\int_0^{\tau} h(X(s-))^2\,d\widetilde{N}(s)\right|^{p/2}\right] \leq K_3 \int_0^t \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]\,ds, \tag{6.147}\]

donde \(K_3 = C_{p/2,\widetilde{N},2} \, \lambda^{p/4} \, T^{p/4 - 1} \, L_\lambda^{p/2}\) es una constante positiva. Sustituyendo la Ecuación 6.145, Ecuación 6.146 y Ecuación 6.147 en la Ecuación 6.143 tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^p\right] & \leq \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[|X_0|^p\right] \\ & \quad + \widehat{K}\,T^{(p/2)-1}\int_0^{t} \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]ds \\ & \quad + \widehat{K}\, K_1 \int_0^t \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]\,ds \\ & \quad + \widehat{K}\, K_2 \int_0^t \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]\,ds \\ & \quad + \widehat{K}\,K_3 \int_0^t \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]\,ds\\ & \leq \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[|X_0|^p\right] \\ & \quad + K_M \int_0^t \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]\,ds, \end{aligned} \tag{6.148}\]

donde \(K_M:=4\widehat{K}\max\{K_1,K_2,K_3,\,T^{(p/2)-1}\}\). Usando el Lema 3.3 podemos obtener la siguiente cota para el integrando

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right] & \leq 2^{(p-2)/2}\mathbb{E}\Big[1+|X(s)|^p\Big]\\ & \leq 2^{(p-2)/2}\Big(1+\mathbb{E}\Big[|X(s)|^p\Big]\Big)\\ & \leq 2^{(p-2)/2}\Bigg(1+\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq r\leq s}|X(r)|^p\Bigg]\Bigg). \end{aligned} \]

Sustituyendo esta cota en la Ecuación 6.148, y definiendo la constante \(\widetilde{K}:=2^{(p-2)/2}\, K_M\), la expresión se reorganiza de la siguiente manera

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^p\right] & \leq \widehat{K}\,\mathbb{E}\left[|X_0|^p\right] \\ & \quad + K_M \int_0^t \mathbb{E}\left[(1+X(s)^2)^{p/2}\right]\,ds\\ & \leq \widehat{K}\mathbb{E}\left[|X_0|^p\right]\\ & \quad + \widetilde{K}\int_0^t\Bigg(1+\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq r\leq s}|X(r)|^p\Bigg]\Bigg)ds\\ & = \Big(\widehat{K}\mathbb{E}\left[|X_0|^p\right]+\widetilde{K}T\Big)+\widetilde{K}\int_0^t\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq r\leq s}|X(r)|^p\Bigg]ds. \end{aligned} \]

Aplicando el Teorema 3.18, podemos concluir que

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq t}|X(\tau)|^p\right]\leq \Big(\widehat{K}\mathbb{E}[|X_0|^p]+\widetilde{K}T\Big)e^{\widetilde{K}t}. \]

Dado que estamos trabajando en un intervalo de tiempo finito \(t\in[0,T]\), basta evaluar la desigualdad anterior en \(t=T\) y definir a \(\displaystyle A_2:= \Big(\widehat{K}\mathbb{E}[|X_0|^p]+\widetilde{K}T\Big)e^{\widetilde{K}T}\) para obtener la cota deseada

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq\tau\leq T}|X(\tau)|^p\right]\leq A_2. \]

Lema 6.5 (Estimación del error entre la aproximación escalonada y la extensión continua) Usando las hipótesis dada por Ecuación 6.9 y Ecuación 6.13, sea \(0\leq\theta\leq 1\) y supongamos que \(\Delta t\) satisface

\[ 0\leq \Delta t\leq \min\{1,\frac{1}{2\theta L_{\lambda}}\}. \]

Entonces, existe una constante positiva \(E\) independiente de \(\Delta t\), tal que

\[ \mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq t\leq T}|Y(t)-\overline{Y}(t)|^2\right]\leq E\Delta t, \]

donde \(Y(t)\) es la función escalón definida por Ecuación 6.6 y \(\overline{Y}(t)\) es la extensión continua definida en la Ecuación 6.7

Demostración. Tomemos a \(t\in[n\Delta t,(n+1)\Delta t]\). Por la función escalonada está definida en Ecuación 6.6, se tiene que \(Y(t)=Y_n^*\), usando la definidición de \(Y_n^*\) dada en la Ecuación 6.4 tenemos entonces \(Y(t)=Y_n+\theta f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t\). Con esto, la diferencia entre la función escalonada \(Y(t)\) y la extensión continua \(\overline{Y}(t)\) obtenemos

\[ \begin{aligned} Y(t)-\overline{Y}(t) & = Y_n+\theta f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t - (Y_n-f_{\lambda}(Y_n^*)(t-t_n)\\ & \qquad\quad +g(Y_n^*)(W(t)-W(t_n))\\ & \qquad\qquad +h(Y_n^*)(\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n)))\\ & = f_{\lambda}(Y_n^*)(\theta\Delta t-(t-t_n))\\ & \qquad\quad - g(Y_n^*)(W(t)-W(t_n))\\ & \qquad\qquad - h(Y_n^*)(\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n)). \end{aligned} \tag{6.149}\]

Sea \(s=t-t_n\), entonces, como \(t\in[n\Delta t,(n+1)\Delta t]\), se tiene que \(s\in[0,\Delta t]\). Por lo que

\[ \theta\Delta t-(t-t_n)=\theta\Delta t-s. \]

Cuando \(\theta=0\) y \(s=\Delta t\), entonces \(\theta\Delta t-s=-\Delta t\). Mientras que si \(\theta=1\) y \(s=0\) se obtiene \(\theta\Delta t-s=\Delta t\). Como tanto \(\theta\) como \(s\) varían continuamente en intervalos cerrados, la expresión toma todos los valores intermedios, es decir

\[ -\Delta t\leq \theta\Delta t-(t-t_n)\leq \Delta t. \]

Con esto, la Ecuación 6.149 queda acotada mediante

\[ \begin{aligned} Y(t)-\overline{Y}(t) & = f_{\lambda}(Y_n^*)(\theta\Delta t-(t-t_n)) - g(Y_n^*)(W(t)-W(t_n))\\ & \qquad\quad - h(Y_n^*)(\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n))\\ & \leq f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t - g(Y_n^*)(W(t)-W(t_n))\\ & \qquad\quad - h(Y_n^*)(\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n)). \end{aligned} \]

Tomando valor absoluto, aplicando desigualdad triangular y al elevar al cuadrado se tiene

\[ \begin{aligned} |Y(t)-\overline{Y}(t)|^2 & \leq |f_{\lambda}(Y_n^*)\Delta t - g(Y_n^*)(W(t)-W(t_n))\\ & \qquad\quad - h(Y_n^*)(\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n))|^2\\ & \leq 3\Bigg(|f_{\lambda}(Y_n^*)|^2\Delta t^2\\ & \qquad\qquad\quad +|g(Y_n^*)(W(t)-W(t_n))|^2\\ & \qquad\qquad\quad +|h(Y_n^*)(\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n))|^2\Bigg). \end{aligned} \tag{6.150}\]

Acotemos los términos de deriva, diusión y salto. Para el coeficiente de deriva, \(f_{\lambda }\), usaremos la condición de crecimiento polinomial dada en la Ecuación 6.13 de la siguiente forma

\[ \begin{aligned} |f_{\lambda}(Y_n^*)|^2 & \leq (|f_{\lambda}(Y_n^*)-f_{\lambda}(0)|+|f_{\lambda}(0)|)^2\\ & \leq 2|f_{\lambda}(Y_n^*)-f_{\lambda}(0)|^2+2|f_{\lambda}(0)|^2\\ & \leq 2D(1+|Y_n^*|^q)|Y_n^*|^2+2|f_{\lambda}(0)|^2\\ & = 2D|Y_n^*|^2+2D|Y_n^*|^{q+2}+2|f_{\lambda}(0)|^2. \end{aligned} \tag{6.151}\]

Notemos que \(|Y_n^*|^2>0\), por lo que \(|Y_n^*|^2\leq 1+|Y_n^*|^{q+2}\), sustituyendo esto en la Ecuación 6.151

\[ \begin{aligned} |f_{\lambda}(Y_n^*)|^2 & \leq 2D|Y_n^*|^2+2D|Y_n^*|^{q+2}+2|f_{\lambda}(0)|^2\\ & \leq 2D(1+|Y_n^*|^{q+2})+2D|Y_n^*|^{q+2}+2|f_{\lambda}(0)|^2\\ & = 2D + 4D|Y_n^*|^{q+2}+2|f_{\lambda}(0)|^2\\ & = D_1(1+|Y_n^*|^{q+2}), \end{aligned} \tag{6.152}\]

donde \(D_1:=\max\{2D+2|f_{\lambda}(0)|^2, 4D\}\). Para los terminos de difusión y salto haremos uso de la cota dada en la Ecuación 6.19, con esto tenemos

\[ |g(Y_n^*)|^2\leq L_{\lambda}(1+|Y_n^*|^2), \tag{6.153}\]

De forma similar se obtiene

\[ |h(Y_n^*)|^2\leq L_{\lambda}(1+|Y_n^*|^2). \tag{6.154}\]

Sustituyendo la Ecuación 6.152, Ecuación 6.153 y Ecuación 6.153 en la Ecuación 6.150 tenemos

\[ \begin{aligned} |Y(t) & - \overline{Y}(t)|^2\\ & \leq 3\Bigg(D_1(1+|Y_n^*|^{q+2})\Delta t^2\\ & \qquad\quad + L_{\lambda}(1+|Y_n^*|^2)|W(t)-W(t_n)|^2\\ & \qquad\quad + L_{\lambda}(1+|Y_n^*|^2)|\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n)|^2\Bigg). \end{aligned} \tag{6.155}\]

Definimos a las siguientes constantes y notación

\[ \begin{aligned} C_0 & :=\max\{3D_1, 3L_{\lambda}\},\\ u & := q+2,\\ \Delta W_n(t) & :=W(t)-W(t_n),\\ \Delta \widetilde{N}_n(t) & :=\widetilde{N}(t)-\widetilde{N}(t_n). \end{aligned} \]

Con estas manupilaciones es posible acotar de manera uniforme la Ecuación 6.155 de tal forma que tenemos

\[ \begin{aligned} |Y(t) & - \overline{Y}(t)|^2\\ & \leq C_0\Bigg((1+|Y_n^*|^u)\Delta t^2\\ & \qquad\qquad\quad +(1+|Y_n^*|^u)|\Delta W_n(t)|^2\\ & \qquad\qquad\quad +(1+|Y_n^*|^u)|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\Bigg). \end{aligned} \tag{6.156}\]

Recordemos que por construcción \(N_T\) es el mayor entero tal que \(N_T\Delta t\leq T\), por lo que dicho intervalo se descompone en la unión finita de subintervalos, vale decir

\[ [0,T]=\bigcup_{n=0}^{N_T-1}[t_n,t_{n+1}], \]

donde \(t_n=n\Delta t\) y \(N_T\) es finito para cualquier \(\Delta t>0\) fijo. Aplicando propiedades del supremo sobre uniones finitas es posible afirmar que

\[ \sup_{0\leq t\leq T}|Y(t)-\overline{Y}(t)|^2=\max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|Y(t)-\overline{Y}(t)|^2\right). \tag{6.157}\]

Si aplicamos dicha propiedad a la Ecuación 6.156, además de usar la independencia de los procesos \(W(t)\), \(\widetilde{N}(t)\) y la variable \(Y_n^*\) tenemos

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq t\leq T} & |Y(t) - \overline{Y}(t)|^2\\ & = \max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|Y(t)-\overline{Y}(t)|^2\right)\\ & \leq C_0\Bigg(\left(1+\max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|Y_n^*|^u\right)\right)\Delta t^2\\ & +\left(1+\max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|Y_n^*|^u\right)\right)\max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta W_n(t)|^2\right)\\ & +\left(1+\max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|Y_n^*|^u\right)\right)\max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right)\Bigg). \end{aligned} \tag{6.158}\]

La variable \(Y_n^*\) se define mediante la Ecuación 6.4 como una suceción discreta de variables aleatorias, indeada por \(n\in\{0,1,\ldots,N_T\}\). Dado que el conjunto de índices \(\{0,1,\ldots, N_T\}\) es finito, entonces el supremo sobre este conjunto discreto es exactamente igual al máximo, es decir

\[ \sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u=\max_{0\leq n\leq N_T}|Y_n^*|^u. \]

Por la definición de la función escalonada \(Y(t)\), dada por la Ecuación 6.6, para cualquier tiempo \(t\) que pertenezca al subintervalo \([t_n,t_{n+1})\) la función es constante e igual a \(Y_n^*\), por lo que

\[ \sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|Y_n^*|^u= |Y_n^*|^u,\qquad \forall t\in [t_n,t_{n+1}). \]

Más aún, tenemos que

\[ \max_{0\leq n\leq N_T-1}|Y_n^*|^u\leq \max_{0\leq n\leq N_T}|Y_n^*|^u. \]

Por lo tanto

\[ \begin{aligned} \max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|Y_n^*|^u\right) & = \max_{0\leq n\leq N_T-1}|Y_n^*|^u\\ & \leq \max_{0\leq n\leq N_T}|Y_n^*|^u\\ & = \sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u. \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.158 tenemos

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq t\leq T} & |Y(t) - \overline{Y}(t)|^2\\ & \leq C_0\Bigg(\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\Delta t^2\\ & +\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta W_n(t)|^2\right)\\ & +\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right)\Bigg). \end{aligned} \tag{6.159}\]

Notemos que el máximo de los supremos locales está acotado por la suma de todos los supremos locales, es decir

\[ \begin{aligned} \max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta W_n(t)|^2\right) & \leq \sum_{n=0}^{N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta W_n(t)|^2\right),\\ \max_{0\leq n\leq N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right) & \leq \sum_{n=0}^{N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right). \end{aligned} \]

Sustituyendo estas desigualdades en la Ecuación 6.159 tenemos

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq t\leq T}|Y(t) & - \overline{Y}(t)|^2\\ & \leq C_0\Bigg(\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\Delta t^2\\ & +\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\sum_{n=0}^{N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta W_n(t)|^2\right)\\ & +\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\sum_{n=0}^{N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right)\Bigg). \end{aligned} \tag{6.160}\]

Al tomar valor esperado a la Ecuación 6.160 y usar las propiedades del valor esperado se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq t\leq T}|Y(t)-\overline{Y}(t)|^2\right]\\ & \leq C_0\Bigg(\mathbb{E}\left[\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\Delta t^2\right]\\ & +\mathbb{E}\left[\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\sum_{n=0}^{N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta W_n(t)|^2\right)\right]\\ & +\mathbb{E}\left[\left(1+\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right)\sum_{n=0}^{N_T-1}\left(\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right)\right]\Bigg)\\ & = C_0\Bigg(\left(1+\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right]\right)\Delta t^2\\ & +\left(1+\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right]\right)\sum_{n=0}^{N_T-1}\mathbb{E}\left[\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta W_n(t)|^2\right]\\ & +\left(1+\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right]\right)\sum_{n=0}^{N_T-1}\mathbb{E}\left[\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right]\Bigg). \end{aligned} \tag{6.161}\]

Recordemos que \(u=q+2\), donde \(q\in\mathbb{Z}^+\), por lo tanto, es posible encontrar \(p\geq 2\) tal que \(u\leq 2p\), con esto, por el Lema 6.2, existe una constante positiva \(A\), independiente de \(\Delta t\) tal que

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^u\right]\leq \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^{2p}\right]\leq A. \tag{6.162}\]

Por otro lado, notemos que los términos \(\Delta W_n(t)\) y \(\Delta \widetilde{N}_n(t)\) son incrementos de los procesos de Wiener y Poisson compensado, respectivamente. Por las propiedades de estos procesos, se tiene que son martingalas continuas respecto a la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t\geq t_n}\). Con esto, podemos hacer uso del Teorema 3.15, de tal forma que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta W_n(t)|^2\right] & \leq 4\mathbb{E}\left[|\Delta W_n(t_{n+1})|^2\right]\\ & = 4\mathbb{E}\left[|W(t_{n+1})-W(t_n)|^2\right]\\ & = 4\Delta t, \end{aligned} \tag{6.163}\]

De manera similar, procedemos a usar el Teorema 3.15 para el proceso de Poisson compensado, obteniendo

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right] & \leq 4\mathbb{E}\left[|\Delta \widetilde{N}_n(t_{n+1})|^2\right]\\ & = 4\mathbb{E}\left[|\widetilde{N}(t_{n+1})-\widetilde{N}(t_n)|^2\right]. \end{aligned} \]

Para calcular el valor esperado del incremento del proceso de Poisson compensado, recordemos que \(\widetilde{N}(t)=N(t)-\lambda t\), donde \(N(t)\) es un proceso de Poisson con intensidad \(\lambda>0\). Por lo tanto, tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[|\widetilde{N}(t_{n+1})-\widetilde{N}(t_n)|^2\right]\\ & = \mathbb{E}\left[|(N(t_{n+1})-N(t_n))-\lambda(t_{n+1}-t_n)|^2\right]\\ & = \mathbb{E}\left[|(N(t_{n+1})-N(t_n))-\lambda\Delta t|^2\right]\\ & = \mathbb{E}\left[|N(t_{n+1})-N(t_n)|^2\right] - 2\lambda\Delta t\mathbb{E}\left[N(t_{n+1})-N(t_n)\right] + (\lambda\Delta t)^2\\ & = \mathbb{E}\left[|N(t_{n+1})-N(t_n)|^2\right] - 2\lambda\Delta t(\lambda\Delta t) + (\lambda\Delta t)^2\\ & = \mathbb{E}\left[|N(t_{n+1})-N(t_n)|^2\right] - (\lambda\Delta t)^2. \end{aligned} \]

Sabemos que para una variable Poisson con parametro \(\lambda\Delta t\), se tiene que

\[ \mathbb{E}[N(t_{n+1})-N(t_n)]=\lambda\Delta t, \]

además \(\text{Var}(N(t_{n+1})-N(t_n))=\lambda\Delta t\). Por lo tanto, podemos escribir

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[|N(t_{n+1})-N(t_n)|^2\right] & = \text{Var}(N(t_{n+1})-N(t_n)) + (\mathbb{E}[N(t_{n+1})-N(t_n)])^2 \\ & = \lambda\Delta t + (\lambda\Delta t)^2. \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en la expresión anterior, obtenemos

\[ \mathbb{E}\left[|\widetilde{N}(t_{n+1})-\widetilde{N}(t_n)|^2\right] = \lambda\Delta t + (\lambda\Delta t)^2 - (\lambda\Delta t)^2 = \lambda\Delta t. \]

Por lo tanto

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{t_n\leq t\leq t_{n+1}}|\Delta \widetilde{N}_n(t)|^2\right] & \leq 4\mathbb{E}\left[|\widetilde{N}(t_{n+1})-\widetilde{N}(t_n)|^2\right]\\ & = 4\lambda\Delta t. \end{aligned} \tag{6.164}\]

Dado que \(\Delta t<1\) esto implica que \(\Delta t^2\leq \Delta t\), además condierando las cotas en la Ecuación 6.162, Ecuación 6.163 y Ecuación 6.164, podemos sustituirlas en la Ecuación 6.161, obteniendo

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq t\leq T}|Y(t)-\overline{Y}(t)|^2\right]\\ & \leq C_0\Bigg(\left(1+A\right)\Delta t^2 +\left(1+A\right)\sum_{n=0}^{N_T-1}4\Delta t\\ & \qquad\qquad+\left(1+A\right)\sum_{n=0}^{N_T-1}4\lambda\Delta t\Bigg)\\ & = C_0\Big(\left(1+A\right)\Delta t+\left(1+A\right)4N_T\Delta t\\ & \qquad\qquad+\left(1+A\right)4N_T\lambda\Delta t\Big)\\ & = C_0\left(1+A\right)\Big(1+4N_T+4N_T\lambda\Big)\Delta t. \end{aligned} \]

Basta tomar a \(E = C_0\left(1+A\right)\Big(1+4N_T+4N_T\lambda\Big)\), de aquí se sigue que

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}(t)-X(t)|^2\Bigg]\leq E\Delta t. \]

6.4 Teorema Principal de Convergencia Fuerte

Teorema 6.1 Bajo las hipótesis dadas por la Ecuación 6.9, Ecuación 6.10 y Ecuación 6.11, sea \(X(t)\) la solución de la Ecuación 6.1 y \(\overline{Y}(t)\) la extensión a tiempo continuo del método \(\text{CSS}\theta\) con parámetro \(\theta\in[0,1]\) y \(\Delta t>0\) el paso de tiempo tal que

\[ \Delta t\leq\min\left\{1,\frac{1}{2\theta L_{\lambda}}\right\}, \]

entonces la aproximación \(\overline{Y}(t)\) converge a la solución exacta \(X(t)\) con un orden fuerte de convergencia de \(1/2\). Es decir, existe una constante \(C>0\) independiente de \(\Delta t\) tal que

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}(t)-X(t)|^2\Bigg]\leq C\Delta t. \]

Demostración. Para análizar la convergencia del método \(\text{CSS}\theta\), definimos el proceso de error continuo como la diferencia entre la extensión a tiempo continuo de la aproximación númerica, \(Y(t)\), y la solución exacta de la ecuación diferencial estocástica, \(X(t)\). Usaremos la siguiente notación para denotar dicho proceso

\[ E(t)=\overline{Y}(t)-X(t). \]

Recordemos que la solución exacta \(X(t)\) satisface la forma integral compensada dada por la siguiente ecuación

\[ \begin{aligned} X(t) & = X_0+\int_0^t f_{\lambda}(X(s-))ds+\int_0^t g(X(s-))dW(s)\\ & \qquad\quad + \int_0^t h(X(s-))d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \tag{6.165}\]

Mientras que la aproximación continua \(\overline{Y}(t)\) está definida en la Ecuación 6.8. Restando ambas expresiones integrales, obtenemos la representación integral del error

\[ \begin{aligned} E(t) & = \int_0^t [f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(X(s-))]ds +\int_0^t[g(Y(s-))-g(X(s-))]dW(s)\\ & \qquad\qquad + \int_0^t [h(Y(s-))-h(X(s-))]d\widetilde{N}(s), \end{aligned} \]

donde \(Y(s-)\) denota la aproximación escalonada definida en Ecuación 6.6 y \(\widetilde{N}(s)\) es el proceso de Poisson compensado ya definido anteriormente. Escribiendo en su forma diferencial

\[ \begin{aligned} dE(t) & = [f_{\lambda}(Y(t-))-f_{\lambda}(X(t-))]dt + [g(Y(t-))-g(X(t-))]dW(t)\\ & \qquad\qquad + [h(Y(t-))-h(X(t-))]d\widetilde{N}(t). \end{aligned} \tag{6.166}\]

Dado que \(E(t)\) es una semimartingala càdlag en \(\mathbb{R}\), haremos uso del Teorema 3.14 para procesos con saltos. Para una función \(V\in C^2(\mathbb{R})\), esta fórmula descompone el diferencial \(dV(E(t))\) en tres sumandos: la dinámica continua (deriva y difusión), la corrección de Itô debida a la variación cuadrática continua, y el efecto de los saltos discontinuos. Formalmente, se escribe como

\[ \begin{aligned} dV(E(t)) & = \underbrace{V'(E(t-))dE(t)}_{\text{deriva}}+\underbrace{\frac{1}{2}V''(E(t-))(dE(t))^2}_{\text{difusión}} \\ & \quad + \underbrace{\Big[V(E(t-)+\Delta E(t))-V(E(t-))}_{\text{salto}}\\ & \qquad\qquad\qquad\quad\underbrace{-V'(E(t-))\Delta E(t)\Big]dN(t)}_{\text{salto}} \end{aligned} \tag{6.167}\]

En nuestro caso, para aplicar la fórmula de Itô usaremos la función \(V(E)=E^2\), la cuál pertenece a \(C^2(\mathbb{R})\) con primera y segunda derivada dadas por \(V'(E)=2E\) y \(V''(E)=2\) respectivamente. Por lo que, al sustituir dichas derivadas en el término de salto en la Ecuación 6.167 la expresión se simplifica de la siguiente forma

\[ \begin{aligned} V(E(t-)+\Delta E(t)) & - V(E(t-))-V'(E(t-))\Delta E(t)\\ & = (E(t-)+\Delta E(t))^2-(E(t-))^2-2E(t-)\Delta E(t)\\ & = (\Delta E(t))^2 \end{aligned} \]

Sustituyendo las derivadas de la función \(V(E)\), la Ecuación 6.167 se simplifica de la siguiente manera con \(V(E(t))=E(t)^2\)

\[ d(E(t)^2)=2E(t-)dE(t)+(dE(t))^2+(\Delta E(t))^2dN(t). \tag{6.168}\]

De la Ecuación 6.166 definimos la siguiente notación

• \(A(t)=f_{\lambda}(Y(t-))-f_{\lambda}(X(t-))\),

• \(B(t)= g(Y(t-))-g(X(t-))\),

• \(C(t)=h(Y(t-))-h(X(t-))\).

Expandiendo el cuadrado, podemos obtener los siguientes 9 términos

\[ \begin{aligned} (dE(t))^2 & = A^2(t)(dt)^2+B^2(t)(dW(t))^2+C^2(d\widetilde{N}(t))^2\\ & \qquad +2A(t)B(t)dt\cdot dW(t)+2A(t)C(t)dt\cdot d\widetilde{N}(t)\\ & \qquad\quad + 2B(t)C(t)dW(t)\cdot d\widetilde{N}(t). \end{aligned} \tag{6.169}\]

Haciendo uso de la Proposición 3.3 podemos afirmar que \((dt)^2=0\), \(dt\cdot dW(t)=0\), \(dt\cdot d\widetilde{N}(t)=0\), \(dW(t)\cdot d\widetilde{N}(t)=0\), mientras que \((dW(t))^2=dt\), por la definición del proceso de Poisson compensado se tiene

\[ (d\widetilde{N}(t))^2=(dN(t))^2-2\lambda dN(t)dt+\lambda^2(dt)^2. \]

Usando propiedades del proceso de Poisson tenemos que \((dN(t))^2=dN(t)\), mientras que por la Proposición 3.3 \(dN(t)\cdot dt=0\), por tanto \((d\widetilde{N}(t))^2=dN(t)\), la Ecuación 6.169 queda de la forma

\[ (dE(t))^2 = B^2(t)dt+C^2(t)dN(t), \]

esto es equivalente a

\[ \begin{aligned} (dE(t))^2 & =(g(Y(t-))-g(X(t-)))^2dt\\ & \qquad\qquad\qquad+(h(Y(t-))-h(X(t-)))^2dN(t). \end{aligned} \tag{6.170}\]

Falta interpretar el término \(\Delta e(t)\) en la Ecuación 6.168. Este operador se define mediante

\[ \Delta E(t):=E(t)-E(t-), \]

donde sabemos que \(E(t-)\) representa el límite por la izquierda del error. En la forma en que se define \(E(t)\) es claro que se cumple

\[ \Delta E(t)=\Delta \overline{Y}(t)-\Delta X(t). \]

Recordemos que el momento inicial \(X_0\) y \(Y_0\) es determinista y constante en el tiempo, por lo que \(\Delta(X_0)=0\) y \(\Delta(Y_0)=0\). Para las integrales de Lebesgue de la solución exacta en su forma integral y la aproximación continua \(\overline{Y}(t)\) dadas en Ecuación 6.165 y Ecuación 6.8 respectivamente tienen trayectorias continuas casi seguramente, por lo que al aplicar el operador \(\Delta\) a dichas integrales tenemos que

\[ \begin{aligned} \Delta \left(\int_0^t f_{\lambda}(X(s-))ds\right) & =0,\\ \Delta \left(\int_0^t f_{\lambda}(Y(s-))ds\right) & =0. \end{aligned} \tag{6.171}\]

De igual forma, bajo las hipótesis de los coeficientes de Lipschitz, los términos de integrales respecto al movimiento browniano admiten una versión con trayectorias continuas casi seguramente, por lo que no presentan discontinuidades. Con esto

\[ \begin{aligned} \Delta\left(\int_0^t g(X(s-))dW(s)\right)&=0\\ \Delta\left(\int_0^t g(Y(s-))dW(s)\right)&=0 \end{aligned} \tag{6.172}\]

La integral estocástica con respecto a un proceso de Poisson es un proceso que permanece constante entre los eventos de salto y solo cambia exactamente cuando \(N(t)\) registra un salto. Con esto, el tamaño del salto de la integral en cualquier instante \(t\) es el valor de la función, en nuestro caso, \(h(x)\) justo antes de que ocurra el evento, multiplicado por la magnitud del salto del proceso de Poisson, es decir

\[ \begin{aligned} \Delta \left(\int_0^t h(X(s-))dN(s)\right) & = h(X(t-))\Delta N(t)\\ \Delta \left(\int_0^t h(Y(s-))dN(s)\right) & = h(Y(t-))\Delta N(t). \end{aligned} \]

Por otro lado, si consideramos el proceso de Poisson compensado \(\widetilde{N}(t)=N(t)-\lambda t\), obtenemos que este difiere del proceso original únicamente por el término determinista \(\lambda t\). Dado que \(\lambda t\) es una función continua, esto implica que no presenta saltos, por lo que, los saltos de \(\widetilde{N}(t)\) coincide con los saltos de \(N(t)\). Entonces, la regla para el salto de la integral se mantiene

\[ \begin{aligned} \Delta \left(\int_0^t h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\right) & = h(X(t-))\Delta N(t),\\ \Delta \left(\int_0^t h(Y(s-))d\widetilde{N}(s)\right) & = h(Y(t-))\Delta N(t). \end{aligned} \tag{6.173}\]

Aplicando el operador de salto a la solución exacta en la Ecuación 6.165 y considerar Ecuación 6.171, Ecuación 6.172 y Ecuación 6.173

\[ \begin{aligned} \Delta X(t) & = \Delta (X_0)+\Delta\left(\int_0^t f_{\lambda}(X(s-))ds\right)\\ & \qquad\qquad\quad + \Delta\left(\int_0^t g(X(s-))dW(s)\right)\\ & \qquad\qquad\quad + \Delta\left(\int_0^t h(X(s-))d\widetilde{N}(s)\right)\\ & = h(X(t-))\Delta N(t) \end{aligned} \]

De forma analoga, se tiene que

\[ \begin{aligned} \Delta \overline{Y}(t) & = \Delta (Y_0)+\Delta\left(\int_0^t f_{\lambda}(Y(s-))ds\right)\\ & \qquad\qquad\quad + \Delta\left(\int_0^t g(Y(s-))dW(s)\right)\\ & \qquad\qquad\quad + \Delta\left(\int_0^t h(Y(s-))d\widetilde{N}(s)\right)\\ & = h(Y(t-))\Delta N(t) \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en la expresión del error tenemos

\[ \begin{aligned} \Delta E(t) & =\Delta \overline{Y}(t)-\Delta X(t)\\ & = [h(Y(t-))-h(X(t-))]\Delta N(t) \end{aligned} \]

Por lo tanto

\[ \begin{aligned} (\Delta E(t))^2 & = [h(Y(t-))-h(X(t-))]^2(\Delta N(t))^2\\ & = [h(Y(t-))-h(X(t-))]^2\Delta N(t) \end{aligned} \tag{6.174}\]

Sustituyendo Ecuación 6.166, Ecuación 6.170 y Ecuación 6.174 en la Ecuación 6.168 tenemos

\[ \begin{aligned} d(E(t)^2) & = 2E(t-)[f_{\lambda}(Y(t-))-f_{\lambda}(X(t-))]dt\\ & \qquad + 2E(t-)[g(Y(t-))-g(X(t-))]dW(t)\\ & \qquad + 2E(t-)[h(Y(t-))-h(X(t-))]d\widetilde{N}(t)\\ & \qquad + [g(Y(t-))-g(X(t-))]^2dt\\ & \qquad + [h(Y(t-))-h(X(t-))]^2dN(t)\\ & \qquad + [h(Y(t-))-h(X(t-))]^2\Delta N(t)dN(t) \end{aligned} \tag{6.175}\]

Dado que el proceso de Poisson estándar presenta saltos de magnitud unitaria, se satisface \(\Delta N(t)=\{0,1\}\). Bajo nuestro contexto de integración estocástica, el faltor \(\Delta N(t)\) actúa como la función indicadora de los tiempos de salto. Puesto que la medida de integración \(dN(t)\) está concentrada exclusivamente en dichos instantes, es decir, donde \(\Delta N(t)=1\), se cumple

\[ \Delta N(t)dN(t)=dN(t). \]

Sustituyendo esta propiedad en la Ecuación 6.175 y factorizar los términos en común obtenemos

\[ \begin{aligned} d(E(t)^2) & = 2E(t-)[f_{\lambda}(Y(t-))-f_{\lambda}(X(t-))]dt\\ & \qquad + 2E(t-)[g(Y(t-))-g(X(t-))]dW(t)\\ & \qquad + 2E(t-)[h(Y(t-))-h(X(t-))]d\widetilde{N}(t)\\ & \qquad + [g(Y(t-))-g(X(t-))]^2dt\\ & \qquad + 2[h(Y(t-))-h(X(t-))]^2dN(t)\\ \end{aligned} \]

Usaremos la definición del proceso de Poisson compensado \(\widetilde{N}(t)=N(t)-\lambda t\), que en su forma diferencial es

\[ dN(t)=d\widetilde{N}(t)+\lambda dt. \]

Sustituyendo esto en la expresión simplificada y distribuyendo los factores, tenemos que

\[ \begin{aligned} d(E(t)^2) & = 2E(t-)[f_{\lambda}(Y(t-))-f_{\lambda}(X(t-))]dt\\ & \qquad + 2E(t-)[g(Y(t-))-g(X(t-))]dW(t)\\ & \qquad + 2E(t-)[h(Y(t-))-h(X(t-))]d\widetilde{N}(t)\\ & \qquad + [g(Y(t-))-g(X(t-))]^2dt\\ & \qquad + 2\lambda[h(Y(t-))-h(X(t-))]^2dt\\ & \qquad + 2[h(Y(t-))-h(X(t-))]^2d\widetilde{N}(t). \end{aligned} \]

Integrando esta expresión desde \(0\) hasta \(t\), ordenando y descomponiendo el término de deriva usando la identidad aditiva

\[ f_{\lambda}(Y(t))-f_{\lambda}(X(t)) = [f_{\lambda}(Y(t))-f_{\lambda}(\overline{Y}(t))]+[f_{\lambda}(\overline{Y}(t))-f_{\lambda}(X(t))], \]

podemos llegar a la siguiente cota para el error

\[ \begin{aligned} |E(t)|^2 & = 2\int_0^t E(s-)[f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(X(s-))]ds\\ & \qquad + \int_0^t[g(Y(s-))-g(X(s-))]^2ds\\ & \qquad + 2\lambda\int_0^t[h(Y(s-))-h(X(s-))]^2ds\\ & \qquad + 2\int_0^tE(s-)[g(Y(s-))-g(X(s-))]dW(s)\\ & \qquad + 2\int_0^tE(s-)[h(Y(s-))-h(X(s-))]d\widetilde{N}(s)\\ & \qquad + 2\int_0^t[h(Y(s-))-h(X(s-))]^2d\widetilde{N}(s)\\ & = 2\int_0^t \Big(E(s-)[f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))]\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad+E(s-)[f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))-f_{\lambda}(X(s-))]\Big)ds\\ & \qquad + 2\int_0^t[g(Y(s-))-g(X(s-))]^2ds\\ & \qquad + 2\lambda\int_0^t[h(Y(s-))-h(X(s-))]^2ds\\ & \qquad +M_1(t)+M_2(t)+M_3(t)\\ & = 2\int_0^t E(s-)[f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))]ds\\ & \qquad + 2 \int_0^t E(s-)[f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))-f_{\lambda}(X(s-))]ds\\ & \qquad + \int_0^t[g(Y(s-))-g(X(s-))]^2ds\\ & \qquad + 2\lambda\int_0^t[h(Y(s-))-h(X(s-))]^2ds\\ & \qquad +M_1(t)+M_2(t)+M_3(t), \end{aligned} \tag{6.176}\]

donde

\[ \begin{aligned} M_1(t) & = 2\int_0^tE(s-)[g(Y(s-))-g(X(s-))]dW(s),\\ M_2(t) & = 2\int_0^tE(t-)[h(Y(s-))-h(X(s-))]d\widetilde{N}(s),\\ M_3(t) & = 2\int_0^t[h(Y(s-))-h(X(s-))]^2d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \]

Para el término de deriva de la Ecuación 6.176, podemos acotar usando la Ecuación 6.14, para nuesto caso, tomaremos a \(x=\overline{Y}(s-)\), \(y=X(s-)\) y \(x-y=E(s-)=\overline{Y}(s-)-X(s-)\), con esto

\[ E(s-)[f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))-f_{\lambda}(X(s-))]\leq K_{\lambda}|E(s-)|^2. \tag{6.177}\]

De manera similar, para los términos de difusión y salto correspondientes a las funciones \(g\) y \(h\) respectivamente podemos acotarlas usando las hipótesis dadas en la Ecuación 6.10 y Ecuación 6.11 de tal forma que

\[ \begin{aligned} |g(Y(s-))-g(X(s-))|^2 & \leq L_g|Y(s-)-X(s-)|^2,\\ |h(Y(s-))-h(X(s-))|^2 & \leq L_h|Y(s-)-X(s-)|^2. \end{aligned} \tag{6.178}\]

Sustituyendo Ecuación 6.177 y Ecuación 6.178 en la Ecuación 6.176 se tiene

\[ \begin{aligned} |E(t)|^2 & \leq 2\int_0^t E(s-)[f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))]ds\\ & \qquad + 2 \int_0^t K_{\lambda}|E(s-)|^2 ds\\ & \qquad + \int_0^t L_g|Y(s-)-X(s-)|^2ds\\ & \qquad + 2\lambda\int_0^t L_h|Y(s-)-X(s-)|^2ds\\ & \qquad +M_1(t)+M_2(t)+M_3(t)\\ & = 2\int_0^t E(s-)[f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))]ds\\ & \qquad + 2 \int_0^t K_{\lambda}|E(s-)|^2 ds\\ & \qquad + (L_g+2\lambda L_h)\int_0^t |Y(s-)-X(s-)|^2ds\\ & \qquad +M_1(t)+M_2(t)+M_3(t). \end{aligned} \tag{6.179}\]

Usando el Lema 3.3 para el primer término de la Ecuación 6.179 tenemos

\[ 2E(s-)(f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(\overline{Y}(s-)))\leq |f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))|^2+|E(s-)|^2. \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.179 tenemos

\[ \begin{aligned} |E(t)|^2 & \leq \int_0^t |f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))|^2ds\\ & \qquad +\int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad + 2 \int_0^t K_{\lambda}|E(s-)|^2 ds\\ & \qquad + (L_g+2\lambda L_h)\int_0^t |Y(s-)-X(s-)|^2ds\\ & \qquad +M_1(t)+M_2(t)+M_3(t). \end{aligned} \tag{6.180}\]

Usando la hipótesis dada en la Ecuación 6.13 para el término de deriva, podemos afirmar que existe \(D>0\) y \(q\in\mathbb{Z}\), tal que es posible acotarlo de la siguiente forma

\[ |f_{\lambda}(Y(s-))-f_{\lambda}(\overline{Y}(s-))|^2\leq D\left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2. \]

Con esto, ordenando la Ecuación 6.180 y sustituyendo esta cota se tiene

\[ \begin{aligned} |&E(t)|^2\\ & \leq \int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad + 2 \int_0^t K_{\lambda}|E(s-)|^2 ds\\ & \qquad + (L_g+2\lambda L_h)\int_0^t |Y(s-)-X(s-)|^2ds\\ & \qquad + D \int_0^t \left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2ds\\ & \qquad +M_1(t)+M_2(t)+M_3(t). \end{aligned} \tag{6.181}\]

Por otro lado, tenemos que \((L_g+2\lambda L_h)>0\), por la forma en que están definidas las constantes \(\lambda\), \(L_g\) y \(L_h\). De la siguiente igualdad, donde recordemos que \(E(s-)=\overline{Y}(s-)-X(s-)\), tenemos

\[ \begin{aligned} Y(s-)-X(s-) & =(Y(s-)-\overline{Y}(s-))+(\overline{Y}(s-)-X(s-))\\ & = (Y(s-)-\overline{Y}(s-))+ E(s-). \end{aligned} \]

Podemos aplicar valor absoluto, usar la desigualdad triangular, elevar al cuadrado y multiplicar por el factor \((L_g+2\lambda L_h)>0\) para obtener la siguiente desigualdad

\[ \begin{aligned} (L_g+2\lambda L_h) |Y(s-) & - X(s-)|^2\\ & \leq (L_g+2\lambda L_h)(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|+|E(s-)|)^2\\ & = (L_g+2\lambda L_h)\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad + 2|Y(s-)-\overline{Y}(s-)||E(s-)|\Big). \end{aligned} \]

Usando el Lema 3.3 para el doble podructo tenemos

\[ 2|Y(s-)-\overline{Y}(s-)||E(s-)| = |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2 + |E(s-)|^2, \]

sustituyendo esto se tiene

\[ \begin{aligned} (L_g+2\lambda L_h) & |Y(s-) - X(s-)|^2\\ & \leq (L_g+2\lambda L_h)\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad + |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2 + |E(s-)|^2\Big)\\ & = 2(L_g+2\lambda L_h)\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big). \end{aligned} \]

Basta notar que \(1\leq \left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)\), considerando tambien la desigualdad anterior, podemos obtener en la Ecuación 6.181 la siguiente cota

\[ \begin{aligned} |E(t)|^2 & \leq \int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad + 2 \int_0^t K_{\lambda}|E(s-)|^2 ds\\ & \qquad + 2(L_g+2\lambda L_h)\int_0^t \left(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\right) ds\\ & \qquad + D \int_0^t \left(1+|Y(s-)|^2+|\overline{Y}(s-)|^2\right)|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2ds\\ & \qquad +M_1(t)+M_2(t)+M_3(t)\\ & \leq \int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad + 2 \int_0^t K_{\lambda}|E(s-)|^2 ds\\ & \qquad + 2(L_g+2\lambda L_h)\int_0^t |E(s-)|^2\\ & \qquad + 2(L_g+2\lambda L_h)\int_0^t \left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2 ds\\ & \qquad + D \int_0^t \left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2ds\\ & \qquad +M_1(t)+M_2(t)+M_3(t)\\ & \leq D_1 \int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad + D_1\int_0^t\left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2ds\\ & \qquad + M_1(t)+M_2(t)+M_3(t), \end{aligned} \tag{6.182}\]

donde

\[ D_1:= \max\{1+2K_{\lambda}+2(L_g+2\lambda L_h),2(L_g+2\lambda L_h)+D\}. \]

Por otro lado, para \(s\in[0,t]\) se cumple

\[ |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\leq \sup_{0\leq u\leq t}|Y(u-)-\overline{Y}(u-)|^2. \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.182 y notando que dicho supremo es independiente al integrando, es posible extraerlo fuera de la integral

\[ \begin{aligned} |E(t)|^2 & \leq D_1 \int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad + D_1\sup_{0\leq u\leq t}|Y(u-)-\overline{Y}(u-)|^2\int_0^t\left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)ds\\ & \qquad + M_1(t)+M_2(t)+M_3(t). \end{aligned} \]

Ahora bien, tomaremos supremo sobre \(0\) a \(t\), por linealidad del supremos

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq s\leq t} & |E(s)|^2\\ & \leq D_1 \sup_{0\leq s\leq t}\left(\int_0^s |E(r-)|^2dr\right)\\ & \qquad + D_1\sup_{0\leq s\leq t}\left(\sup_{0\leq u\leq t}|Y(u-)-\overline{Y}(u-)|^2\int_0^s\left(1+|Y(r-)|^q+|\overline{Y}(r-)|^q\right)dr\right)\\ & \qquad + \sup_{0\leq s\leq t}M_1(s) + \sup_{0\leq s\leq t} M_2(s) + \sup_{0\leq s\leq t} M_3(t). \end{aligned} \tag{6.183}\]

Notemos que la primer integral respecto al error, \(E(r-)\) es creciente en \(s\) por lo tanto podemos simplificarlo mediante

\[ \sup_{0\leq s\leq t}\left(\int_0^s |E(r-)|^2dr\right)= \int_0^t |E(s-)|^2ds. \tag{6.184}\]

De igual forma se tiene que el factor \(\displaystyle \left(1+|Y(r-)|^q+|\overline{Y}(r-)|^q\right)\) es creciente, por lo tanto por la propiedad del producto de supremos y la monotonía en funciones crecientes se tiene que

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq s\leq t} & \Bigg(\sup_{0\leq u\leq t} |Y(u-) - \overline{Y}(u-)|^2 \int_0^s\left(1+|Y(r-)|^q+|\overline{Y}(r-)|^q\right)dr\Bigg)\\ & \leq \left(\sup_{0\leq s\leq t} |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\right)\int_0^t (1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q)ds. \end{aligned} \tag{6.185}\]

Por tanto, sustituyendo Ecuación 6.184 y Ecuación 6.185 en la Ecuación 6.183 tenemos

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2 & \leq D_1 \int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad + D_1\sup_{0\leq s\leq t}|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\int_0^t\left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)ds\\ & \qquad + \sup_{0\leq s\leq t}M_1(s) + \sup_{0\leq s\leq t} M_2(s) + \sup_{0\leq s\leq t} M_3(t). \end{aligned} \]

Tomando valor esperado

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \leq D_1 \mathbb{E}\Bigg[\int_0^t |E(s-)|^2ds\Bigg]\\ & \qquad + D_1\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\int_0^t\left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)ds\Bigg]\\ & \qquad + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}M_1(s)\Bigg] + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t} M_2(s)\Bigg] + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t} M_3(t)\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.186}\]

Dado que \(|E(s-)|^2\geq 0\) y dicho proceso es medible, por el Teorema 3.7 se cumple

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^t |E(s-)|^2ds\Bigg] = \int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds. \]

Por otro lado, aplicando el Teorema 3.9 y nuevamente el Teorema 3.7, se puede afirmar

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2 \int_0^t\left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)ds\Bigg]\\ & \leq \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Bigg]\mathbb{E}\Bigg[\int_0^t\left(1+|Y(s-)|^q+|\overline{Y}(s-)|^q\right)ds\Bigg]\\ & = \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Bigg]\Bigg(\int_0^t\left(1+\mathbb{E}\Big[|Y(s-)|^q\Big]+\mathbb{E}\Big[|\overline{Y}(s-)|^q\Big]\right)ds\Bigg). \end{aligned} \]

La Ecuación 6.186 queda de acotada mediante

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[ & \sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \leq D_1 \int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad + D_1\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Bigg]\Bigg(\int_0^t\Big(1+\mathbb{E}\Big[|Y(s-)|^q\Big]\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\mathbb{E}\Big[|\overline{Y}(s-)|^q\Big]\Big)ds\Bigg)\\ & \qquad + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}M_1(s)\Bigg] + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t} M_2(s)\Bigg] + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t} M_3(t)\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.187}\]

Recordemos que la aproximación escalonada \(Y(s)\) está definida en la Ecuación 6.6, para \(s\in [t_n,t_{n+1}]\) se tiene que \(Y(s)=Y_n^*\) dentro del intérvalo \([0,T]\), por lo tanto, su magnitud está estrictamente acotada por el supremo de las magnitudes de todos los elementos de la secuencia, es decir

\[ |Y(s-)|\leq \sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|. \]

Notemos que esta desigualdad se cumple trayectoria por trayectoria y es válida para cualquier \(s\in[0,T]\). Por otro lado, como la función \(x\mapsto x^q\) es monótonamente creciente para \(x\geq 0\) y \(q\in \mathbb{Z}^+\), al elevar a la potencia \(q\) y tomar valor esperado a ambos lados la desigualdad se mantiene

\[ \mathbb{E}\left[|Y(s-)|^q\right]\leq \mathbb{E}\left[\Bigg(\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|\Bigg)^q\right]=\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^q\right]. \]

Dado \(q\in \mathbb{Z}^+\) es posible encontrar \(p_1\geq 1\) tal que \(q\leq 2p_1\), con esto

\[ \mathbb{E}\left[|Y(s-)|^q\right]\leq \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^q\right]\leq \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^{2p_1}\right]. \tag{6.188}\]

De forma similar, existe \(p_2\geq 1\) tal que

\[ \mathbb{E}\left[|\overline{Y}(s-)|^q\right]\leq \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}|^q\right]\leq \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}|^{2p_2}\right]. \tag{6.189}\]

Tomando a \(p=\max\{p_1,p_2\}\) y aplicando el Lema 6.2 y Lema 6.3 a la Ecuación 6.188 y Ecuación 6.189 respectivamente, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[|Y(s-)|^q\right] & \leq \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t_n\leq T}|Y_n^*|^{2p}\right]\leq A,\\ \mathbb{E}\left[|\overline{Y}(s-)|^q\right] & \leq \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}|^{2p}\right]\leq A_1, \end{aligned} \tag{6.190}\]

Por el Lema 6.5, para \(t\in[0,T]\) se cumple que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Bigg] & \leq \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq t\leq T}|Y(t-)-\overline{Y}(t-)|^2\Bigg]\\ & \leq E\Delta t. \end{aligned} \tag{6.191}\]

Sustituyendo la Ecuación 6.190 y Ecuación 6.191 en la Ecuación 6.187 tenemos que se reduce

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[ & \sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \leq D_1 \int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad + D_1\widetilde{E}\Delta t\Bigg(\int_0^t\left(1+A+A_1\right)ds\Bigg)\\ & \qquad + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}M_1(s)\Bigg] + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t} M_2(s)\Bigg] + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t} M_3(t)\Bigg]\\ & \leq D_1 \int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad + D_1(T(1+A+A_1))E\Delta t\\ & \qquad + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}M_1(s)\Bigg] + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t} M_2(s)\Bigg] + \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t} M_3(t)\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.192}\]

Usaremos el Teorema 3.16 para acotar a los procesos \(M_1(t)\), \(M_2(t)\) y \(M_3(t)\), sin embargo es necesario garantizar que dichos procesos son martingalas. Para ello, basta demostrar que sus integrandos pertenecen al espacio \(L^2\).

Debemos contemplar los métodos en los que aplicaremos el Lema 6.3, Lema 6.4 y Lema 6.5 de la siguiente forma: Para \(s\in[0,t]\subset [0,T]\) y \(p_1\geq 1\) y \(p_2\geq 4\) tal que \(4\leq p\) y \(4\leq 2p\), donde \(p:=\max\{p_1,p_2\}\), se satisface

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Big[|\overline{Y}(s)|^4\Big] & \leq \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq t\leq T}|\overline{Y}(t)|^2p\Bigg]\leq A_1,\\ \mathbb{E}\Big[|X(s)|^4\Big] & \leq \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq t\leq T}|X(t)|^p\Bigg]\leq A_2,\\ \mathbb{E}\Big[|Y(s)-\overline{Y}(s)|^2\Big] & \leq \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq t\leq T}|Y(t)-\overline{Y}(t)|^2\Bigg]\leq E\Delta t. \end{aligned} \tag{6.193}\]

Para que \(M_1(t)\) pertenezca al espacio \(L^2\), debemos demostrar que es un martingala cuadrado-integrable. Esto equivale a probar que la esperanza de la integral del cuadrado de su integrando es finita, es decir

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^t |2E(s)(g(Y(s))-g(X(s)))|^2\, ds\Bigg]<\infty. \tag{6.194}\]

Haciendo uso de la Ecuación 6.10 para obtener la siguiente cota al integrando

\[ \begin{aligned} |2E(s)(g(Y(s))-g(X(s)))|^2 & = 4|E(s)|^2\, |g(Y(s))-g(X(s))|^2\\ & \leq 4L_g|E(s)|^2\cdot |Y(s)-X(s)|^2\\ & \leq 4L_g|E(s)|^2\, 2\Big(|Y(s)-\overline{Y}(s)|^2+|E(s)|^2\Big)\\ & = 8L_g \Big(|E(s)|^4+|E(s)|^4\, |Y(s)-\overline{Y}(s)|^2\Big) \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 6.194 y aplicar el Teorema 3.7, se obtiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\int_0^t |2E(s)(g(Y(s))-g(X(s)))|^2\, ds\Bigg]\\ & \leq 8L_g\mathbb{E}\Bigg[\int_0^t|E(s)|^4+|E(s)|^2\, |Y(s)-\overline{Y}(s)|^2\, ds\Bigg]\\ & = 8L_g\Bigg(\int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s)|^4\Big]ds+\int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s)|^4\, |Y(s)-\overline{Y}(s)|^2\Big]\, ds\Bigg) \end{aligned} \]

Notemos que para el valor esperado de los términos \(|E(s)|^4\), es posible descomponerlos de la siguiente forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Big[|E(s)|^4\Big] & = \mathbb{E}\Big[|\overline{Y}(s)-X(s)|^4\Big]\\ & \leq 8\mathbb{E}\Big[|\overline{Y}(s)|^4+|X(s)|^4\Big]\\ & = 8\mathbb{E}\Big[|\overline{Y}(s)|^4\Big]+8\mathbb{E}\Big[|X(s)|^4\Big]. \end{aligned} \]

Al sustituir esto y usar la independencia entre los procesos \(|E(s)|^2\) y \(|Y(s)-\overline{Y}(s)|^2\) además de usar también las cotas definidas en la Ecuación 6.193 se afirma que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\int_0^t |2E(s)(g(Y(s))-g(X(s)))|^2\, ds\Bigg]\\ & \leq 8L_g\Bigg(\int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s)|^4\Big]ds+\int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s)|^4\Big]\mathbb{E}\Big[|Y(s)-\overline{Y}(s)|^2\Big]\, ds\Bigg)\\ & \leq 8L_g\Bigg(8\int_0^t\mathbb{E}\Big[|\overline{Y}(s)|^4\Big]\, ds +8\int_0^t \mathbb{E}\Big[|X(s)|^4\Big]\, ds\\ & \qquad\qquad\quad + 8\int_0^t \mathbb{E}\Big[|\overline{Y}(s)|^4\Big] \mathbb{E}\Big[|Y(s)-\overline{Y}(s)|^2\Big]\, ds\\ & \qquad\qquad\quad + 8\int_0^t \mathbb{E}\Big[|X(s)|^4\Big]\mathbb{E}\Big[|Y(s)-\overline{Y}(s)|^2\Big]\, ds\Bigg)\\ & \leq 64L_g\Bigg(\int_0^t (A_1 + A_2+ A_1\, E\Delta t+ A_2\,E\Delta t)\, ds\Bigg)\\ & \leq 64L_gT(A_1 + A_2+ A_1\, E\Delta t+ A_2\,E\Delta t)<\infty \end{aligned} \]

Por lo que queda demostrado que el integrando del proceso \(M_1(t)\) pertenece al espacio \(L^2\). En consecuencia, \(M_1(t)\) es una martingala cuadrado-integrable.

Para el proceso \(M_2(t)\), basta notar la similitud entre las cotas dadas en la Ecuación 6.10 y la Ecuación 6.11 para la función \(g\) y la función \(h\) respectivamente. Por lo que el procedimiento para demostrar que la esperanza de la integral del cuadrado del integrando de \(M_2(t)\) es finita, es decir

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^t |2E(s)(h(Y(s))-h(X(s)))|^2\, ds\Bigg]<\infty, \]

es completammente análoga a lo hecho previamente con \(M_1(t)\). Por tanto, \(M_2(t)\) es una martingala cuadrado-integrable. Ahora bien, para el proceso \(M_3(t)\), demostraremos que se cumple

\[ \mathbb{E}\Bigg[\int_0^t |2(h(Y(s))-h(X(s)))^2|^2\, ds\Bigg]<\infty. \]

Nuevamente usaremos la Ecuación 6.11 para acotar el integrando de la siguiente forma

\[ \begin{aligned} |2(h(Y(s))-h(X(s)))^2|^2 & \leq 4L_h^2|Y(s)-X(s)|^4\\ & \leq 16L_h^2\Big(|Y(s)|^4+|X(s)|^4\Big). \end{aligned} \]

A partir de la definición la aproximación escalonada \(Y(s)\) dada en la Ecuación 6.6, podemos afirmar que para algún \(n\in [1,N_T]\) se tiene \(Y(s)=Y_n^*(t)\) y con esto podemos hacer uso del Lema 6.2 para encontrar la siguiente cota

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\int_0^t |2(h(Y(s))-h(X(s)))^2|^2\, ds\Bigg] \\ & \leq 16L_h^2\mathbb{E}\Bigg[\int_0^t \Big(|Y(s)|^4+|X(s)|^4\Big)\, ds\Bigg]\\ & = 16L_h^2\int_0^t \mathbb{E}\Big[\Big(|Y(s)|^4+|X(s)|^4\Big)\, ds\Big]\\ & = 16L_h^2\Bigg(\int_0^t \mathbb{E}\Big[|Y(s)|^4\Big]\, ds+ \int_0^t \mathbb{E}\Big[|X(s)|^4\Big]\, ds\Bigg)\\ & \leq 16L_h^2T \Big(A+A_2)<\infty. \end{aligned} \]

Por lo tanto \(M_3(t)\) es una martingala cuadrado-integrable.

Dado que los procesos \(M_1(t)\), \(M_2(t)\) y \(M_3(t)\) son martingalas verdaderas, podemos hacer uso del Teorema 3.16 para cada una de ellas.

Comenzando con el proceso \(M_1(t)\), aplicamos el Teorema 3.16 con exponente \(q=1\). De esta forma, podemos afirmar que existe una constante universal \(C_1 > 0\) (la cual depende únicamente del exponente \(q\) y, por tanto, es estrictamente independiente del paso de tiempo \(\Delta t\)) tal que

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|M_1(s)|\right] \leq C_1\mathbb{E}\left[[ M_1]_t^{1/2}\right], \tag{6.195}\]

donde \([ M_1]_t\) está denotando a la variación de dicho proceso, la cuál está dada por la integral de Lebesgue del cuadrado del integrando estocástico, es decir

\[ [ M_1]_t = \int_0^t 4|E(s-)|^2|g(Y(s-))-g(X(s-))|^2 ds. \]

Para el coeficiente de difusión \(g\), podemos usar la condición global de Lipschitz dada en la Ecuación 6.10, además usaremos la siguiente identidad

\[ Y(s-)-X(s-)=Y(s-)-\overline{Y}(s-)+E(s-), \]

considerando esto y el Teorema 3.8, se obtiene la siguiente cadena de desigualdades

\[ \begin{aligned} [ M_1]_t & \leq 4\int_0^t|E(s-)|^2 L_g|Y(s-)-X(s-)|^2ds\\ & \leq 4L_g\int_0^t |E(s-)|^2\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|+|E(s-)|\Big)^2ds\\ & \leq 4L_g\int_0^t |E(s-)|^2 2\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)ds\\ & \leq 8L_g\int_0^t |E(s-)|^2 \Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)ds \end{aligned} \]

Por otro lado notemos que para \(s\in[0,t]\) se cumple

\[ |E(s-)|^2\leq \sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2, \]

dado que este término no depende de \(s\), podemos factorizarlo fuera de la integral

\[ [ M_1]_t \leq 8L_g\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\int_0^t\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)ds. \]

Por lo tanto, tomando raíz cuadrada y usando su propiedad distributiva es posible tener

\[ [ M_1]_t^{1/2}\leq \sqrt{8L_g}\left(\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\int_0^t\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)ds\right)^{1/2}. \tag{6.196}\]

Aplicaremos el Lema 3.3 en su versión generalizada, dado \(\varepsilon>0\), el cuál definiremos más adelante, se satisface lo siguiente

\[ \begin{aligned} \left(\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\right)^{1/2}&\left(\int_0^t\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)ds\right)^{1/2}\\ & \leq \frac{1}{2\varepsilon}\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2 \\ & \qquad + \frac{\varepsilon}{2} \int_0^t\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)ds. \end{aligned} \]

Sustituyendo esto y la Ecuación 6.196 en la Ecuación 6.195 tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left(\sup_{0\leq s\leq t}|M_1(t)|\right)\\ & \leq C_1 2\sqrt{2L_g}\Bigg(\frac{1}{2\varepsilon}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad\qquad\qquad\quad + \frac{\varepsilon}{2}\mathbb{E}\Bigg[\int_0^t \Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2ds\Big)\Bigg]\Bigg)\\ & = \frac{C_1 2\sqrt{2L_g}}{2\varepsilon}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad\quad + \frac{C_1 2\sqrt{2L_g}\varepsilon}{2}\mathbb{E}\Bigg[\int_0^t \Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2ds\Big)\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.197}\]

Aplicando el Teorema 3.7 al segundo término de la Ecuación 6.197 se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left(\sup_{0\leq s\leq t}|M_1(t)|\right)\\ & \leq \frac{C_1 2\sqrt{2L_g}}{2\varepsilon}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad\quad + \frac{C_1 2\sqrt{2L_g}\varepsilon}{2}\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2ds\Big]\\ & \qquad\quad + \frac{C_1 2\sqrt{2L_g}\varepsilon}{2}\int_0^t \mathbb{E}\Big[|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Big]ds. \end{aligned} \]

Basta tomar \(\varepsilon=6C_1\sqrt{2L_g}>0\) para poder reducir la expresión anterior de tal forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left(\sup_{0\leq s\leq t}|M_1(t)|\right)\\ & \leq \frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad\quad + 12C_1^2L_g\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2ds\Big]\\ & \qquad\quad + 12C_1^2L_g\int_0^t \mathbb{E}\Big[|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Big]ds. \end{aligned} \tag{6.198}\]

Notemos que para \(s\in [0,t]\subset [0,T]\) se satisface

\[ |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\leq \sup_{0\leq t\leq T}|Y(t-)-\overline{Y}(t-)|^2. \]

Al tomar valor esperado, por la monotonía de dicha función, la expresión anterior se conserva y es posible aplicar el Lema 6.5 de tal forma que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Big[|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Big] & \leq \mathbb{E}\Big[\sup_{0\leq t\leq T}|Y(t-)-\overline{Y}(t-)|^2\Big]\\ & \leq E\Delta t. \end{aligned} \tag{6.199}\]

Por lo tanto, de la Ecuación 6.198 se tiene

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left(\sup_{0\leq s\leq t}|M_1(t)|\right)\\ & \leq \frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad\quad + 12C_1^2L_g\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s)|^2ds\Big]\\ & \qquad\quad + 12C_1^2L_g\int_0^t E\Delta tds\\ & \leq \frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad\quad + 12C_1^2L_g\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s)|^2ds\Big]\\ & \qquad\quad + 12C_1^2L_g T E\Delta t. \end{aligned} \tag{6.200}\]

Usaremos un procedimiento similar para acotar el proceso \(M_2(t)\). Por Teorema 3.16, existe una constante \(C_2>0\) independiente de \(\Delta t\) tal que

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_2(s)|\Bigg]\leq C_2\mathbb{E}\Big[[ M_2]_t^{1/2}\Big]. \tag{6.201}\]

Para una integral estocástica con respecto al proceso de Poisson compensado \(\widetilde{N}(s)\); la variación cuadratica \([ M_2]_t\) se obtiene por el Teorema 3.12, obteniendo en nuestro caso

\[ [ M_2]_t = 4\lambda\int_0^t |E(s-)|^2|h(Y(s-))-h(X(s-))|^2ds. \]

Dado que el coeficiente de salto \(h\) también cumple con la condición de Lipschitz dada en la Ecuación 6.11, es posible realizar el mismo cálculo que se usó con el coeficiente de difusión \(g\) de tal forma que

\[ [ M_2]_t^{1/2} = \sqrt{8\lambda L_h}\left(\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\int_0^t |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2ds\right)^{1/2}. \tag{6.202}\]

Usando el Lema 3.3 en su versión generalizada, para \(\delta>0\) se satisface

\[ \begin{aligned} \Bigg(\sup_{0\leq s\leq t} & |E(s)|^2\Bigg)^{1/2}\left(\int_0^t |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2ds\right)^{1/2}\\ & \leq \frac{1}{2\delta}\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2+\frac{\delta}{2}\int_0^t \Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)ds. \end{aligned} \]

Sustituyendo lo anterior y la Ecuación 6.202 en la Ecuación 6.201 obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_2(t)|\Bigg]\\ & \leq 2C_2\sqrt{2\lambda L_h}\Bigg[\frac{1}{2\delta}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad\qquad\qquad\quad + \frac{\delta}{2}\Bigg(\int_0^t \mathbb{E}\Big[|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad\qquad\qquad\qquad + \int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\Bigg)\Bigg]\\ & = \frac{2C_2\sqrt{2\lambda L_h}}{2\delta}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad + \frac{2C_2\sqrt{2\lambda L_h}\delta}{2}\int_0^t \mathbb{E}\Big[|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad + \frac{2C_2\sqrt{2\lambda L_h}\delta}{2}\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds. \end{aligned} \]

Definiendo a \(\delta=6C_2\sqrt{2\lambda L_h}\), usando la Ecuación 6.199, la expresión anterior se reduce a

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} \Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_2(t)|\Bigg] & \leq \frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad + 12C_2^2\lambda L_h\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad + 12C_2^2\lambda L_h\int_0^t E\Delta t\\ & \leq \frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \qquad + 12C_2^2\lambda L_h\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad + 12C_2^2\lambda L_h T E\Delta t. \end{aligned} \tag{6.203}\]

Por último, acotaremos el proceso \(M_3(t)\), por el Teorema 3.16, existe una constante \(C_3>0\) tal que

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_3(s)|\Bigg]\leq C_3\mathbb{E}\Big[[ M_3]_t^{1/2}\Big], \tag{6.204}\]

donde de igual manera que con el proceso \(M_2(t)\), la variación cuadrática de \(M_3(t)\) está dada por la siguiente integral

\[ [ M_3]_t = \lambda\int_0^t |h(Y(s-))-h(X(s-))|^4ds. \]

Usando las mismas herramientas anteriormente, tenemos

\[ \begin{aligned} [ M_3]_t & \leq \lambda\int_0^t \Big(L_h|Y(s-)-X(s-)|^2\Big)^2ds\\ & \leq \lambda L_h^2\int_0^t \Bigg(2\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)\Bigg)^2ds\\ & = \lambda L_h^2\int_0^t 4\Big(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^2+|E(s-)|^2\Big)^2ds\\ & \leq 8\lambda L_h^2\int_0^t |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^4+|E(s-)|^4ds. \end{aligned} \]

Al tomar raíz cuadrada, usando la propiedad distributiva y por subaditividad se tiene

\[ \begin{aligned} [ M_3]_t^{1/2} & \leq \sqrt{8\lambda L_h^2}\Bigg(\int_0^t |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^4+|E(s)|^4ds\Bigg)^{1/2}\\ & \leq 2\sqrt{2\lambda}L_h\Bigg[\Bigg(\int_0^t |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^4ds\Bigg)^{1/2}\\ & \qquad\qquad\qquad + \Bigg(\int_0^t |E(s-)|^4ds\Bigg)^{1/2}\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.205}\]

El término \(|E(s-)|^4\) podemos acotarlo de la siguiente forma

\[ |E(s-)|^4\leq \Bigg(\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\Bigg)|E(s-)|^2. \]

Por otro lado, para el término \(|Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^4\) queda acotado mediante

\[ |Y(s-)-\overline{Y}(s-)|^4 \leq \Bigg(\sup_{0\leq r\leq t}|Y(r)-\overline{Y}(r)|^2\Bigg)^2. \]

Sustituyendo ambas cotas en Ecuación 6.205 tenemos

\[ \begin{aligned} [ M_3]_t^{1/2} & \leq 2\sqrt{2\lambda}L_h\Bigg[\Bigg(\Bigg(\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\Bigg)\int_0^t |E(s-)|^2ds\Bigg)^{1/2}\\ & \qquad\qquad\qquad + \Bigg(\int_0^t \Bigg(\sup_{0\leq r\leq t}|Y(r)-\overline{Y}(r)|^2\Bigg)^2 ds\Bigg)^{1/2}\Bigg]\\ & \leq 2\sqrt{2\lambda}L_h\Bigg[\Bigg(\Bigg(\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\Bigg)\int_0^t |E(s-)|^2ds\Bigg)^{1/2}\\ & \qquad\qquad\qquad + \sqrt{T}\sup_{0\leq r\leq t}|Y(r)-\overline{Y}(r)|^2\Bigg]. \end{aligned} \tag{6.206}\]

Usamos nuevamente por el Lema 3.3, para \(\mu>0\) se cumple

\[ \Bigg(\Bigg(\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\Bigg)\int_0^t |E(s-)|^2ds\Bigg)^{1/2}\leq \frac{1}{2\mu}\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2+\frac{\mu}{2}\int_0^t |E(s-)|^2ds. \]

Al sustituir y reducir en la Ecuación 6.206

\[ \begin{aligned} [ M_3]_t^{1/2} & \leq 2\sqrt{2\lambda}L_h\Bigg[\frac{1}{2\mu}\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\\ & \qquad\qquad\qquad + \frac{\mu}{2}\int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad\qquad\qquad + \sqrt{T}\sup_{0\leq r\leq t}|Y(r)-\overline{Y}(r)|^2\Bigg]\\ & = \frac{2\sqrt{2\lambda}L_h}{2\mu}\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\\ & \qquad\quad+ \frac{2\sqrt{2\lambda}L_h\mu}{2}\int_0^t |E(s-)|^2ds\\ & \qquad\quad + 2\sqrt{2\lambda T}L_h\sup_{0\leq r\leq t}|Y(r)-\overline{Y}(r)|^2. \end{aligned} \]

Sustituyendo en Ecuación 6.204 y usando la propiedad distributiva del valor esperado tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_3(s)|\Bigg] & \leq \frac{2C_3\sqrt{2\lambda}L_h}{2\mu}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\Bigg]\\ & \qquad\quad+ \frac{2C_3\sqrt{2\lambda}L_h\mu}{2}\mathbb{E}\Bigg[\int_0^t |E(s-)|^2ds\Bigg]\\ & \qquad\quad + 2C_3\sqrt{2\lambda T}L_h\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq r\leq t}|Y(r)-\overline{Y}(r)|^2\Bigg]. \end{aligned} \]

Tomamos a \(\mu=6C_3\sqrt{2\lambda}L_h\), al usar la Ecuación 6.199 y el Teorema 3.7 podemos reducir la expresión anterior como se sigue

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_3(s)|\Bigg] & \leq \frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq r\leq t}|E(r)|^2\Bigg]\\ & \qquad\quad+ 12(C_3L_h)^2\lambda\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad\quad + 2C_3\sqrt{2\lambda T}L_hE\Delta t. \end{aligned} \tag{6.207}\]

Sumando las cotas de la Ecuación 6.200, Ecuación 6.203 y Ecuación 6.207 tenemos que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_1(s)|\Bigg] +\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_2(s)|\Bigg]+\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|M_3(s)|\Bigg]\\ & \leq \Bigg(\frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg] + 12C_1^2L_g\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2ds\Big]+ 12C_1^2L_g T E\Delta t\Bigg)\\ & \quad + \Bigg(\frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]+ 12C_2^2\lambda L_h\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds + 12C_2^2\lambda L_h T E\Delta t\Bigg)\\ & \quad + \Bigg(\frac{1}{6}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg] + 12(C_3L_h)^2\lambda\int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds+ 2C_3\sqrt{2\lambda T}L_hE\Delta t\Bigg)\\ & = \frac{1}{2}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg] + \overline{A} \int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds + \overline{B} \Delta t\\ & \leq \frac{1}{2}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg] + \overline{D} \int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds+ \overline{D} \Delta t, \end{aligned} \tag{6.208}\]

donde

\[ \begin{aligned} \overline{A} & = 12C_1^2L_g+12C_2^2\lambda L_h+12(C_3L_h)^2\lambda, \\ \overline{B} & = 12C_1^2L_g E T +12C_2^2\lambda L_h E T +C_3\sqrt{8\lambda\lambda T}L_h E, \\ \overline{D} & := \max\{\overline{A},\overline{B}\}. \end{aligned} \]

Por lo tanto, de la Ecuación 6.192

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[ & \sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \leq D_1 \int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad + D_1(T(1+A+A_1))E\Delta t\\ & \qquad + \frac{1}{2}\mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg] + \overline{D} \int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds+ \overline{D} \Delta t\\ & \leq 2(D_1+\overline{D})\int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad +2(D_1(T(1+A+A_1))+\overline{D})\Delta t\\ & \leq \mathcal{D}\int_0^t\mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\\ & \qquad +\mathcal{D}\Delta t, \end{aligned} \tag{6.209}\]

donde \(\mathcal{D}\) se define como

\[ \mathcal{D}:=\max\{2(D_1+\overline{D}),2(D_1(T(1+A+A_1))+\overline{D})\}. \]

Dado que el límite por la izquierda de un proceso estocástico está acotado por el supremo del proceso en el mismo intenvalo, notemos que para cualquier \(r\in [0,s]\), se cumple

\[ |E(r-)|^2\leq \sup_{0\leq u\leq r}|E(u)|^2\leq \sup_{0\leq u\leq s}|E(u)|^2. \]

Por lo tanto

\[ \int_0^t \mathbb{E}\Big[|E(s-)|^2\Big]ds\leq \int_0^t \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq u\leq s}|E(u)|^2\Bigg]ds \]

La Ecuación 6.209 queda de la siguiente forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\Bigg[ & \sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\\ & \leq \mathcal{D} \int_0^t \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq u\leq s}|E(u)|^2\Bigg]ds\\ & \qquad +\mathcal{D}\Delta t, \end{aligned} \tag{6.210}\]

esto para toda \(t\in[0,T]\). Haremos uso del Teorema 3.18, el cuál establece que si una función no negativa y continua, \(u(t)\), en el intervalo \([0,T]\), y existen constantes no negativas \(\alpha\) y \(\beta\) tales que

\[ u(t)\leq \alpha +\beta\int_0^t u(s)ds, \qquad\forall t\in[0,T], \]

entonces se garantiza que \(u(t)\leq \alpha e^{\beta t}\). Con esto, basta tomar a \(\alpha = \mathcal{D}\Delta t\), \(\beta= \mathcal{D}\) y \(\displaystyle u(t) = \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\), aplicando directamente esta desigualdad a la Ecuación 6.210, se deduce

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq t}|E(s)|^2\Bigg]\leq \mathcal{D}e^{\mathcal{D}t}\Delta t. \]

Ahora bien, evaluando en \(t=T\) se tiene \(\alpha\)

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup_{0\leq s\leq T}|E(s)|^2\Bigg]\leq \mathcal{D}e^{\mathcal{D}T}\Delta t, \]

lo que completa la demostración del teorema.