2  Objetivos

2.1 Objetivo general

Analizar las propiedades cualitativas y cuantitativas de las EDEs con saltos mediante herramientas de análisis real y teoría de martingalas, demostrando teoremas de existencia, unicidad y estabilidad, así como la convergencia fuerte de orden \(1/2\) para esquemas numéricos implícitos sujetos a condiciones de crecimiento polinomial y Lipschitz unilateral.

2.2 Objetivos específicos

Para alcanzar el objetivo general, se plantean los siguientes objetivos específicos, alineados con la progresión lógica de los capítulos de esta tesis:

  1. Existencia y Unicidad. Demostrar la existencia y unicidad de soluciones fuertes para EDEs con saltos mediante el método de iteración de Picard en el espacio de Banach \(L^2\), utilizando condiciones de Lipschitz global y crecimiento lineal, y extendiendo la validez del teorema a condiciones iniciales generales mediante técnicas de localización por truncamiento.

  2. Estabilidad en el Caso Lineal. Determinar las condiciones analíticas exactas de estabilidad en media cuadrática para la solución explícita de ecuaciones diferenciales estocásticas lineales con saltos, y demostrar que el método Theta Compensado Estocástico (CSTM) hereda dicha estabilidad (A-estabilidad) de manera incondicional para parámetros \(\theta\in[1/2,1].\)

  3. Convergencia Fuerte en el Caso No Lineal. Probar la convergencia fuerte de orden \(1/2\) del método \(\textbf{Compensated Split-Step}\) \(\theta\) (\(\text{CSS}\theta\)) para EDEs con saltos no lineales, estableciendo previamente el acotamiento uniforme de los momentos de las sucesiones discretas y sus extensiones continuas bajo hipótesis de Lipschitz unilateral y crecimiento polinomial.