3  Preliminares

Para abordar los objetivos planteados, es imperativo establecer un marco teórico riguroso que permita dar sentido matemático a las fluctuaciones aleatorias con discontinuidades abruptas. El estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos no puede sustentarse únicamente en el cálculo clásico; requiere la integración de conceptos de análisis real, teoría de la medida y cálculo estocástico. En el siguiente capítulo, se ensamblan de manera sistemática las herramientas fundamentales, desde la topología básica y las desigualdades analíticas, hasta la integral de Itô para procesos con saltos y las desigualdades maximales, que servirán como cimientos para demostrar la existencia, unicidad y convergencia numérica de los modelos que nos ocupan.

A lo largo de los capítulos siguientes, haremos uso constante de herramientas para acotar integrales, intercambiar el orden de integración y esperanza, y controlar el comportamiento de los supremos de martingalas. Por ello, este capítulo no es una mera recopilación de definiciones, sino una selección estratégica de teoremas que serán citados explícitamente en las demostraciones de los Lemas y Teoremas principales.

El estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos descansa, en última instancia, sobre el comportamiento de funciones reales de variable real. En efecto, las trayectorias de los procesos que se considerarán en esta tesis son càdlàg, esto es, funciones \([0,T]\to\mathbb{R}\) continuas por la derecha y con límites por la izquierda; por ello, los resultados clásicos del análisis real y de la topología de \(\mathbb{R}\) pueden aplicarse de manera trayectoria a trayectoria, y constituyen el punto de partida indispensable para todo el desarrollo posterior.

3.1 Elementos de Análisis Real y Topología

En esta sección se reúnen cuatro resultados elementales, cuya necesidad se hará evidente en los capítulos siguientes. Los teoremas de Heine-Borel y de Bolzano-Weierstrass garantizan la compacidad del intervalo \([0,T]\) y la existencia de subsucesiones convergentes, propiedades que se emplean para demostrar que toda función càdlàg es acotada en un intervalo compacto y para manipular los tiempos de paro \(\tau_N\) que se introducirán más adelante. El teorema del valor extremo de Weierstrass proporciona cotas uniformes para los coeficientes de la ecuación cuando estos se evalúan sobre trayectorias truncadas, lo cual es esencial para asegurar que los integrandos pertenezcan a los espacios de integrabilidad requeridos. Finalmente, el teorema del valor intermedio, propio de la conectividad de \(\mathbb{R}\), será la herramienta que garantice la existencia de la solución del paso implícito del esquema numérico CSS\(\theta\) en el Capítulo 6.

Teorema 3.1 (Heine-Borel) Un subconjunto \(K \subset \mathbb{R}\) es compacto si y solo si es cerrado y acotado. En particular, todo intervalo cerrado \([a,b]\subset\mathbb{R}\) es compacto.

Demostración. Véase el capítulo 2, Basic Topology, de (Rudin 1976).

La compacidad de los intervalos cerrados proporciona el marco adecuado para estudiar sucesiones de números reales. En particular, el hecho de que una sucesión esté acotada permite extraer de ella una subsucesión convergente; y si, adicionalmente, la sucesión se contiene en un conjunto cerrado, el límite de dicha subsucesión pertenece también al conjunto. Esta segunda observación es precisamente la que conecta el resultado siguiente con el teorema de Heine-Borel, pues en \(\mathbb{R}\) la compacidad equivale a ser cerrado y acotado.

Teorema 3.2 (Bolzano-Weierstrass) Toda sucesión acotada de números reales posee una subsucesión convergente. En particular, si una sucesión está contenida en un conjunto compacto \(K\subset\mathbb{R}\), entonces posee una subsucesión convergente cuyo límite pertenece a \(K\).

Demostración. Véase el capítulo 2, Basic Topology, de (Rudin 1976).

Además de asegurar la existencia de subsucesiones convergentes, la compacidad tiene una consecuencia decisiva para las funciones continuas: estas alcanzan sus valores máximo y mínimo sobre conjuntos compactos no vacíos. En el contexto de esta tesis, dicho resultado se traduce en cotas uniformes para los coeficientes \(f\), \(g\) y \(h\) cuando se evalúan sobre trayectorias que han sido truncadas mediante un tiempo de paro; sin esa cota uniforme no sería posible garantizar que los integrandos de las integrales estocásticas permanezcan en \(\mathcal{L}^2\), ni que las integrales correspondientes estén bien definidas.

Teorema 3.3 (Valor Extremo de Weierstrass) Sea \(K\subset\mathbb{R}\) un conjunto compacto y no vacío. Si \(f:K\to\mathbb{R}\) es continua, entonces \(f\) alcanza su máximo y su mínimo absolutos en \(K\). Es decir, existen \(x_{\max},x_{\min}\in K\) tales que

\[ f(x_{\min})\leq f(x)\leq f(x_{\max}),\qquad \text{para todo }x\in K. \]

Demostración. Véase el capítulo 4, Continuity, de (Rudin 1976).

Los dos resultados anteriores describen, desde perspectivas complementarias, la imagen de una función continua definida sobre un intervalo compacto: mientras el teorema de Weierstrass afirma que dicha imagen contiene sus extremos, el teorema siguiente afirma que la imagen es un intervalo, es decir, que la función no puede “omitir” valores intermedios. Esta segunda propiedad es la que permitirá, en el Capítulo 6, asegurar la existencia de la solución de la ecuación implícita que define el paso intermedio del método CSS\(\theta\).

Teorema 3.4 (Valor Intermedio) Sea \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) una función continua. Si \(y\) está estrictamente entre \(f(a)\) y \(f(b)\), entonces existe al menos un \(c\in(a,b)\) tal que

\[ f(c)=y. \]

Más generalmente, para cualquier \(y\) comprendido entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe \(c\in[a,b]\) tal que \(f(c)=y\).

Demostración. Véase el capítulo 4, Continuity, de (Rudin 1976).

Conviene subrayar que el teorema del valor intermedio es una consecuencia de la conectividad de \(\mathbb{R}\) y, por tanto, es un privilegio del caso unidimensional: en dimensiones superiores su papel debería ser reemplazado por resultados de punto fijo de naturaleza topológica. Esta observación justifica, desde el marco teórico, la restricción del análisis al caso escalar que se adopta en esta tesis.

Los resultados expuestos en esta sección operan de manera determinista, aplicándose trayectoria a trayectoria. Sin embargo, para modelar fenómenos sujetos a incertidumbre, como el ruido térmico o la ocurrencia abrupta de eventos sísmicos, es necesario trasladarlos a un entorno probabilístico, y ello exige algo más que un espacio de probabilidad: se requiere una estructura que codifique cómo se acumula la información a lo largo del tiempo. La sección siguiente introduce el espacio de probabilidad filtrado y las nociones de procesos adaptado, predecible y càdlàg, sin las cuales carecería de sentido hablar de martingalas, de la isometría de Itô o de la bien-definición de las integrales estocásticas que se construyen en los capítulos posteriores.

3.2 Espacios de Probabilidad y Procesos Estocásticos

El estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs), en particular aquellas impulsadas por un movimiento browniano y procesos de Poisson, requiere un marco probabilístico que permita describir rigurosamente la incertidumbre y la evolución temporal de los fenómenos aleatorios. Para ello, es necesario especificar tanto el espacio donde se definen las variables aleatorias como la información disponible en cada instante.

El entorno natural para las EDEs es un espacio de probabilidad filtrado. La filtración representa la acumulación de información a lo largo del tiempo y permite distinguir entre los procesos que utilizan únicamente la información disponible en el instante considerado y aquellos que dependen de información futura. Esta distinción resulta fundamental para definir las integrales estocásticas y estudiar las propiedades de las soluciones.

Definición 3.1 (Espacio de probabilidad filtrado y sus condiciones usuales) Sea \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de probabilidad. Una filtración es una familia creciente de sub-\(\sigma\)-álgebras \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) de \(\mathcal{F}\) tal que

\[ \mathcal{F}_s\subseteq\mathcal{F}_t,\qquad 0\leq s\leq t. \]

Se dice que el espacio de probabilidad filtrado satisface las condiciones usuales si la filtración es continua por la derecha, es decir,

\[ \mathcal{F}_t=\bigcap_{s>t}\mathcal{F}_s, \]

y \(\mathcal{F}_0\) contiene todos los conjuntos de \(\mathcal{F}\) de probabilidad nula, (Protter 2005).

Una vez establecido el espacio probabilístico filtrado, es necesario precisar cómo se relacionan los procesos estocásticos con la información representada por la filtración. En particular, la adaptabilidad garantiza que el valor de un proceso en el instante \(t\) pueda describirse mediante la información disponible hasta ese momento. Por su parte, la predictibilidad es una condición importante para definir los integrandos de las integrales estocásticas, mientras que la regularidad de las trayectorias permite estudiar sus límites y discontinuidades.

Definición 3.2 (Procesos adaptados, predecibles y càdlàg) Sea \(X=(X_t)_{t\geq 0}\) un proceso estocástico definido sobre un espacio de probabilidad filtrado.

• El proceso \(X\) es \(\textbf{adaptado}\) a la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) si \(X_t\) es \(\mathcal{F}_t\)-medible para todo \(t\geq 0\).

• El proceso \(X\) es \(\textbf{predecible}\) si es medible respecto de la \(\sigma\)-álgebra predecible, generada por los procesos adaptados y continuos por la izquierda.

• El proceso \(X\) tiene trayectorias \(\textbf{càdlàg}\) si, casi seguramente, sus trayectorias son continuas por la derecha y poseen límites por la izquierda en cada instante \(t>0\).

(Applebaum 2009)

Definición 3.3 (Tiempo de paro y proceso truncado) Una variable aleatoria \(\tau:\Omega\to[0,\infty]\) es un \(\textbf{tiempo de paro}\) respecto de la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) si

\[ \{\tau\leq t\}\in\mathcal{F}_t,\qquad \text{para todo }t\geq 0. \]

El proceso detenido asociado a \(X\) y \(\tau\) se define mediante

\[ X^\tau_t:=X_{t\wedge\tau},\qquad t\geq 0, \]

donde \(t\wedge\tau=\min\{t,\tau\}\). Equivalentemente, el proceso evoluciona como \(X_t\) antes de \(\tau\) y permanece constante en el valor \(X_\tau\) después de dicho instante, cuando \(\tau\) es finito.

Si \(X\) es adaptado, bajo las condiciones usuales el proceso detenido también es adaptado (Kallenberg 2002).

Los tiempos de paro permiten construir sucesiones de procesos detenidos cuya evolución se controla en conjuntos acotados. Para estudiar los límites de estas sucesiones y justificar el paso a límites en estimaciones probabilísticas, también es necesario recordar algunas propiedades básicas de la medida de probabilidad. Entre ellas destaca la continuidad de la probabilidad respecto de sucesiones monótonas de eventos, que permite relacionar la probabilidad de un límite de eventos con las probabilidades de los eventos que lo componen.

Teorema 3.5 (Continuidad de la medida de probabilidad) Sea \((A_n)_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de eventos en un espacio de probabilidad \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\).

Si \(A_n\subseteq A_{n+1}\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), entonces

\[ \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(A_n). \]

Por otro lado, si \(A_{n+1}\subseteq A_n\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), entonces

\[ \mathbb{P}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(A_n). \]

La segunda igualdad se sigue de la continuidad desde arriba de la medida, dado que \(\mathbb{P}(A_1)\leq 1<\infty\).

Demostración. Véase el capítulo 2, General Measures, de (Billingsley 1995).

Con el espacio de probabilidad y la estructura de filtración establecidos, podemos ahora introducir el espacio de variables aleatorias cuadrado-integrables, que constituye el marco natural para el análisis de convergencia en media cuadrática de las aproximaciones estocásticas.

Teorema 3.6 (Completitud de \(L^2\)) Sea \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de probabilidad. El espacio

\[ L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}):=\left\{X:\Omega\to\mathbb{R}:X\text{ es medible y }\mathbb{E}[|X|^2]<\infty\right\}, \]

considerado módulo igualdad casi seguramente y equipado con la norma

\[ \|X\|_2:=\left(\mathbb{E}[|X|^2]\right)^{1/2}, \]

es un espacio de Hilbert y, por tanto, un espacio de Banach. En particular, toda sucesión de Cauchy en \(L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) converge, respecto de la norma \(\|\cdot\|_2\), a un elemento de dicho espacio.

Demostración. Véase \(L^p\) Spaces, de (Folland 1999).

La completitud de \(L^2\) constituye una herramienta fundamental para el análisis de las aproximaciones estocásticas. En particular, cuando una sucesión de procesos satisface estimaciones que permiten demostrar que es de Cauchy en media cuadrática, este teorema garantiza la existencia de un límite en \(L^2\). Posteriormente, las propiedades de adaptabilidad, regularidad de las trayectorias y convergencia de dicho límite deben justificarse mediante los argumentos adicionales correspondientes.

En el análisis de EDEs, es común necesitar intercambiar el orden del operador esperanza \(\mathbb{E}\) con la integral de Lebesgue \(ds\), o bien pasar al límite bajo el signo de la esperanza cuando se trabaja con sucesiones de variables aleatorias no negativas. Los siguientes teoremas justifican rigurosamente estas manipulaciones.

Teorema 3.7 (Fubini-Tonelli) Sea \((X, \mathcal{A}, \mu)\) y \((Y, \mathcal{B}, \nu)\) espacios de medida \(\sigma\)-finitos.

• Tonelli Si \(f: X \times Y \to [0, \infty]\) es medible y no negativa, las integrales iteradas son iguales a la integral doble, permitiendo intercambiar el orden sin asumir integrabilidad previa.

• Fubini Si \(f\) es integrable respecto a la medida producto, las integrales iteradas existen, son finitas y coinciden con la integral doble.

En probabilidad, esto justifica escribir \(\mathbb{E}\left[\int_0^t Y_s \,ds\right] = \int_0^t \mathbb{E}[Y_s] \,ds\) cuando \(Y_s \geq 0\).

Demostración. Véase el capítulo Integration, de (Folland 1999); véase también el capítulo 3, en el apartado de la medida producto y al teorema de Fubini, de (Billingsley 1995).

Lema 3.1 (Fatou) Sea \(\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) una sucesión de variables aleatorias no negativas definidas en \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\). Entonces se cumple:

\[ \mathbb{E}\left[ \liminf_{n \to \infty} X_n \right] \leq \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n]. \]

Este lema es indispensable para pasar al límite bajo el signo de la esperanza cuando se trabaja con tiempos de paro \(\tau_N \to T\), garantizando que la cota de los momentos se preserve en el límite.

Demostración. Véase el capítulo Integration, de (Folland 1999).

En conjunto, las definiciones y los resultados de esta sección establecen el marco probabilístico necesario para abordar las ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos. Las filtraciones describen la información disponible, los procesos adaptados y predecibles permiten formular las integrales estocásticas, los tiempos de paro facilitan las técnicas de localización, y los resultados de continuidad, completitud e integración proporcionan herramientas para estudiar sucesiones de aproximaciones y pasar al límite en estimaciones probabilísticas.

Una vez definido el entorno probabilístico y la regularidad de las trayectorias, nos enfrentamos al reto de acotar las integrales y los momentos de estos procesos. Las propiedades de la medida y la completitud de \(L^2\) nos aseguran que los límites existen, pero para demostrar que dichos límites son finitos y controlables, requerimos herramientas analíticas precisas. A continuación, se recopilan las desigualdades fundamentales que permitirán separar términos, acotar productos y controlar las colas de distribución en las demostraciones posteriores.

3.3 Herramientas Analíticas y Desigualdades

En el análisis de las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs), las propiedades de los procesos aleatorios deben combinarse con estimaciones algebraicas y analíticas que permitan controlar los términos que aparecen en sus representaciones integrales. En particular, las demostraciones de existencia, unicidad y convergencia requieren acotar sumas de variables aleatorias, integrales de Lebesgue, productos de procesos y momentos de distintos órdenes.

Las desigualdades de esta sección permiten transformar expresiones complejas en cotas más manejables, evitando que los términos individuales dificulten el análisis. Asimismo, proporcionan herramientas para relacionar la convergencia en media cuadrática con estimaciones de probabilidad, y para controlar los productos que surgen al comparar dos soluciones o una solución exacta con su aproximación numérica.

Comenzaremos con una desigualdad elemental para potencias de sumas, que permite separar varios términos y estimarlos individualmente. Esta propiedad se utilizará de forma recurrente en el Capítulo 4 al elevar al cuadrado las diferencias entre iteraciones de Picard, y en el Capítulo 6 al acotar los momentos de orden superior del método CSS\(\theta\).

Lema 3.2 (Desigualdad para potencias de sumas) Sean \(n\geq 1\) un entero, \(a_1,\ldots,a_n\geq 0\) y \(p\geq 1\). Entonces,

\[ \left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^p\leq n^{p-1}\sum_{i=1}^{n}a_i^p. \]

En particular, para \(a,b,c\geq 0\),

\[ (a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2). \]

Demostración. Véase el capítulo \(L^p\) Spaces, de (Folland 1999).

Esta desigualdad es especialmente útil cuando se trabaja con integrales estocásticas que contienen tres términos (deriva, difusión y salto), como ocurre en la iteración de Picard y en el análisis de convergencia del método CSS\(\theta\). Permite descomponer el cuadrado de una suma en una suma de cuadrados, facilitando el acotamiento individual de cada componente.

Proposición 3.1 (Intercambio de Supremos Iterados) Sean \(I\) y \(J\) conjuntos de índices no vacíos y sea \(F\colon I\times J\to\mathbb{R}\) una función arbitraria. Entonces

\[ \sup_{i\in I}\left(\sup_{j\in J}F(i,j)\right)=\sup_{j\in J}\left(\sup_{i\in I}F(i,j)\right)=\sup_{(i,j)\in I\times J}F(i,j), \tag{3.1}\]

donde los supremos se interpretan en \(\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}\). En particular, si \(F\) está acotada superiormente en \(I\times J\), los tres valores anteriores son reales finitos y coinciden.

Más aún, sean \(T>0\), \(\Delta t>0\) y

\[ \mathcal{N}_{\Delta t}:=\bigl\{n\in\mathbb{N}_0 : n\Delta t\leq T\bigr\}. \]

Para toda función \(F\colon \mathcal{N}_{\Delta t}\times[0,\Delta t]\to\mathbb{R}\) se cumple

\[ \sup_{0\leq n\Delta t\leq T}\left(\sup_{0\leq s\leq \Delta t}F(n,s)\right)=\sup_{0\leq s\leq \Delta t}\left(\sup_{0\leq n\Delta t\leq T}F(n,s)\right)=\sup_{\substack{0\leq n\Delta t\leq T\\ 0\leq s\leq \Delta t}}F(n,s). \tag{3.2}\]

Demostración. Demostraremos primero la Ecuación 6.1. Dado que \(I\neq\emptyset\) y \(J\neq\emptyset\), el conjunto \(F(I\times J)\) es no vacío, por lo que su supremo está bien definido en \(\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}\). Definimos

\[ M:=\sup_{(i,j)\in I\times J}F(i,j),\qquad L:=\sup_{i\in I}\left(\sup_{j\in J}F(i,j)\right). \]

Supongamos que \(L\leq M\). Por definición de supremo, \(F(i,j)\leq M\) para todo \((i,j)\in I\times J\). Fijado \(i\in I\), el valor \(M\) es entonces una cota superior del conjunto \(\{F(i,j):j\in J\}\), y como el supremo es la mínima cota superior,

\[ \sup_{j\in J}F(i,j)\leq M. \]

Esta desigualdad es válida para todo \(i\in I\); aplicando nuevamente la monotonía del supremo obtenemos

\[ L=\sup_{i\in I}\left(\sup_{j\in J}F(i,j)\right)\leq M. \]

Intercambiando el papel de los conjuntos \(I\) y \(J\), el mismo argumento provee

\[ \sup_{j\in J}\left(\sup_{i\in I}F(i,j)\right)\leq M. \]

Supongamos ahora que \(M\leq L.\) Para cada \((i,j)\in I\times J\), el valor \(F(i,j)\) pertenece al conjunto \(\{F(i,j'):j'\in J\}\), de donde

\[ F(i,j)\leq \sup_{j'\in J}F(i,j')\leq \sup_{i'\in I}\left(\sup_{j'\in J}F(i',j')\right)=L. \]

Esto implica que, \(L\) es una cota superior de \(F\) sobre \(I\times J\). Nuevamente por ser el supremo la mínima cota superior, \(M\leq L\).

Por lo tanto, se afirma que \(L=M\), además se cumple

\[ \sup_{j\in J}\left(\sup_{i\in I}F(i,j)\right)=M, \]

lo que prueba Ecuación 3.1. Si \(F\) está acotada superiormente, entonces \(m<+\infty\); cómo \(I\times J\neq\emptyset\), se tiene que \(M>-\infty\), con esto los tres valores son finitos.

Por último, tomemos

\[ I=\mathcal{N}_{\Delta t}=\{n\in\mathbb{N}_0:n\Delta t\le T\},\qquad J=[0,\Delta t]. \]

Afirmamos que ambos conjuntosson no vacíos, pues \(0\in\mathcal{N}_{\Delta t}\) pues \(T>0\), y \(0\in[0,\Delta t]\). Además la condición \(n\in\mathcal{N}_{\Delta t}\) es equivalente a \(0\leq n\Delta t\leq T\). Aplicando Ecuación 3.1 a esta selección de \(I\) y \(J\) se cumple Ecuación 3.2.

Proposición 3.2 (Propiedades del supremo) Sea \(I\) un conjunto no vacío y sean \(f,g:I\to\mathbb{R}\) funciones acotadas superiormente. Entonces,

\[ \sup_{s\in I}\bigl(f(s)+g(s)\bigr)\leq\sup_{s\in I}f(s)+\sup_{s\in I}g(s). \]

Además, si \(f(s)\leq M\) para todo \(s\in I\), entonces

\[ \sup_{s\in I}f(s)\leq M. \]

Finalmente, si \(f:[0,t]\to\mathbb{R}\) es creciente, entonces

\[ \sup_{0\leq s\leq t}f(s)=f(t). \]

Demostración. Véase el capítulo 2, Basic Topology, de (Rudin 1976).

Estas propiedades son fundamentales para controlar el comportamiento uniforme de los procesos estocásticos en intervalos de tiempo. En los Capítulos 4 y 6, se utilizarán para acotar \(\mathbb{E}[\sup_{0\leq s\leq t}|Z(s)|^p]\) y demostrar que las soluciones no explotan en tiempo finito. La subaditividad del supremo permite separar términos, mientras que la propiedad de monotonía simplifica el análisis de integrales con integrandos no negativos.

Teorema 3.8 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean \(f,g\in L^2([0,T])\) funciones medibles. Entonces,

\[ \left|\int_0^T f(s)g(s)\,ds\right|\leq\left(\int_0^T|f(s)|^2\,ds\right)^{1/2}\left(\int_0^T|g(s)|^2\,ds\right)^{1/2}. \]

Demostración. Véase el capítulo \(L^p\) Spaces, de (Folland 1999).

Esta expresión permite controlar el cuadrado de una integral de Lebesgue mediante la integral del cuadrado del integrando. En particular, resulta útil para estimar las contribuciones de los coeficientes de deriva en las representaciones integrales de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Un caso particular importante se obtiene al tomar \(g(s)\equiv 1\), lo que yields

\[ \left|\int_0^t f(s)\,ds\right|^2\leq t\int_0^t|f(s)|^2\,ds, \]

desigualdad que se emplea recurrentemente en el Capítulo 4 para acotar el término determinista de la iteración de Picard.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz corresponde al caso particular en que ambos factores pertenecen a \(L^2\). Cuando se estudian momentos de orden superior, resulta conveniente disponer de una herramienta más general que permita utilizar potencias diferentes para cada factor. Este papel lo desempeña la desigualdad de Hölder, tanto en espacios de funciones como en espacios de variables aleatorias.

Teorema 3.9 (Desigualdad de Hölder) Sean \(p,q>1\) exponentes conjugados, es decir,

\[ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. \]

Se cumplen las siguientes versiones de la desigualdad:

1. Versión probabilística: Si \(X\in L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) y \(Y\in L^q(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\), entonces

\[ \mathbb{E}[|XY|]\leq\left(\mathbb{E}[|X|^p]\right)^{1/p}\left(\mathbb{E}[|Y|^q]\right)^{1/q}. \]

2. Versión integral: Para funciones \(f\in L^p([0,T])\) y \(g\in L^q([0,T])\),

\[ \int_0^T|f(s)g(s)|\,ds\leq\left(\int_0^T|f(s)|^p\,ds\right)^{1/p}\left(\int_0^T|g(s)|^q\,ds\right)^{1/q}. \]

3. Versión discreta (para sumas finitas): Para cualquier entero \(M \geq 1\), números reales no negativos \(a_0, a_1, \dots, a_{M-1}\) y un exponente \(k \geq 1\), se cumple que

\[ \left( \sum_{j=0}^{M-1} a_j \right)^k \leq M^{k-1} \sum_{j=0}^{M-1} a_j^k. \]

Esta última forma es fundamental en el análisis de métodos numéricos discretos (como se verá en el Capítulo 6) para acotar los momentos de orden superior de sumas de variables aleatorias.

Demostración. Véase el capítulo \(L^2\) Spaces de (Folland 1999).

La desigualdad de Hölder es indispensable en el Capítulo 6 para acotar productos de procesos estocásticos cuando se analizan momentos de orden \(p\geq 4\). Permite separar factores con diferentes tasas de crecimiento, facilitando el control de términos cruzados que aparecen en la expansión del error del método CSS\(\theta\).

Teorema 3.10 (Desigualdad de Jensen) Sea \(X\) una variable aleatoria integrable y sea \(\phi\) una función convexa para la cual las esperanzas involucradas están bien definidas. Entonces,

\[ \phi\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)\leq\mathbb{E}[\phi(X)]. \]

Demostración. Véase el capítulo dedicado a los valores esperados, de (Billingsley 1995).

Una aplicación importante se obtiene considerando la función convexa \(\phi(x)=|x|^p\), con \(p\geq 1\). Si \(f\in L^p([0,t])\) y \(t>0\), la aplicación de Jensen a la medida de Lebesgue normalizada \(\frac{1}{t}\,ds\) implica que

\[ \left|\frac{1}{t}\int_0^t f(s)\,ds\right|^p\leq\frac{1}{t}\int_0^t|f(s)|^p\,ds. \]

Equivalentemente,

\[ \left|\int_0^t f(s)\,ds\right|^p\leq t^{p-1}\int_0^t|f(s)|^p\,ds. \]

Estas estimaciones resultan útiles al controlar integrales de coeficientes y momentos de procesos estocásticos. En el Capítulo 4, se utilizan para acotar integrales de Lebesgue en la iteración de Picard, mientras que en el Capítulo 6 permiten controlar momentos de órdenes superiores de la solución exacta.

Teorema 3.11 (Desigualdad de Markov y Chebyshev) Sea \(X\) una variable aleatoria.

• Desigualdad de Markov Si \(p>0\), \(\mathbb{E}[|X|^p]<\infty\) y \(a>0\), entonces

  \[ \mathbb{P}(|X|\geq a)\leq\frac{\mathbb{E}[|X|^p]}{a^p}. \]

• Desigualdad de Chebyshev Si \(X\) tiene segundo momento finito, entonces

  \[ \mathbb{P}\left(|X-\mathbb{E}[X]|\geq a\right)\leq\frac{\operatorname{Var}(X)}{a^2},\qquad a>0, \]

  donde

  \[ \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\left[|X-\mathbb{E}[X]|^2\right]. \]

Demostración. Véase el capítulo dedicado a variables aleatorias y valores esperados de (Billingsley 1995).

Estas desigualdades son el puente fundamental entre los momentos de una variable aleatoria y las probabilidades de cola. En el Capítulo 4, la desigualdad de Markov (con \(p=2\)) se combina con el Lema de Borel-Cantelli para demostrar que la sucesión de Picard converge casi seguramente, no solo en \(L^2\). Específicamente, al acotar \(\mathbb{P}(\sup_{0\leq s\leq t}|Z_n(s)-Z_{n-1}(s)|\geq 1/2^n)\), se obtiene una serie convergente que garantiza la convergencia uniforme casi segura.

Lema 3.3 (Desigualdad de Young) Sean \(a,b\geq 0\) y \(p,q>1\) exponentes conjugados, de manera que

\[ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. \]

Entonces se cumple la desigualdad de Young:

\[ ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}. \]

Más generalmente, para todo \(\delta>0\),

\[ ab\leq\delta a^p+C_{p,\delta}b^q, \]

donde puede tomarse

\[ C_{p,\delta}=\frac{1}{q}(p\delta)^{-q/p}. \]

Demostración. Véase el capítulo \(L^p\) Spaces, de (Folland 1999).

La elección del parámetro \(\delta\) permite ajustar la contribución de cada término de acuerdo con las necesidades de la demostración. Esta técnica se emplea para absorber términos en las desigualdades de error y obtener estimaciones uniformes para las soluciones exactas y numéricas. En el Capítulo 6, la versión generalizada de la desigualdad de Young es crucial para acotar los términos de martingala \(M_1(t)\), \(M_2(t)\) y \(M_3(t)\) que aparecen en el análisis de convergencia del método CSS\(\theta\), permitiendo “absorber” el supremo del error en el lado izquierdo de la desigualdad.

En conjunto, los resultados de esta sección constituyen herramientas básicas para las demostraciones posteriores. Las desigualdades algebraicas controlan las sumas y los supremos; Cauchy-Schwarz, Hölder y Jensen permiten estimar integrales, productos y momentos; Markov y Chebyshev relacionan los momentos con las probabilidades de desviación; y Young permite distribuir las cotas entre los términos de una estimación. Estas herramientas se combinarán con las propiedades de las martingalas, las isometrías estocásticas y las desigualdades maximales en el análisis de existencia, unicidad y convergencia de las ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos.

Las desigualdades algebraicas y de integración son el motor para controlar los errores, pero carecen de sentido si no podemos integrar procesos aleatorios respecto a movimientos brownianos o procesos de Poisson. La siguiente sección introduce la compensación de Poisson y la fórmula de Itô para saltos, las cuales extienden el cálculo diferencial clásico a trayectorias con discontinuidades, permitiendo transformar funciones de soluciones estocásticas en ecuaciones manejables. Específicamente, la compensación de Poisson convierte al proceso de saltos en una martingala, mientras que la fórmula de Itô proporciona la regla de la cadena para procesos con discontinuidades, herramienta indispensable en el Capítulo 5 para obtener la solución explícita de la ecuación de Langevin y en el Capítulo 6 para analizar la estabilidad del método CSS\(\theta\).

3.4 Integración Estocástica y Fórmula de Itô

El análisis de las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) con saltos requiere herramientas que permitan integrar procesos aleatorios y estudiar la evolución de funciones de sus soluciones. A diferencia del cálculo diferencial clásico, la integración estocástica debe considerar las propiedades probabilísticas de los integrandos, la estructura de las martingalas y, cuando existen saltos, las discontinuidades de las trayectorias.

En esta sección se presentan los resultados fundamentales que se utilizarán en las demostraciones de existencia, unicidad fuerte y convergencia del método numérico CSS\(\theta\). En primer lugar, se introduce la compensación del proceso de Poisson, que permite separar la componente determinista asociada a su intensidad de la componente martingala. Posteriormente, se establecen las isometrías de Itô, la identidad para integrales detenidas y la fórmula de Itô para procesos con saltos.

Para comenzar, recordemos que un proceso de Poisson con intensidad constante \(\lambda>0\) satisface \(\mathbb{E}[N(t)]=\lambda t\). Al restar su esperanza, se obtiene un proceso centrado que, bajo la filtración adecuada, es una martingala cuadrado-integrable. Esta descomposición permite construir integrales estocásticas respecto del proceso de Poisson compensado y estudiar sus propiedades mediante herramientas análogas a las utilizadas para el movimiento browniano.

Teorema 3.12 (Descomposición de Doob-Meyer para el proceso de Poisson) Sea \(N=(N(t))_{t\geq 0}\) un proceso de Poisson de intensidad constante \(\lambda>0\), adaptado a una filtración \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) respecto de la cual conserva sus incrementos independientes. Entonces,

\[ N(t)=\widetilde{N}(t)+\lambda t,\qquad t\geq 0, \]

donde

\[ \widetilde{N}(t):=N(t)-\lambda t \]

es una martingala cuadrado-integrable y \(A(t)=\lambda t\) es un proceso predecible, continuo, creciente y con \(A(0)=0\).

Esta es la descomposición de Doob-Meyer del proceso de Poisson: \(\widetilde{N}\) es la componente martingala y \(A\) es su compensador predecible.

Demostración. Véase el capítulo 2, Matingales, Stopping Times and Random Measures, de (Applebaum 2009).

La compensación anterior resulta especialmente útil al trabajar con EDEs cuyo término de salto está expresado mediante \(d\widetilde{N}(t)\). En este caso, la integral estocástica respecto del proceso compensado tiene esperanza cero cuando se cumplen las condiciones habituales de integrabilidad. Además, su segundo momento puede calcularse mediante una identidad análoga a la isometría de Itô para integrales respecto del movimiento browniano.

Para formular estas identidades, consideremos un horizonte temporal fijo \(T>0\) y un proceso predecible \(H=(H(t))_{0\leq t\leq T}\). Supondremos que el integrando satisface

\[ \mathbb{E}\left[\int_0^T |H(s)|^2\,ds\right]<\infty. \]

Esta condición garantiza la existencia de las integrales estocásticas correspondientes en media cuadrática, tanto respecto de \(W\) como respecto de \(\widetilde{N}\).

Teorema 3.13 (Isometría de Itô) Sea \(H\) un proceso predecible tal que

\[ \mathbb{E}\left[\int_0^T |H(s)|^2\,ds\right]<\infty. \]

Entonces, para todo \(t\in[0,T]\), se satisfacen las siguientes identidades.

• Integral respecto al movimiento browniano. Si \(W\) es un movimiento browniano estándar, entonces

  \[ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^t H(s)\,dW(s)\right)^2\right]=\mathbb{E}\left[\int_0^t |H(s)|^2\,ds\right]. \]

• Integral respecto al proceso de Poisson compensado. Si \(\widetilde{N}(t)=N(t)-\lambda t\) es un proceso de Poisson compensado de intensidad \(\lambda>0\), entonces

  \[ \mathbb{E}\left[\left(\int_0^t H(s)\,d\widetilde{N}(s)\right)^2\right]=\lambda\,\mathbb{E}\left[\int_0^t |H(s)|^2\,ds\right]. \]

En ambos casos, las integrales estocásticas son martingalas cuadrado-integrables que comienzan en cero y tienen esperanza nula.

Demostración. Véase el capítulo 4, Stochastic Integration, de (Applebaum 2009).

Las isometrías de Itô permiten transformar el segundo momento de una integral estocástica en una integral ordinaria de los cuadrados del integrando. Esta propiedad es fundamental para obtener estimaciones de las diferencias entre iteraciones de Picard y para controlar el error cuadrático de las aproximaciones numéricas. Sin embargo, en las demostraciones de existencia y convergencia también es necesario detener los procesos en tiempos de paro, especialmente cuando se requiere garantizar la integrabilidad de las expresiones involucradas.

La siguiente identidad formaliza esta operación. Su importancia radica en que permite expresar una integral hasta un tiempo
aleatorio como una integral sobre un intervalo determinista, mediante la incorporación de un indicador predecible.

Lema 3.4 (Identidad de integrales truncadas) Sea \(\tau\) un tiempo de paro respecto de la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) y sea \(H\) un proceso predecible que satisfaga
las condiciones de integrabilidad necesarias. Para \(X=W\) o \(X=\widetilde{N}\), se cumple que

\[ \int_0^{t\wedge\tau} H(s)\,dX(s)=\int_0^tH(s)\mathbf{1}_{\{s\leq\tau\}}\,dX(s),\qquad t\geq 0, \]

casi seguramente, para cada \(t\).

Equivalentemente, en términos del proceso integral,

\[ \left(\int_0^\cdot H(s)\,dX(s)\right)_{t\wedge\tau} = \int_0^t H(s)\mathbf{1}_{\{s\leq\tau\}}\,dX(s). \]

Demostración. Véase el capítulo II de (Protter 2005), dedicado a la integración estocástica y sus propiedades.

El indicador \(\mathbf{1}_{\{s\leq\tau\}}\) permite anular la contribución del integrando después del tiempo de paro. La inclusión del extremo \(\tau\) es importante cuando el integrador tiene saltos, puesto que un proceso detenido en \(\tau\) conserva el salto que pueda producirse en ese instante.

Esta identidad facilita el uso de técnicas de localización: se estudia primero un proceso detenido, para el cual pueden establecerse cotas adecuadas, y después se consideran límites de la sucesión de procesos detenidos. No obstante, la identidad por sí sola no garantiza integrabilidad; esta debe verificarse mediante las hipótesis correspondientes.

Una vez establecidas las propiedades básicas de las integrales estocásticas, podemos introducir la fórmula de Itô para ecuaciones con saltos. En el caso continuo, esta fórmula incorpora una corrección determinada por la variación cuadrática del movimiento browniano. Cuando existen saltos, además aparece un término que registra el cambio no lineal de la función en cada discontinuidad. La forma de este término depende de si la ecuación se expresa mediante el proceso de Poisson original o mediante su versión compensada.

Consideremos la ecuación diferencial estocástica compensada

\[ \begin{aligned} dX(t)&=f(X(t-))\,dt+g(X(t-))\,dW(t)\\ & \quad +h(X(t-))\,d\widetilde{N}(t),\qquad t\geq 0, \end{aligned} \]

con condición inicial \(X(0)=X_0\), donde \(W\) es un movimiento browniano estándar, \(\widetilde{N}\) es un proceso de Poisson compensado de intensidad \(\lambda>0\) y \(f,g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) son funciones medibles. Denotamos por \(X(t-)\) el límite por la izquierda de la trayectoria en el instante \(t\).

Proposición 3.3 (Reglas de multiplicación de Itô y variación cuadrática) Sean \(W(t)\) un movimiento browniano estándar y \(\widetilde{N}(t) = N(t) - \lambda t\) el proceso de Poisson compensado. Los procesos de variación cuadrática \([X, X]_t\) y covariación \([X, Y]_t\) para estos procesos, así como para el tiempo determinista \(t\), satisfacen propiedades fundamentales que, en la notación diferencial de Itô, se expresan mediante las siguientes reglas formales:

1. Variación cuadrática del browniano: \(d[W, W]_t = dt\), lo que en notación diferencial se escribe como \((dW(t))^2 = dt\).

2. Variación cuadrática del Poisson compensado: \(d[\widetilde{N}, \widetilde{N}]_t = dN(t)\), es decir, \((d\widetilde{N}(t))^2 = dN(t)\).

3. Covariación cruzada: \(d[W, \widetilde{N}]_t = 0\), lo que implica que \(dW(t)d\widetilde{N}(t) = 0\).

4. Procesos de variación finita: Para cualquier proceso de variación finita \(A(t)\) (como el tiempo \(t\) o la deriva determinista), se cumple \(d[A, X]_t = 0\) para cualquier semimartingala \(X(t)\). En particular, \((dt)^2 = 0\), \(dt \, dW(t) = 0\) y \(dt \, d\widetilde{N}(t) = 0\).

5. Propiedad de los saltos del Poisson: Dado que el proceso de Poisson estándar presenta saltos de magnitud unitaria (es decir, \(\Delta N(t) \in \{0, 1\}\)) y la medida de integración \(dN(t)\) está concentrada exclusivamente en los instantes de salto, se cumple la identidad \(\Delta N(t) dN(t) = dN(t)\).

Estas reglas son el mecanismo algebraico que permite simplificar los términos de segundo orden al aplicar la Fórmula de Itô a funciones de semimartingalas con saltos (Protter 2005).

Demostración. Véase el capítulo 2, Basic Topology, de (Rudin 1976).

Teorema 3.14 (Fórmula de Itô para EDEs con saltos) Sea \(X\) una solución càdlàg de la ecuación diferencial estocástica compensada anterior, y sea \(U\in C^2(\mathbb{R})\). Entonces, bajo las condiciones de integrabilidad correspondientes, para todo \(t\geq 0\) se tiene

\[ \begin{aligned} U(X(t)) & = U(X_0)+\int_0^t\mathcal{L}U(X(s-))ds\\ & \qquad +\int_0^t U'(X(s-))g(X(s-))dW(s)\\ & \qquad +\int_0^t [U(X(s-)+h(X(s-)))-U(X(s-))]dN(s), \end{aligned} \]

Demostración. Véase el capítulo 4, Stochastic Integration, en particular el apartado Itô’s Formula, de (Applebaum 2009).

Para una función \(U\in C^2(\mathbb{R})\), definimos el operador diferencial asociado a la parte continua de la ecuación mediante

\[ \mathcal{L}U(x):=U'(x)f(x)+\frac{1}{2}U''(x)g(x)^2. \]

Bajo las condiciones de regularidad e integrabilidad necesarias, la fórmula de Itô permite expresar la evolución de \(U(X(t))\) a partir de la deriva, la difusión y la contribución de los saltos.

El término integral respecto de \(\widetilde{N}\) describe la variación martingala de los saltos, mientras que la última integral representa la corrección determinista asociada a la compensación del proceso de Poisson. Esta corrección aparece porque, en general, una función no lineal aplicada a un salto no puede aproximarse únicamente por su derivada evaluada antes del salto, y al reescribir la integral respecto de \(dN\) en términos de \(d\widetilde{N}\) y \(\lambda dt\), surge naturalmente este término corrector.

La fórmula de Itô es especialmente útil cuando se elige una función \(U\) adecuada para estudiar los momentos de la solución. Por ejemplo, las elecciones \(U(x)=x^2\) o \(U(x)=(1+x^2)^{p/2}\) permiten obtener estimaciones de segundo momento y de momentos de orden superior. Asimismo, al aplicar la fórmula a la diferencia entre dos soluciones, se obtienen desigualdades que contribuyen a demostrar unicidad y convergencia fuerte del método numérico \(\text{CSS}\theta\).

En conjunto, los resultados de esta sección constituyen la base del cálculo estocástico con saltos utilizado en los capítulos posteriores. La compensación de Poisson permite separar la deriva de la componente martingala; las isometrías de Itô proporcionan cotas para los momentos de las integrales; la identidad de integrales detenidas justifica las técnicas de localización; y la fórmula de Itô permite analizar funciones de las soluciones y establecer estimaciones cuantitativas.

La fórmula de Itô y las isometrías nos permiten calcular varianzas y la esperanza de las integrales estocásticas en instantes fijos de tiempo \(t\). Sin embargo, en el análisis de convergencia y estabilidad, no basta con acotar el proceso en un instante; es imperativo controlar su comportamiento máximo a lo largo de todo un intervalo \([0,T]\). Para lograr esto, la siguiente sección presenta las desigualdades maximales de Doob y Burkholder-Davis-Gundy, herramientas esenciales para dominar los supremos de las martingalas.

3.5 Martingalas y Desigualdades Maximales

En el estudio de las ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs), las estimaciones puntuales de los momentos de una solución no siempre son suficientes. En las demostraciones de existencia, unicidad y convergencia fuerte es frecuente necesitar cotas que sean válidas simultáneamente para todos los instantes de un intervalo temporal. Por esta razón, resulta fundamental estudiar el comportamiento del supremo de los procesos estocásticos y, en particular, de las martingalas que aparecen como integrales estocásticas.

Las desigualdades maximales permiten relacionar el momento del supremo de una martingala con momentos de su valor final o con cantidades que describen su variación cuadrática. En esta sección se presentan dos herramientas centrales: la desigualdad maximal de Doob y la desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy (BDG). La primera controla el supremo mediante el valor final de la martingala, mientras que la segunda permite relacionarlo con su variación cuadrática.

Teorema 3.15 (Desigualdad Maximal de Doob) Sea \(M=(M_t)_{t\geq 0}\) una martingala càdlàg respecto de una filtración \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) que satisface las condiciones usuales. Si \(p>1\) y \(\mathbb{E}[|M_t|^p]<\infty\), entonces

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|M_s|^p\right]\leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^p\mathbb{E}[|M_t|^p]. \]

En particular, para \(p=2\) se obtiene

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|M_s|^2\right]\leq 4\mathbb{E}[|M_t|^2]. \]

Demostración. Véase el capítulo 2, Martingales, Stopping Times and Random Measures, de (Applebaum 2009).

La desigualdad maximal de Doob permite controlar el comportamiento de una martingala en todo un intervalo mediante su valor en el instante final. Esta propiedad resulta especialmente útil cuando la martingala es una integral estocástica, pues las isometrías de Itô permiten estimar el segundo momento de dicho valor final.

Por ejemplo, al combinar la desigualdad de Doob con la isometría de Itô se obtiene una cota para el supremo de una integral respecto del movimiento browniano. Esta combinación constituye una de las herramientas básicas para demostrar que las sucesiones de aproximaciones estocásticas son de Cauchy en espacios de procesos con normas definidas mediante supremos temporales.

Corolario 3.1 (Control maximal de una integral respecto al movimiento browniano) Sea \(W\) un movimiento browniano respecto de la filtración considerada, y sea \(H\) un proceso predecible tal que

\[ \mathbb{E}\left[\int_0^t |H(s)|^2\,ds\right]<\infty. \]

Entonces,

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq u\leq t}\left|\int_0^u H(s)\,dW(s)\right|^2\right] & \leq 4\mathbb{E}\left[\left|\int_0^t H(s)\,dW(s)\right|^2\right]\\ & = 4\mathbb{E}\left[\int_0^t |H(s)|^2\,ds\right]. \end{aligned} \]

(Applebaum 2009).

Este resultado muestra cómo transformar una estimación de la integral del cuadrado del integrando en una cota para el supremo de la integral estocástica. Sin embargo, en el análisis de EDEs con saltos también es necesario controlar martingalas cuya variación cuadrática puede presentar discontinuidades. Para ello se utiliza la desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy, que relaciona los momentos del supremo de una martingala con los momentos de su variación cuadrática.

Teorema 3.16 (Desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy) Sea \(M=(M_t)_{t\geq 0}\) una martingala local càdlàg con \(M_0=0\), y sea \([M]_t\) su variación cuadrática, es decir, el proceso creciente asociado a las fluctuaciones cuadráticas de \(M\), que incluye las contribuciones de sus saltos.

Para todo \(p>0\) existen constantes \(c_p,C_p>0\), que dependen únicamente de \(p\), tales que, en el sentido de las esperanzas extendidas,

\[ \begin{aligned} c_p\,\mathbb{E}\left[[M]_t^{p/2}\right]&\leq\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|M_s|^p\right]\\ &\leq C_p\,\mathbb{E}\left[[M]_t^{p/2}\right]. \end{aligned} \]

Cuando las esperanzas son finitas, estas desigualdades proporcionan cotas bilaterales entre el momento del supremo de la martingala y el momento de su variación cuadrática.

Demostración. Véase el capítulo 2, de (Applebaum 2009), para las propiedades de martingalas, y el capitulo 4 para la integración estocástica.

En el caso de una martingala continua, la variación cuadrática \([M]_t\) coincide con su variación cuadrática predecible \(\langle M\rangle_t\). Por tanto, en ese caso la desigualdad anterior puede escribirse como

\[ \begin{aligned} c_p\,\mathbb{E}\left[\langle M\rangle_t^{p/2}\right]&\leq\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|M_s|^p\right]\\ & \leq C_p\,\mathbb{E}\left[\langle M\rangle_t^{p/2}\right]. \end{aligned} \]

Para martingalas con saltos, en cambio, no debe sustituirse automáticamente \([M]_t\) por \(\langle M\rangle_t\): son procesos distintos y la formulación general de BDG utiliza la variación cuadrática opcional \([M]\). Esta distinción es importante al estudiar las integrales respecto del proceso de Poisson compensado.

En conjunto, las desigualdades maximales complementan las isometrías de Itô y las desigualdades analíticas introducidas en las secciones anteriores. La desigualdad de Doob permite estimar el supremo de una martingala a partir de su valor final, mientras que BDG relaciona dicho supremo con su variación cuadrática. Estas herramientas serán utilizadas para controlar las integrales estocásticas y obtener estimaciones uniformes en el tiempo, necesarias para el análisis de existencia, unicidad y convergencia fuerte de las EDEs con saltos y del método numérico \(\text{CSS}\theta\).

Habiendo asegurado el control de los supremos de las martingalas, el último eslabón para cerrar las estimaciones temporales requiere transformar desigualdades integrales y discretas en cotas explícitas. Además, debemos conectar la convergencia en probabilidad con la convergencia casi segura. En la siguiente sección se establecen el lema de Borel-Cantelli y las desigualdades de Gronwall, continua y discreta, que actuarán como el mecanismo de cierre para las demostraciones de los capítulos subsecuentes.

3.6 Convergencia de Procesos y Estimaciones Temporales

En las secciones anteriores se establecieron las herramientas fundamentales del análisis real, la teoría de la probabilidad, la integración estocástica y las desigualdades para martingalas. Sin embargo, para demostrar la convergencia de una sucesión de procesos estocásticos y obtener estimaciones uniformes respecto del tiempo, es necesario contar con resultados que permitan controlar los límites y cerrar las desigualdades integrales y discretas que aparecen en las demostraciones.

En esta sección se presentan cuatro resultados esenciales: el lema de Borel-Cantelli, la extracción de subsucesiones convergentes casi seguramente, la desigualdad de Gronwall continua y su correspondiente versión discreta. En conjunto, estas herramientas permiten pasar de estimaciones probabilísticas a conclusiones sobre la convergencia de procesos y métodos numéricos.

Lema 3.5 (Lema de Borel-Cantelli) Sea \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de eventos en un espacio de probabilidad \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\). Si

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_n)<\infty, \]

entonces

\[ \mathbb{P}\left(\limsup_{n\to\infty} A_n\right)=0. \]

Demostración. Véase el capítulo 1, en el apartado dedicado a sucesiones de eventos y probabilidades numerables de (Billingsley 1995).

Aquí, el evento

\[ \limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=m}^{\infty}A_n \]

representa la ocurrencia de infinitos eventos \(A_n\). Por tanto, el lema establece que, bajo la condición de sumabilidad anterior, casi seguramente solo un número finito de esos eventos puede ocurrir.

En el análisis de sucesiones de procesos estocásticos, este resultado es especialmente útil cuando los eventos \(A_n\) representan situaciones en las que no se cumplen ciertas cotas probabilísticas. Si se demuestra que la suma de las probabilidades de estas situaciones es finita, se puede concluir que, casi seguramente, las cotas correspondientes se cumplen a partir de cierto índice. Al combinar este resultado con estimaciones adecuadas de los errores, es posible establecer la convergencia casi segura, incluso de manera uniforme en el tiempo cuando los errores se controlan mediante la norma del supremo.

La convergencia en probabilidad es otra forma importante de convergencia en teoría de procesos estocásticos. Aunque no garantiza por sí sola que toda la sucesión converja casi seguramente, sí permite extraer una subsucesión que posee esta propiedad.

Teorema 3.17 (Convergencia en probabilidad y subsucesión c.s.) Sea \(\{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) una sucesión de variables aleatorias y sea \(X\) una variable aleatoria definidas en el mismo espacio de probabilidad. Si

\[ X_n\xrightarrow{\mathbb{P}}X, \]

entonces existe una subsucesión \(\{X_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}\) tal que

\[ X_{n_k}\xrightarrow{\text{c.s.}}X. \]

Demostración. Véase el capítulo dedicado a sucesiones aleatorias y convergencia, de (Kallenberg 2002).

Este resultado establece una relación importante entre la convergencia en probabilidad y la convergencia casi segura. En particular, si una sucesión de aproximaciones converge en probabilidad, siempre es posible seleccionar una subsucesión que converge casi seguramente. Esta propiedad resulta útil al estudiar la regularidad de las trayectorias límite y al extraer conclusiones casi seguras a partir de estimaciones probabilísticas.

En las demostraciones de existencia, unicidad y estabilidad de ecuaciones diferenciales estocásticas aparecen frecuentemente desigualdades integrales en las que una función desconocida está acotada por una constante más una integral de ella misma. La desigualdad de Gronwall permite transformar este tipo de estimaciones en cotas explícitas.

Teorema 3.18 (Desigualdad de Gronwall) Sea \(u:[0,T]\to[0,\infty)\) una función medible y no negativa. Supóngase que \(a\geq 0\), que \(b:[0,T]\to[0,\infty)\) es integrable y que, para todo \(t\in[0,T]\),

\[ u(t)\leq a+\int_0^t b(s)u(s)\,ds. \]

Entonces

\[ u(t)\leq a\exp\left(\int_0^t b(s)\,ds\right),\qquad t\in[0,T]. \]

En particular, si \(b(s)=K\) para toda \(s\in[0,T]\), con \(K\geq0\), se obtiene

\[ u(t)\leq ae^{Kt}. \]

Demostración. Véase el sección dedidada a las desigualdades de (Mao 2007).

La desigualdad de Gronwall es una herramienta fundamental para cerrar las estimaciones obtenidas a partir de las desigualdades de Cauchy-Schwarz, las isometrías estocásticas y las desigualdades maximales. Por ejemplo, si una estimación para la diferencia entre dos soluciones conduce a

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|X(s)-Y(s)|^2\right]\leq K\int_0^t\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq r\leq s}|X(r)-Y(r)|^2\right]ds, \]

entonces, bajo las condiciones necesarias de integrabilidad, la aplicación de Gronwall con término inicial nulo permite concluir que la diferencia es cero. Así se obtiene la unicidad trayectorial cuando la estimación anterior se ha establecido para las soluciones consideradas.

De manera análoga, cuando el término inicial es positivo, el mismo resultado permite obtener cotas explícitas de los momentos de la solución y de las diferencias entre procesos. Su aplicación concreta depende de las hipótesis de la ecuación y de las estimaciones previas disponibles.

Para estudiar métodos numéricos, las estimaciones suelen formularse sobre una malla temporal y, por tanto, conducen a desigualdades entre sucesiones. En este contexto se utiliza la versión discreta de Gronwall.

Lema 3.6 (Desigualdad de Gronwall Discreto) Sean \(\{u_n\}_{n\geq0}\) y \(\{a_n\}_{n\geq0}\) sucesiones de números reales no negativos, y sea \(\beta\geq0\). Supóngase que, para todo \(n\geq0\),

\[ u_n\leq a_n+\beta\sum_{i=0}^{n-1}u_i, \]

donde la suma se considera igual a cero cuando \(n=0\). Entonces

\[ u_n\leq a_n+\beta\sum_{i=0}^{n-1}a_i(1+\beta)^{n-1-i}. \]

En particular, si \(a_n=\alpha\) para todo \(n\geq0\), con \(\alpha\geq0\), entonces

\[ u_n\leq \alpha(1+\beta)^n\leq \alpha e^{\beta n}. \]

Demostración. Véase A discrete stoochastic Gronwall lemma, de (Kruse y Scheutzow 2018).

La versión discreta de Gronwall desempeña un papel análogo al de su contraparte continua. Su utilidad consiste en transformar una desigualdad recursiva, en la que cada término depende de los anteriores, en una cota explícita que puede analizarse con respecto al índice \(n\).

En el estudio de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos, estas desigualdades aparecen al estimar los momentos de las aproximaciones discretas y al analizar sus errores. En particular, una vez obtenida una estimación recursiva para los momentos de las soluciones aproximadas del método CSS\(\theta\), el lema de Gronwall discreto permite cerrar dicha estimación y establecer cotas uniformes respecto del tamaño de la malla cuando las hipótesis del resultado y las estimaciones previas lo permiten.

Los resultados de esta sección completan las herramientas necesarias para el análisis de convergencia. El lema de Borel-Cantelli permite controlar la ocurrencia de eventos excepcionales; el teorema de subsucesiones conecta la convergencia en probabilidad con la convergencia casi segura; y las desigualdades de Gronwall, continua y discreta, permiten cerrar las estimaciones integrales y recursivas que aparecen en el análisis de las soluciones exactas y numéricas.

De esta manera, las herramientas presentadas en el capítulo proporcionan una base para desarrollar, en los capítulos posteriores, las demostraciones de existencia, unicidad y convergencia asociadas a las ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos y al método \(\text{CSS}\theta\).

Con todas las herramientas analíticas, probabilísticas y estocásticas debidamente calibradas, estamos en condiciones de abordar la construcción de soluciones para ecuaciones diferenciales estocásticas. El método de iteración de Picard, que se presenta a continuación, no es más que la aplicación magistral de todo el aparato teórico desarrollado en este capítulo: utiliza la completitud de \(L^2\), las isometrías, las desigualdades maximales y el lema de Gronwall para transformar la resolución de una EDE en un problema de convergencia de sucesiones.

3.7 El Método de Iteración de Picard para EDEs

La demostración de existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales estocásticas se basa en un enfoque constructivo conocido como el método de iteración de Picard. Este método transforma el problema de resolver una ecuación diferencial estocástica en el problema de encontrar el punto fijo de un operador integral en un espacio de Banach adecuado (en nuestro caso, el espacio de procesos estocásticos adaptados, càdlàg y cuadrado-integrables, equipado con la norma \(L^2\)).

La eficacia de este método radica en que permite acotar la diferencia entre iteraciones sucesivas utilizando las herramientas establecidas en las secciones anteriores: la completitud de \(L^2\), la isometría de Itô, las desigualdades maximales de Doob y BDG, y finalmente, la desigualdad de Gronwall para cerrar la estimación.

Definición 3.4 (Sucesión de Iteraciones de Picard) Sea \(Z_0\) una variable aleatoria \(\mathcal{F}_0\)-medible con \(\mathbb{E}[|Z_0|^2] < \infty\). Definimos la sucesión de procesos estocásticos \(\{Z_n(t)\}_{n \in \mathbb{N}}\) de la siguiente manera:

1. Paso base: \(Z_0(t) := Z_0\), para todo \(t \geq 0\).

2. Paso recursivo: Para \(n \geq 0\), definimos

   \[ \begin{aligned} Z_{n+1}(t) & := Z_0 + \int_0^t f(Z_n(s-))\,ds + \int_0^t g(Z_n(s-))\,dW(s)\\ & \qquad\qquad + \int_0^t h(Z_n(s-))\,d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \]

(Applebaum 2009)

El objetivo de la demostración de existencia, que se desarrollará en el Capítulo 4, consistirá en probar que esta sucesión es de Cauchy en el espacio \(L^2\), que converge uniformemente casi seguramente a un proceso límite \(Z(t)\), y que dicho límite satisface la ecuación integral asociada a la EDE:

\[ dZ(t) = f(Z(t-)) \, dt + g(Z(t-)) \, dW(t) + h(Z(t-)) \, d\widetilde{N}(t), \qquad t \geq 0. \]

Para llevar a cabo estas estimaciones de convergencia y garantizar la buena definición de las integrales, será indispensable imponer condiciones de regularidad (Lipschitz y crecimiento lineal) sobre los coeficientes \(f, g\) y \(h\), lo cual formalizamos en el siguiente capítulo.

Applebaum, David. 2009. Lévy Processes and Stochastic Calculus. 2.ª ed. Vol. 116. Cambridge Studies en Advanced Mathematics. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511809781.

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