Estudio Analítico de EDEs con Saltos: De la Existencia de Soluciones a la Convergencia Fuerte de Esquemas Implícitos

Resumen

Esta tesis analiza las propiedades cualitativas y cuantitativas de las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDEs) con saltos, impulsadas por un movimiento browniano y un proceso de Poisson compensado. En primer lugar, se demuestra la existencia y unicidad de soluciones fuertes mediante el método de iteración de Picard en el espacio \(L^2,\) bajo condiciones globales de Lipschitz y crecimiento lineal, y se extiende el resultado a condiciones iniciales generales mediante técnicas de localización por truncamiento. Posteriormente se estudia la estabilidad asintótica en media cuadrática del caso lineal y se demuestra que el método Theta Compensado Estocástico (CSTM) hereda la estabilidad del sistema continuo, es decir, es A-estable de manera incondicional para \(\theta \in [1/2,\,1].\)

Finalmente se aborda el caso no lineal, en el que los coeficientes satisfacen una condición de Lipschitz unilateral y presentan crecimiento polinomial. Se establece el acotamiento uniforme de los momentos de las sucesiones discretas y de sus extensiones a tiempo continuo, y se prueba que el método Compensated Split-Step theta (\(\text{CSS}\theta\)) converge fuertemente a la solución exacta con orden \(\frac{1}{2}.\) El trabajo consolida así un marco analítico riguroso que sustenta el uso de esquemas implícitos compensados para la aproximación de sistemas estocásticos con discontinuidades.

\(\textbf{Palabras clave:}\) Ecuaciones Diferenciales Estocásticas con saltos; procesos de Poisson compensado; existencia y unicidad; estabilidad en media cuadrática; convergencia fuerte; métodos theta compensados.

Abstract

This thesis analyses the qualitative and quantitative properties of stochastic differential equations (SDEs) with jumps driven by a Brownian motion and a compensated Poisson process. First, the existence and uniqueness of strong solutions are proved by means of the Picard iteration method in the space \(L^2\), under global Lipschitz and linear growth conditions; the result is then extended to general initial data through localisation by truncation. Secondly, asymptotic mean-square stability is investigated in the linear case, and it is shown that the Compensated Stochastic Theta Method (CSTM) inherits the stability of the continuous system, that is, it is unconditionally A-stable whenever \(\theta \in [1/2,\,1].\)

Finally, the nonlinear case is considered, where the coefficients satisfy a one-sided Lipschitz condition and exhibit polynomial growth. Uniform bounds on the moments of the discrete sequences and of their continuous-time extensions are established, and the Compensated Split-Step theta method (\(\text{CSS}\theta\)) is proved to converge strongly to the exact solution with order \(\frac{1}{2}.\) The thesis thus provides a rigorous analytical framework supporting the use of implicit compensated schemes for the approximation of stochastic systems with discontinuities.

\(\textbf{Keywords:}\) stochastic differential equations with jumps; compensated Poisson processes; existence and uniqueness; mean-square stability; strong convergence; compensated theta methods.