2 Preliminares
2.1 Análisis Real y Funcional (Base Analítica).
Definición 2.1 Espacio métrico
Llamamos espacio métrico al par \((X, d)\), donde \(X\) es un conjunto no vacío y \(d: X \times X \to [0, \infty)\) es una función (llamada métrica) que satisface, para todo \(x, y, z \in X\):
\(d(x, y) = 0 \iff x = y\),
\(d(x, y) = d(y, x)\),
\(d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)\).
Definición 2.2 Sucesión de Cauchy.
Una sucesión \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) en un espacio métrico \((X, d)\) es una sucesión de Cauchy si para todo \(\varepsilon > 0\), existe \(N \in \mathbb{N}\) tal que
\[ m, n \geq N \implies d(x_m, x_n) < \varepsilon. \]
Definición 2.3 Espacio métrico completo
Un espacio métrico \((X, d)\) se dice completo si toda sucesión de Cauchy en \(X\) converge a un límite en \(X\).
El espacio \(\mathbb{R}\) con la métrica \(d(x, y) = |x - y|\) es completo.
Definición 2.4 \(\sigma\)-álgebra de Borel.
La \(\sigma\)-álgebra de Borel en \(\mathbb{R}\), denotada \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\), es la \(\sigma\)-álgebra generada por los intervalos abiertos de \(\mathbb{R}\).
Definición 2.5 Función Borel Medible
Una función \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) es Borel-medible si para todo \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\), se tiene que \(f^{-1}(B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\).
Teorema 2.1 Toda función continua \(f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es Borel-medible.
Demostración. Si \(f\) es continua, la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierta. Como los abiertos generan \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) y la preimagen conmuta con uniones, intersecciones numerables y complementos, se sigue que \(f^{-1}(B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) para todo \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\).
2.2 Espacios \(L^2\) y convergencia.
Definición 2.6 Sea \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de probabilidad. EL espacio \(L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) se define como
\[ L^2 = \left\{ X: \Omega \to \mathbb{R} \mid X \text{ es } \mathcal{F}\text{-medible y } \mathbb{E}[|X|^2] < \infty \right\}. \]
Definición 2.7 Para \(X \in L^2\), su norma se define como
\[ \|X\|_{L^2} = \left( \mathbb{E}[|X|^2] \right)^{1/2}. \]
Definición 2.8 Una sucesión \((X_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^2\) converge en \(L^2\) a \(X \in L^2\) si
\[ \lim_{n \to \infty} \|X_n - X\|_{L^2} = 0, \]
es decir, \(\lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{E}[|X_n - X|^2] = 0\).
2.3 Espacios de Banach
Definición 2.9 Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado \((X, \|\cdot\|)\) que es completo con respecto a la métrica inducida por la norma, es decir, toda sucesión de Cauchy en \(X\) converge en \(X\).
El espacio \(L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) es un espacio de Banach (de hecho, un espacio de Hilbert).
Definición 2.10 Una sucesión \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) en un espacio normado \((X, \|\cdot\|)\) es de Cauchy si para todo \(\varepsilon > 0\), existe \(N \in \mathbb{N}\) tal que
\[ m, n \geq N \implies \|x_m - x_n\| < \varepsilon. \]
En \(\mathbb{R}\), esto se reduce a: \((x_n)\) es de Cauchy si \(|x_m - x_n| < \varepsilon\) para \(m, n\) suficientemente grandes.
2.4 Desigualdades
Proposición 2.1 Para cualesquiera \(a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}\),
\[ \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 \leq n \sum_{i=1}^n a_i^2. \]
En particular, para \(n = 3\),
\[ (a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2). \]
Proposición 2.2 Sean \(f, g: [0, T] \to \mathbb{R}\) funciones medibles tales que \(f, g \in L^2([0, T])\). Entonces
\[ \left| \int_0^T f(s) g(s) \, ds \right| \leq \left( \int_0^T |f(s)|^2 \, ds \right)^{1/2} \left( \int_0^T |g(s)|^2 \, ds \right)^{1/2}. \]
Corolario 2.1 Si \(g \equiv 1\), entonces para todo \(t \in [0, T]\),
\[ \left( \int_0^t f(s) \, ds \right)^2 \leq t \int_0^t |f(s)|^2 \, ds. \]