4  Existencia y Unicidad de Soluciones Fuertes para EDEs con Saltos

En el capítulo anterior establecimos el andamiaje teórico necesario para el cálculo estocástico con saltos, desde las desigualdades fundamentales hasta la fórmula de Itô y el método de iteración de Picard. En este capítulo, ensamblaremos todas estas herramientas para abordar la pregunta central de cualquier modelo estocástico: ¿bajo qué condiciones la ecuación diferencial estocástica impulsada por un movimiento browniano y un proceso de Poisson compensado admite una solución fuerte, única y con trayectorias càdlàg?

4.1 Marco Probabilístico y Planteamiento de la EDE

Sea \((\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, \mathbb{P})\) un espacio de probabilidad completo equipado con una filtración que satisface las \(\textbf{condiciones usuales}\) cómo se establece en la Definición 3.1.

Sobre este espacio de probabilidad, construimos los procesos de ruido estocástico que impulsarán la dinamica del sistema

• \(W=(W(t))_{t\geq 0}\) es un movimiento browniano estándar adaptado a \((\mathcal{F}_t)\),

• \(N=(N(t))_{t\geq 0}\) es un proceso de Poisson estandar con intensidad constante \(\lambda>0\), adaptado a \((\mathcal{F}_t)\).

Asumimos que \(W(t)\) y \(N(t)\) son independientes entre si. A partir del proceso de Poisson, podemos definir el \(\textbf{proceso de Poisson compensado}\) \(\widetilde{N}=(\widetilde{N})_{t\geq 0}\) mediante la realción

\[ \widetilde{N}(t):=N(t)-\lambda t,\qquad t\geq 0. \]

Por construcción, y dado que \(\mathbb{E}[N(t)]=\lambda t\), el proceso \(\widetilde{N}(t)\) es una martingala cuadrado-integrable con respecto a la filtración \(\mathcal{F_t}\).

Sean \(f, g, h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) funciones medibles que representar los coeficientes de deriva, difusión y salto, respectivamente. Sea \(Z_0\) una variable aleatoria \(\mathcal{F}_0\)-medible con segundo momento finito, es decir, \(\mathbb{E}[|Z_0|]<\infty\), e independiente de los incrementos de \(W(t)\) y \(\widetilde{N}(t)\). Consideramos la siguiente ecuación diferencial estocástica (EDE) con saltos en su forma compensada:

\[ \begin{aligned} dZ(t) & =f(Z(t-))dt+g(Z(t-))dW(t)\\ & \qquad\quad+h(Z(t-))d\widetilde{N}(t),\quad t\geq 0, \end{aligned} \tag{4.1}\]

con condición inicial \(Z(0)=Z_0\).

En la Ecuación 4.1, la notación \(Z(t-) = \lim_{s \uparrow t} Z(s)\) denota el límite por la izquierda del proceso. El uso de este límite es un requisito técnico fundamental en el cálculo estocástico con saltos, ya que garantiza que los procesos integrandos \(f(Z(t-))\), \(g(Z(t-))\) y \(h(Z(t-))\) sean \(\textbf{predecibles}\), asegurando así que las integrales estocásticas estén rigurosamente bien definidas.

Equivalentemente, la EDE Ecuación 4.1 puede expresarse en su forma integral:

\[ \begin{aligned} Z(t) = Z_0 &+ \int_0^t f(Z(s-)) \, ds + \int_0^t g(Z(s-)) \, dW(s) \\ & + \int_0^t h(Z(s-)) \, d\widetilde{N}(s), \qquad t \geq 0. \end{aligned} \]

El objetivo central de este capítulo es demostrar que, bajo ciertas condiciones de regularidad sobre los coeficientes \(f, g\) y \(h\) que se establecerán a continuación, la Ecuación 4.1 admite una única solución fuerte \(Z = (Z(t))_{t \geq 0}\) que es adaptada a la filtración \((\mathcal{F}_t)\) y posee trayectorias càdlàg (continuas por la derecha y con límites por la izquierda) casi seguramente.

4.2 Hipótesis de Regularidad

Una vez establecido el marco probabilístico y la formulación de la ecuación diferencial estocástica Ecuación 4.1, es necesario imponer condiciones de regularidad sobre los coeficientes \(f\), \(g\) y \(h\) que garanticen la buena definición de las integrales estocásticas y el comportamiento controlado de las soluciones. Las siguientes hipótesis, estándar en la teoría de EDEs con saltos (véase, por ejemplo, Applebaum (2009)), aseguran que la sucesión de iteraciones de Picard converge y que la solución es única.

Condición de Lipschitz global: Existe una constante \(K_1>0\) tal que, para todo \(y_1,y_2\in\mathbb{R},\)

\[ \begin{aligned} |f(y_1)-f(y_2)|^2 & +|g(y_1)-g(y_2)|^2\\ & \quad +\lambda |h(y_1)-h(y_2)|^2\leq K_1|y_1-y_2|^2. \end{aligned} \tag{4.2}\]

Esta condición controla la variación relativa de los coeficientes, lo cual es esencial para demostrar la convergencia de la iteración de Picard (paso inductivo) y la unicidad de la solución mediante la desigualdad de Gronwall. Intuitivamente, la Ecuación 4.2 garantiza que los coeficientes no varían demasiado rápido, evitando que pequeñas diferencias en el estado del sistema se amplifiquen descontroladamente.

Sin embargo, la Ecuación 4.2 por sí sola no garantiza que las integrales estocásticas estén bien definidas, pues no acota el crecimiento absoluto de los coeficientes. Para ello, requerimos una condición adicional que limite la magnitud de \(f\), \(g\) y \(h\), asegurando así que los integrandos pertenezcan al espacio \(L^2\) y que la solución no explote en tiempo finito.

Condición de crecimiento lineal: Existe una constante \(K_2>0\) tal que, para todo \(y\in\mathbb{R}\)

\[ |f(y)|^2+|g(y)|^2+\lambda |h(y)|^2\leq K_2(1+|y|^2). \tag{4.3}\]

La Ecuación 4.3 es fundamental para el paso base de la iteración de Picard (acotar la diferencia \(Z_1(t) - Z_0\)) y para garantizar que las integrales estocásticas respecto al movimiento browniano y al proceso de Poisson compensado están rigurosamente bien definidas.

Bajo estas dos hipótesis de regularidad, estamos en posición de enunciar y demostrar el resultado principal de este capítulo: la existencia y unicidad de una solución fuerte para la Ecuación 4.1 con trayectorias càdlàg y momentos finitos.

4.3 Construcción y convergencia de la sucesión de Picard

Con el espacio de probabilidad filtrado y las hipótesis de regularidad (Lipschitz global y crecimiento lineal) debidamente establecidos, estamos en posición de abordar la construcción explícita de la solución. Dado que la ecuación diferencial estocástica Ecuación 4.1 no admite, en general, una solución cerrada, recurriremos al método de aproximaciones sucesivas de Picard. El objetivo de esta sección no es solo definir la sucesión de procesos estocásticos \((Z_n(t))_{n\in\mathbb{N}}\), sino demostrar rigurosamente que dicha sucesión converge. En el Lema 4.1 que se presenta a continuación, probaremos que las iteraciones forman una sucesión de Cauchy en el espacio de Banach \(L^2\), que convergen uniformemente casi seguramente, y que el proceso límite resultante hereda las propiedades de adaptabilidad y regularidad càdlàg.

Lema 4.1 (Convergencia en \(L^2\) y regularidad del proceso límite) Supongamos que los coeficientes \(f, g, h\) satisfacen las condiciones de Lipschitz global y crecimiento lineal . Sea \(Z_0\) una variable aleatoria \(\mathcal{F}_0\)-medible tal que \(\mathbb{E}[|Z_0|^2] < \infty\). Entonces, existe un proceso estocástico \(Z = (Z(t))_{t \geq 0}\) que es adaptado a la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}\), posee trayectorias càdlàg casi seguramente, y satisface \(\mathbb{E}\left[\sup_{0 \leq s \leq t} |Z(s)|^2\right] < \infty\) para todo \(t \geq 0\).

Demostración. Queremos demostrar la existencia de una solución fuerte \(Z=\{Z(t)\}_{t\geq 0}\) para la Ecuación 4.1 con condición inicial \(Z(0)=Z_0\), bajo las hipótesis dadas por la Ecuación 4.2 y Ecuación 4.3 para los coeficientes \(f\), \(g\) y \(h\).

Analizaremos primero el caso en el que la condición inicial tiene segundo momento finito, es decir, \(\mathbb{E}[|Z_0|^2]<\infty\).

Dado que nuestra ecuación estocástica posee un movimiento browniano \(W\) (ruido estocástico) y un proceso de Poisson compensada, \(\widetilde{N}\) (ruido de salto), utilizaremos la técnica de iteración de Picard para construir una sucesión de procesos estocásticos a partir de la condición inicial. Definimos la sucesión de la siguiente manera:

\[ Z_0(t) :=Z_0, \, \, \forall t\geq 0. \tag{4.4}\]

Para \(n\geq 0\), definimos recursivamente la sucesión de procesos estocásticos:

\[ \begin{aligned} Z_{n+1}(t) & := Z_0 +\int _0^t f(Z_n(s-))\,ds+\int_0^t g(Z(s-))\,dW(s)\\ & \qquad\qquad + \int_0^t h(Z_n(s-))\,d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \tag{4.5}\]

Afirmamos que cada \(Z_n\) es un proceso adaptado a la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}\) y con trayectorias càdlàg mediante inducción matemática sobre \(n\).

Caso \(n=0\) El proceso inicial es \(Z_0(t)=Z_0\) para todo \(t\geq 0\). Dado que \(Z_0\) es \(\mathcal{F}_0\)-medible por hipótesis, el proceso es constante en el tiempo, y por lo tanto, adaptado. Además, sus trayectorias son constantes, lo que implica que son continuas y en consecuencia, càdlàg.

Supongamos que para algún \(n\geq 0\), el proceso \(Z_n(t)\) es adaptado y tiene trayectorias càdlàg. Dado que \(Z_n\) es adaptado y càdlàg, es progresivamente medible. Recordemos que una propiedad dentro del cálculo estocástico establece que el proceso de límites por la izquierda

\[ Z_n(t-):=\lim_{s\uparrow t}Z_n(s), \]

es \(\textbf{predecible}\), es decir, medible respecto a la \(\sigma\)-álgebra predecible generada por los procesos adaptados y continuos por la izquierda.

Dado que los coeficientes \(f,g,h\) son funciones continuas, gracias a la condición de Lipschitz dada en la Ecuación 4.2, la composición de una función continua con un proceso predecible resulta en un proceso predecible. Por lo tanto, los integrandos \(f(Z_n(s-))\), \(g(Z_n(s-))\) y \(h(Z_n(s-))\) son procesos predecibles.

Caso \(n+1\): Analizamos ahora la naturaleza de cada término en la definición de \(Z_{n+1}\):

• Integral de Lebesgue: \(\int_0^t f(Z_n(s-))\, ds\). La integral de un proceso predecible respecto a la medida de Lebesgue produce un proceso con trayectorias continuas y adaptado.

• Integral de Itô: \(\int_0^t g(Z_n(s-))\, dW(s)\). La integral estocástica de un proceso predecible cuadrado-integrable respecto al movimiento browniano \(W(s)\) posee una modificación que es una martingala continua y, por consecuencia, adaptada.

• Integral de Itô: \(\int_0^t h(Z_n(s-))\, d\widetilde{N}(s)\). La integral estocástica de un proceso predecible cuadrado-integrable respecto al proceso de Poisson compensado \(\widetilde{N}(s)\) posee una modificación que es una martingala con trayectorias càdlàg y adaptada.

Finalmente, \(Z_{n+1}(t)\) se define como la suma de \(Z_0\), el cual es adaptado y continuo, dos procesos adaptados con trayectorias continuas, \(\int_0^t f(Z_n(s-))\, ds\) y \(\int_0^t g(Z_n(s-))\, dW(s)\), y un proceso adaptado con trayectorias càdlàg, \(\int_0^t h(Z_n(s-))\, d\widetilde{N}(s)\). Dado que la suma de procesos adaptados es adaptada, y la suma de un proceso continuo y uno càdlàg resulta en un proceso càdlàg, podemos concluir que \(Z_{n+1}(t)\) es adaptado y tiene trayectorias càdlàg.

Por el principio de inducción matemática, todos los procesos \(Z_n(t)\) en la sucesión de Picard son adaptados y càdlàg.

Luego, para establecer la convergencia, consideremos el paso base de la iteración analizando la diferencia \(Z_1(t)-Z_0(t).\) Sustituyendo \(n=0\) en la Ecuación 4.5 y dado que \(Z_0(s-)=Z_0\) para todo \(s\geq 0\), obtenemos

\[ Z_1(t)-Z_0 = \int_0^t f(Z_0)\,ds + \int_0^t g(Z_0)\,dW(s) + \int_0^t h(Z_0)\,d\widetilde{N}(s). \tag{4.6}\]

Para acotar la expresión, haremos uso de la desigualdad elemental para sumas de tres términos

\[ (a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2). \tag{4.7}\]

Tomando valor absoluto y elevando al cuadrado a la Ecuación 4.6, aplicando la Ecuación 4.7 para obtener

\[ \begin{aligned} |Z_1(t)-Z_0|^2 & = \Bigg| \int_0^t f(Z_0)\,ds + \int_0^t g(Z_0)\,dW(s) \\ & \qquad\qquad\quad + \int_0^t h(Z_0)\,d\widetilde{N}(s)\Bigg|^2 \\ &\le 3\Bigg( \left(\int_0^t f(Z_0)\,ds\right)^2 + \left(\int_0^t g(Z_0)\,dW(s)\right)^2\\ & \qquad\qquad\quad + \left(\int_0^t h(Z_0)\,d\widetilde{N}(s)\right)^2\Bigg). \end{aligned} \]

Para controlar el comportamiento de manera uniforme en todo el intervalo \([0,t]\), tomamos el supremo sobre \(s\in[0,t]\), en ambos lados. Utilizando la propiedad de que el supremo de una suma es menor igual a la suma de los supremos, podemos obtener

\[ \begin{aligned} \sup_{0\leq s\leq t}|Z_1(s)-Z_0|^2 &\leq 3\Bigg(\sup_{0\leq s\leq t}\left(\int_0^s f(Z_0)\,du\right)^2 + \sup_{0\leq s\leq t} \left(\int_0^s g(Z_0)\,dW(u)\right)^2 \\ &\qquad\quad + \sup_{0\leq s\leq t} \left(\int_0^s h(Z_0)\,d\widetilde{N}(u)\right)^2\Bigg). \end{aligned} \]

Finalmente, tomando el valor esperado de ambos lados y utilizando la linealidad de la esperanza, llegamos a la siguiente cota

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z_1(s)-Z_0|^2\right]\\ & \leq 3\Bigg( \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}\left(\int_0^s f(Z_0)\,du\right)^2\right] \\ &\qquad + \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t} \left(\int_0^s g(Z_0)\,dW(u)\right)^2\right] \\ &\qquad\quad +\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t} \left(\int_0^s h(Z_0)\,d\widetilde{N}(u)\right)^2\right]\Bigg). \end{aligned} \tag{4.8}\]

Trabajaremos término por término. Primero notemos que la siguiente integral es de Lebesgue:

\[ \int_0^s f(z_0)du = b(z_0) \int_0^s du = f(z_0)\cdot s \]

Por lo tanto, tomando supremo sobre \(s\in[0,t]\), obtenemos

\[ \sup_{0\leq s\leq t}\left(\int_0^s f(Z_0)\,du\right)^2 = \sup_{0\leq s\leq t} |f(Z_0)|^2 s^2 = |f(Z_0)|^2 t^2. \tag{4.9}\]

Consideremos ahora el proceso estocástico

\[ M(s):=\int_0^s g(Z_0)dW(u). \tag{4.10}\]

Afirmamos que \(M(s)\) proceso es una martingala cuadrado-integrable. Dado que \(Z_0\) es \(\mathcal{F}_0\)-medible y constante en el tiempo, \(g(Z_0)\) es determinista condicional a \(\mathcal{F}_0\) y, por ende, el integrando es predecible. Además, por la condición de crecimiento lineal dada en la Ecuación 4.3 evaluada en \(y=0\), tenemos que

\[ \mathbb{E}[|g(Z_0)|^2] \leq \mathbb{E}\Big[|f(Z_0)|^2 + |g(Z_0)|^2 + \lambda|h(Z_0)|^2\Big] \leq K_2\big(1 + \mathbb{E}[|Z_0|^2]\big) < \infty. \]

Esto garantiza que \(M(s)\in L^2\). Así, aplicando el Teorema 3.15 para martingalas con \(p=2\) y la isometría de Itô, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|M(s)|^2\right] & \leq 4\,\mathbb{E}[|M(t)|^2] \\ & = 4\,\mathbb{E}\left[\int_0^t |g(Z_0)|^2\,du\right] \\ & = 4t\,\mathbb{E}[|g(Z_0)|^2]. \end{aligned} \tag{4.11}\]

De manera análoga, para el término de salto definido por

\[ L(s):= \int_0^s h(Z_0)\, d\widetilde{N}(s), \]

podemos afirmar que es una martingala cuadrado-integrable. Utilizando Teorema 3.15 y Teorema 3.13 para el proceso de Poisson compensado, donde la variación cuadratica es \([L]_t=\lambda\int_0^t |h(Z_0)|^2du\), obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|L(s)|^2\right] & \leq 4\,\mathbb{E}[|L(t)|^2] \\ & = 4\,\mathbb{E}\left[\lambda \int_0^t |h(Z_0)|^2\,du\right] \\ & = 4\lambda t\,\mathbb{E}[|h(Z_0)|^2]. \end{aligned} \tag{4.12}\]

Sustituyendo la Ecuación 4.9, Ecuación 4.11 y Ecuación 4.12 en la Ecuación 4.8, llegamos a

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z_1(s)-Z_0|^2\right]\\ & \leq 3\Bigg( t^2\,\mathbb{E}[|f(Z_0)|^2] + 4t\,\mathbb{E}[|g(Z_0)|^2] + 4\lambda t\,\mathbb{E}[|h(Z_0)|^2] \Bigg). \end{aligned} \tag{4.13}\]

Para acotar la Ecuación 4.13 utilizando la condición de crecimiento lineal dada en la Ecuación 4.3, dfinimos la constante \(C_1(t):=\max{\{3t,12,12\lambda\}}\), notemos que

\[ \begin{aligned} 3t^2 & = 3t\cdot t \leq \max{\{3t,12,12\lambda\}}\cdot t = C_1(t)\cdot t,\\ 12t & = 12\cdot t \leq \max{\{3t,12,12\lambda\}}\cdot t = C_1(t)\cdot t,\\ 12\lambda t & = 12\lambda\cdot t \leq \max{\{3t,12,12\lambda\}}\cdot t = C_1(t)\cdot t \end{aligned} \]

Por lo tanto, de la Ecuación 4.13 podemos factorizar

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z_1(s)-Z_0|^2\right]\\ & \leq C_1(t)\,t\,\mathbb{E}\Big[|f(Z_0)|^2 + |g(Z_0)|^2 + \lambda|h(Z_0)|^2\Big]. \end{aligned} \tag{4.14}\]

Finalmente, aplicando la condición de crecimiento lineal, dada por la Ecuación 4.3, obtenemos la cota fundamental para el primer paso de la iteración

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z_1(s)-Z_0|^2\right] \leq C_1(t)\,t\,K_2\big(1 + \mathbb{E}[|Z_0|^2]\big). \tag{4.15}\]

Veamos la diferencia entre los términos consecutivos de la sucesión de Picard, \(Z_{n+1}\) y \(Z_n\). Restando sus expresiones integrales, obtenemos que

\[ \begin{aligned} Z_{n+1}(t) - Z_n(t) & = \int_0^t \big[f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big]\,du \\ & \qquad + \int_0^t \big[g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))\big]\,dW(u) \\ & \qquad + \int_0^t \big[h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))\big]\,d\widetilde{N}(u). \end{aligned} \]

Para acotar el cuadrado de esta diferencia, aplicamos la Ecuación 4.7 \[ \begin{aligned} |Z_{n+1}(t) - Z_n(t)|^2 & \leq 3 \Bigg( \left| \int_0^t \big[f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big]\,du \right|^2 \\ & \qquad\quad + \left| \int_0^t \big[g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))\big]\,dW(u) \right|^2 \\ & \qquad\quad + \left| \int_0^t \big[h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))\big]\,d\widetilde{N}(u) \right|^2 \Bigg). \end{aligned} \]

Tomando el supremo sobre \(s\in[0,t]\) en ambos lados de la desigualdad y aplicando posteriormente el valor esperado \(\mathbb{E}[\cdot]\), obtenemos la siguiente cota

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[ \sup_{0 \leq s \leq t} |Z_{n+1}(s) - Z_n(s)|^2 \right]\\ & \leq 3 \Bigg( \mathbb{E}\left[ \sup_{0 \leq s \leq t} \left| \int_0^s \big[f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big]\,du \right|^2 \right] \\ & \quad + \mathbb{E}\left[ \sup_{0 \leq s \leq t} \left| \int_0^s \big[g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))\big]\,dW(u) \right|^2 \right] \\ & \quad + \mathbb{E}\left[ \sup_{0 \leq s \leq t} \left| \int_0^s \big[h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))\big]\,d\widetilde{N}(u) \right|^2 \right] \Bigg). \end{aligned} \tag{4.16}\]

Trabajaremos con cada término de la desigualdad para acotar \(\displaystyle \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq t} |Z_{n+1}(t)-Z_n(t)|^2\Bigg]\).

Para el primer término, aplicamos el Teorema 3.8 para integrales. Dado que \(s\in[0,t]\), tenemos

\[ \begin{aligned} \Bigg( \int_0^s \big[f(Z_n(u-)) & - f(Z_{n-1}(u-))\big] du \Bigg)^2\\ & \leq s \int_0^s \big|f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big|^2 du \\ & \leq t \int_0^t \big|f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big|^2 du. \end{aligned} \]

Dado que el lado derecho es independiente de \(s\), al tomar supremo sobre \(s\in[0,t]\) y posteriormente el valor esperado, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[ \sup_{0 \leq s \leq t} \left( \int_0^s \big[f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big] du \right)^2 \right]\\ & \leq t \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du. \end{aligned} \tag{4.17}\]

Definimos al proceso estocástico de la forma

\[ M_g(s) := \int_0^s \Big[g(Z_n(u-))-g(Z_{n-1}(u-))\Big]\, dW(u). \]

Como establecimos previamente para el proceso \(M(s)\) en la Ecuación 4.10. Dado que \(Z_n\) y \(Z_{n-1}\) son procesos adaptados y càdlàg, sus límites por la izquierda son predecibles. Por lo tanto \(M_g(s)\) es una martingala cuadrado-integrable. Aplicando Teorema 3.15 y la Teorema 3.13 para el movimiento browniano, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[ \sup_{0 \leq s \leq t} |M_g(s)|^2 \right]\\ & \leq 4 \, \mathbb{E}\left[ |M_g(t)|^2 \right] \\ & = 4 \, \mathbb{E}\left[ \int_0^t \big|g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))\big|^2 du \right] \\ & = 4 \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du. \end{aligned} \tag{4.18}\]

De forma similar, definimos el proceso estocástico correspondiente a los saltos

\[ M_h(s) := \int_0^s[h(Z_n(u-))-h(Z_{n-1}(u-))]\, d\widetilde{N}(u). \]

De manera análoga, \(M_h(s)\) es una martingala cuadrado-integrable. Aplicando el Teorema 3.15 y Teorema 3.13 para el proceso de Poisson compensado, donde su variación cuadrática introduce el factor de intensidad \(\lambda\), obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[ \sup_{0 \leq s \leq t} |M_h(s)|^2 \right]\\ & \leq 4 \, \mathbb{E}\left[ |M_h(t)|^2 \right] \\ & = 4 \, \mathbb{E}\left[ \lambda \int_0^t \big|h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))\big|^2 du \right] \\ & = 4\lambda \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du. \end{aligned} \tag{4.19}\]

Por lo tanto, sustituyendo la Ecuación 4.17, Ecuación 4.18 y Ecuación 4.19 en la Ecuación 4.16 tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[ \sup_{0 \leq s \leq t} |Z_{n+1}(s) - Z_n(s)|^2 \right]\\ & \leq 3 \Bigg( t \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du \\ & \quad + 4 \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du \\ & \quad + 4\lambda \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du \Bigg) \\ & = 3t \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du \\ & \quad + 12 \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du \\ & \quad + 12\lambda \int_0^t \mathbb{E}\left[ \big|h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] du. \end{aligned} \]

Recordemos la constante \(C_1(t)=\max{\{3t,12,12\lambda\}}\), definida en el paso base. Dado que, \(3t\leq C_1(t)\) y \(12\leq C_1(t)\), podemos factorizar \(C_1(t)\) en la expresión anterior para obtener la siguiente cota

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[ \sup_{0 \leq s \leq t} |Z_{n+1}(s) - Z_n(s)|^2 \right]\\ & \leq C_1(t) \int_0^t \Bigg( \mathbb{E}\left[ \big|f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] \\ & \quad + \mathbb{E}\left[ \big|g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] \\ & \quad + \lambda \, \mathbb{E}\left[ \big|h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))\big|^2 \right] \Bigg) du. \end{aligned} \tag{4.20}\]

Recordemos que si \(f:[0,t]\) es una función, entonces para todo \(v\in [0,t]\) se cumple que

\[ |f(v)|\leq \sup\limits_{0\leq u\leq t}|f(u)|. \]

Aplicando esta propiedad a la diferencia de las iteraciones de Picard, tenemos que para cualquier \(u\in[0,t]\)

\[ |Z_n(u-)-Z_{n-1}(u-)|^2\leq \sup\limits_{0\leq v\leq u}|Z_n(v)-Z_{n-1}(v)|^2. \]

Tomando valor esperado, el cual preserva la desigualdad, y multiplicando por la constante de Lipschitz \(K_1>0\), obtenemos

\[ \begin{aligned} K_1\mathbb{E} & \Big[|Z_n(u-)-Z_{n-1}(u-)|^2\Big]\\ & \leq K_1\mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq v\leq u}|Z_n(v)-Z_{n-1}(v)|^2\right]. \end{aligned} \tag{4.21}\]

Por la hipótesis dada en la Ecuación 4.2, los coeficientes \(f\), \(g\) y \(h\) satisfacen que para todo \(y_1,y_2\in\mathbb{R}\)

\[ |f(y_1) - f(y_2)|^2 + |g(y_1) - g(y_2)|^2 + \lambda |h(y_1) - h(y_2)|^2 \leq K_1 |y_1 - y_2|^2. \]

Evaluando esta condición en \(y_1=Z_n(u-)\) y \(y_2=Z_{n-1}(u-)\), y tomando valor esperado, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[|f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))|^2\right] &+ \mathbb{E}\left[|g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))|^2\right] \\ &+ \lambda \mathbb{E}\left[|h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))|^2\right] \\ &\leq K_1 \mathbb{E}\left[|Z_n(u-) - Z_{n-1}(u-)|^2\right] \\ &\leq K_1 \mathbb{E}\left[\sup_{0 \leq v \leq u} |Z_n(v) - Z_{n-1}(v)|^2\right]. \end{aligned} \]

Sustituyendo esta cota en la Ecuación 4.20, y multiplicando por la constante \(C_1(t)\) e integrando en el intervalo \([0,t]\) con respecto a \(u\), llegamos a la estimación para el paso inductivo

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0 \leq s \leq t} |Z_{n+1}(s) - Z_n(s)|^2\right]\\ &\leq C_1(t) \int_0^t \Bigg( \mathbb{E}\left[|f(Z_n(u-)) - f(Z_{n-1}(u-))|^2\right] \\ &\quad + \mathbb{E}\left[|g(Z_n(u-)) - g(Z_{n-1}(u-))|^2\right] \\ &\quad + \lambda \mathbb{E}\left[|h(Z_n(u-)) - h(Z_{n-1}(u-))|^2\right] \Bigg) du \\ &\leq C_1(t) K_1 \int_0^t \mathbb{E}\left[\sup_{0 \leq v \leq u} |Z_n(v) - Z_{n-1}(v)|^2\right] du. \end{aligned} \tag{4.22}\]

Ahora bien, para \(n\geq 1\) y \(t\geq 0\) definimos el siguiente proceso

\[ d_n(t):= \mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq s\leq t}|Z_n(s)-Z_{n-1}(s)|^2\right]. \]

Hemos demostrado hasta ahora las siguientes desigualdades para el paso base y el paso inductivo

\[ d_1(t) \leq C_1(t)tK_2(1+\mathbb{E}[|Z_0|^2]), \tag{4.23}\]

\[ d_{n+1}(t)\leq C_1(t)K_1\int_0^t d_n(s)ds, \tag{4.24}\]

donde \(C_1(t)=\max\{3t,12,12\lambda\}\).

Definimos las variables auxiliares \(C_2(t):=tC_1(t)\) y \(K_3:=\max\Big\{K_1,K_2(1+\mathbb{E}[|Z_0|^2])\Big\}.\)

Afirmamos que para toda \(n\in \mathbb{N}\), se cumple la siguiente cota

\[ d_n(t)\leq \frac{C_2(t)^n K_3^n}{n!}. \tag{4.25}\]

Procediendo por inducción matemática sobre \(n\).

Caso n=1: Notemos que \(K_2(1+\mathbb{E}[|Z_0|^2])\leq \max\Big\{K_1,K_2(1+\mathbb{E}[|Z_0|^2])\Big\}=K_3\). Por lo tanto, de la Ecuación 4.23 obtenemos directamente

\[ d_1(t)\leq C_1(t)tK_2(1+\mathbb{E}[|Z_0|^2])\leq C_2(t)K_3 = \frac{C_2(t)^1 K_3^1}{1!}. \]

La afirmación se cumple para \(n=1\).

Paso inductivo. Supongamos que la afirmación es cierta para \(n=k\), es decir

\[ d_k(t)\leq \frac{C_2(t)^k K_3^k}{k!}. \]

Queremos probar que se cumple para \(n=k+1\), vale decir

\[ d_{k+1}(t)\leq \frac{C_2(t)^{k+1} K_3^{k+1}}{(k+1)!}. \]

Por la Ecuación 4.24 tenemos que

\[ d_{k+1} \leq C_1(t)K_1\int_0^t d_k(s)ds. \]

Aplicando la hipótesis de inducción al integrando, obtenemos

\[ d_k(s) \leq \frac{C_2(s)^k K_3^k}{k!} = \frac{s^k C_1(s)^k K_3^k}{k!}. \]

Observemos que la función \(C_1(t)\) es no decreciente en \(t\), ya que es el máximo de funciones no decrecientes. Por lo tanto, para todo \(0\leq s\leq t\), se cumple que \(C_1(s)\leq C_1(t)\). Esto nos permite acotar el integranndo de la siguiente manera

\[ d_k(s) \leq \frac{s^k C_1(t)^k K_3^k}{k!}. \]

Sustituyendo esta cota en la integral y evaluando, se obtiene

\[ \begin{aligned} d_{k+1}(t) & \leq C_1(t) K_1 \int_0^t d_k(s) \, ds \\ & \leq C_1(t) K_1 \int_0^t \frac{s^k C_1(t)^k K_3^k}{k!} \, ds \\ & = \frac{C_1(t)^{k+1} K_1 K_3^k}{k!} \int_0^t s^k \, ds \\ & = \frac{C_1(t)^{k+1} K_1 K_3^k}{k!} \frac{t^{k+1}}{k+1}. \end{aligned} \]

Dado que \(K_1\leq K_3\), se cumple \(K_1K_3\leq K_3^{k+1}\). Por lo tanto

\[ \begin{aligned} d_{k+1}(t) & \leq \frac{C_1(t)^{k+1} K_3^{k+1} t^{k+1}}{(k+1)!} \\ & = \frac{\big(t C_1(t)\big)^{k+1} K_3^{k+1}}{(k+1)!} \\ & = \frac{C_2(t)^{k+1} K_3^{k+1}}{(k+1)!}. \end{aligned} \]

Con esto completamos el paso inductivo. Por lo tanto, para toda \(n\in\mathbb{N}\) y \(t\geq 0\), se cumple

\[ d_n(t) \leq \frac{C_2(t)^n K_3^n}{n!}. \]

A continuación, demostraremos que la sucesión que la sucesión \(\{Z_n(t)\}_{n\in \mathbb{N}}\) es una sucesión de Cauchy en el espacio \(L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\), el cual es un espacio de Banach bajo la norma \(\|Y\|_2:=[\mathbb{E}(|Y|^2)]^{1/2}\).

Sean \(m,n \in \mathbb{N}\), sin perdida de generalidad, supongamos que \(m<n\). Aplicando la desigualdad triangular para la norma \(\|\cdot\|_2\), podemos afirmmar que para cada \(0\leq s\leq t\) se cumple

\[ \begin{aligned} \|Z_n(s)-Z_m(s)\|_2 & = \Bigg\|\sum\limits_{r=m+1}^n \Big(Z_r(s)-Z_{r-1}(s)\Big)\Bigg\|_2\\ & \leq \sum\limits_{r=m+1}^n\|Z_r(s)-Z_{r-1}(s)\|_2. \end{aligned} \]

De la Ecuación 4.25 sabemos que para cada \(r\in\mathbb{N}\) se cumple

\[ \mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq u\leq t}|Z_r(s)-Z_{r-1}(s)|^2\Bigg]\leq \frac{C_2(t)^rK_3^r}{r!}. \]

Dado que \(|Z_r(s) - Z_{r-1}(s)|^2 \leq \sup_{0 \leq u \leq t} |Z_r(u) - Z_{r-1}(u)|^2\) al tomar raíz cuadrada y el valor esperado, obtenemos la siguiente cota para la norma \(L\)

\[ \begin{aligned} \|Z_r(s)-Z_{r-1}(s)\|_2 & \leq \sqrt{\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq u\leq t}|Z_r(s)-Z_{r-1}(s)|^2\Bigg]}\\ & \leq \frac{C_2(t)^{r/2}K_3^{r/2}}{(r!)^{1/2}}. \end{aligned} \]

Por tanto para cada \(s\in [0,t]\), la distancia en \(L^2\) está acotada por tenemos

\[ \begin{aligned} \|Z_n(s)-Z_m(s)\|_2 & \leq \sum\limits_{r=m+1}^n \|Z_r(s)-Z_{r-1}(s)\|_2\\ & \leq \sum\limits_{r=m+1}^n \frac{C_2(t)^{r/2}K_3^{r/2}}{(r!)^{1/2}}. \end{aligned} \]

Para analizar la convergencia de esta suma, definimos la constante

\[ A':=C_2(t)K_3>0, \]

y reescribirmos el término general de la serie como

\[ a_r=\frac{A^{r/2}}{(r!)^{1/2}}=\Bigg(\frac{A^r}{r!}\Bigg)^{1/2}. \tag{4.26}\]

Veamos la convergencía de la serie

\[ \sum\limits_{r=1}^{\infty} a_r=\sum\limits_{r=1}^{\infty} \Bigg(\frac{A^r}{r!}\Bigg)^{1/2}. \]

Aplicando el criterio de la razón, evaluamos el límite del cociente entre términos consecutivos

\[ \begin{aligned} \frac{a_{r+1}}{a_r} & = \frac{\Bigg(\frac{A^{r+1}}{(r+1)!}\Bigg)^{1/2}}{\Bigg(\frac{A^r}{r!}\Bigg)^{1/2}}\\ & = \Bigg(\frac{A^{r+1}}{(r+1)!}\cdot \frac{r!}{A^r}\Bigg)^{1/2}\\ & = \Bigg(\frac{A}{r+1}\Bigg)^{1/2}. \end{aligned} \]

Tomando el límite cuando \(r\rightarrow\infty\)

\[ \lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{a_{r+1}}{a_r}=\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{A}{r+1}}=0. \]

Dado que este límite es estrictamente menor que 1, por el criterio de la razón afirmamos que la serie converge. Como consecuencia directa de la convergencia de la serie, la cola de la serie tiende a cero. Es decir, para todo \(\varepsilon>0\) existe un entero \(N\in \mathbb{N}\) tal que

\[ \sum\limits_{r=N+1}^{\infty}\frac{C_2(t)^{r/2}K_3^{r/2}}{(r!)^1/2}<\varepsilon. \]

Entonces, para todo \(n,m\geq N\) tales que \(m<n\) y todo \(s\in [0,t]\) se cumple

\[ \begin{aligned} \|Z_n(s)-Z_m(s)\|_2 & \leq \sum\limits_{r=m+1}^n\frac{C_2(t)^{r/2}K_3^{r/2}}{(r!)^{r/2}}\\ & \leq \sum\limits_{r=N+1}^{\infty} \frac{C_2(t)^{r/2}K_3^{r/2}}{(r!)^{r/2}}\\ & <\varepsilon. \end{aligned} \tag{4.27}\]

Por lo tanto, hemos demostrado que \((Z_n(s))\) es una sucesión de Cauchy en \(L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) para cada \(s\in[0,t]\).

Dado que \(L^2(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de Banach, es decir, un espacio completo con la norma \(\|\cdot\|_2\), toda sucesión de Cauchy converge en \(L^2\). Por lo tanto, existe un proceso \(Z(s)\in L^2\) tal que

\[ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}\|Z_m(s)-Z(s)\|_2=0, \ \ \ \forall s\in [0,t]. \tag{4.28}\]

Cómo \(m<n\), por la desigualdad triangular, afirmamos que

\[ \|Z(s)-Z_n(s)\|_2\leq \|Z(s)-Z_m(s)\|_2+\|Z_m(s)-Z_n(s)\|_2. \]

Tomando límite cuando \(m\rightarrow\infty\) en ambos lados y utilizando lla convergencia en \(L^2\) dada por la por la Ecuación 4.28, el primer término del lado derecho se anula. Además, dado que ya demostramos que la serie de cotas converge, el segundo término está acotado por la cola de la serie:

\[ \lim\limits_{m\rightarrow\infty} \|Z_m(s)-Z_n(s)\|_2\leq \lim\limits_{m\rightarrow\infty}\sum\limits_{r=n+1}^m\frac{C_2(t)^{r/2}K_3^{r/2}}{(r!)^{1/2}}=\sum\limits_{r=n+1}^{\infty}\frac{C_2(t)^{r/2}K_3^{r/2}}{(r!)^{1/2}}. \]

Dado que el término \(\|Z(s)-Z_n(s)\|_2\) no depende de \(m\), obtenemos la siguiente cota para el error en \(L^2\)

\[ \|Z(s)-Z_n(s)\|_2\leq \sum\limits_{r=n+1}^{\infty}\frac{C_2(t)^{r/2}K_3^{r/2}}{(r!)^{1/2}}. \]

A continuación, vamos a establecer la convergencia casi segura y uniforme de la sucesión. Consideremos variable aleatoria

\[ X_n:=\sup\limits_{0\leq s\leq t} |Z_n(s)-Z_{n-1}(s)|. \]

Queremos encontrar una cota para la siguiente probabilidad

\[ \mathbb{P}\Bigg(X_n\geq\frac{1}{2^n}\Bigg). \]

Aplicando el Teorema 3.11 a \(X_n^2\), tenemos

\[ \mathbb{P}\Bigg(X_n\geq\frac{1}{2^n}\Bigg)=\mathbb{P}\Bigg(X_n^2\geq \frac{1}{4^n}\Bigg)\leq 4^n\mathbb{E}[X_n^2]. \tag{4.29}\]

Notemos que \(\mathbb{E}[X_n^2]\) ya esta acotado dado por la cota factorial dada en la Ecuación 4.25

\[ \mathbb{E}[X_n^2]=\mathbb{E}\Bigg[\sup\limits_{0\leq s\leq t}|Z_n(s)-Z_{n-1}(s)|^2\Bigg]\leq \frac{C_2(t)^nK_3^n}{n!}. \]

Sustituyendo esta cota en la Ecuación 4.29, obtenemos

\[ \mathbb{P}\Bigg(X_n\geq\frac{1}{2^n}\Bigg)\leq 4^n\frac{C_2(t)^2K_3^n}{n!}=\frac{(4C_2(t)K_3)^n}{n!}. \]

Dado que la serie exponencial \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!}\) converge para cualquier constante \(A>0\), la serie de probabilidades tambien converge

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}\Bigg(\sup\limits_{0\leq s\leq t}|Z_n(s)-Z_{n-1}(s)|\geq \frac{1}{2^n}\Bigg)\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(4C_2(t)K_3)^n}{n!}<\infty. \]

Al ser la suma de probabilidades finita, podemos aplicar el Lema 3.5, lo que nos permite afirmar que

\[ \mathbb{P}\Bigg(\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\Bigg\{\sup\limits_{0\leq s\leq t}|Z_n(s)-Z_{n-1}(s)|\geq \frac{1}{2^n}\Bigg\}\Bigg)=0. \]

La estimación obtenida nos dice que la probabilidad de que las diferencias consecutivas \(|Z_n(s) - Z_{n-1}(s)|\) sean “grandes” (mayores que \(1/2^n\)) se vuelve extremadamente pequeña a medida que \(n\) crece, tan pequeña que la suma de todas esas probabilidades es finita.

En otras palabras, para casi todas las trayectorias de la sucesión \((Z_n)\) se vuelven uniformemente estables, a partir de algún momento, los términos de la sucesión ya no cambian mucho entre sí, ni en ningún instante del intervalo \([0,t]\).

Esto garantiza que, con probabilidad 1, la sucesión \((Z_n(\cdot))\) converge uniformemente en \([0,t]\) a una función límite \(Z(\cdot)\). Es decir, no solo converge punto a punto, sino que lo hace de manera controlada en todo el intervalo al mismo tiempo.

4.4 Verificación de la Ecuación Integral

El Lema 4.1 garantiza la existencia de un proceso límite \(Z_n(t)\) con las propiedades de regularidad deseables. Sin embargo, desde el punto de vista analítico, la convergencia de la sucesión de Picard no asegura, por sí sola, que el límite satisfaga la ecuación diferencial estocástica original. Podría ocurrir que el límite converja a un proceso que no resuelva la EDE.

Para cerrar este vacío lógico, en esta sección definimos un proceso auxiliar \(\widetilde{Z}(t)\) evaluando el lado derecho de la forma integral de la Ecuación 4.1 sobre el proceso límite \(Z_n(t)\). A través de estimaciones de error cuadrático medio y aprovechando la unicidad de límites en espacios de Banach, demostraremos en la siguiente Proposición que \(\widetilde{Z}(t)=Z(t)\) casi seguramente, validando así que el proceso construido es, en efecto, una solución fuerte.

Proposición 4.1 (El proceso límite como solución fuerte) Bajo las hipótesis del Lema 4.1, el proceso límite \(Z(t)\) satisface la forma integral de la ecuación diferencial estocástica Ecuación 4.1 casi seguramente para todo \(t \geq 0\). Es decir,

\[ Z(t) = Z_0 + \int_0^t f(Z(s-))\,ds + \int_0^t g(Z(s-))\,dW(s) + \int_0^t h(Z(s-))\,d\widetilde{N}(s). \]

Demostración. Hasta este punto, hemos demostrado que la sucesión de Picard \((Z_n(t))_{n \in \mathbb{N}}\) converge en \(L^2\) y casi seguramente de manera uniforme a un proceso límite \(Z(t)\). Sin embargo, aún debemos verificar que este proceso límite \(Z(t)\) es, en efecto, una solución de la ecuación diferencial estocástica Ecuación 4.1.

Para ello, definimos un nuevo proceso estocástico \(\tilde{Z} = (\tilde{Z}(t))_{t \geq 0}\) evaluando el lado derecho de la forma integral de la Ecuación 4.1 en el proceso límite \(Z(t)\)

\[ \tilde{Z}(t) := Z_0 + \int_0^t f(Z(s-))\,ds + \int_0^t g(Z(s-))\,dW(s) + \int_0^t h(Z(s-))\,d\widetilde{N}(s). \]

Nuestro objetivo es demostrar que \(\tilde{Z}(t) = Z(t)\) casi seguramente. Para lograrlo, analizaremos la diferencia entre \(\tilde{Z}(t)\) y el término \(n\)-ésimo de la iteración de Picard, \(Z_n(t)\). Recordemos que \(Z_n(t)\) satisface la relación recursiva

\[ \begin{aligned} Z_n(t) = Z_0 + \int_0^t f(Z_{n-1}(s-))\,ds & + \int_0^t g(Z_{n-1}(s-))\,dW(s)\\ &\quad\quad + \int_0^t h(Z_{n-1}(s-))\,d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \]

Restando ambas expresiones, obtenemos

\[ \begin{aligned} \tilde{Z}(t) - Z_n(t) & = \int_0^t \big[f(Z(s-)) - f(Z_{n-1}(s-))\big]\,ds \\ & \quad + \int_0^t \big[g(Z(s-)) - g(Z_{n-1}(s-))\big]\,dW(s) \\ & \quad + \int_0^t \big[h(Z(s-)) - h(Z_{n-1}(s-))\big]\,d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \]

Aplicando la desigualdad dada en la Ecuación 4.7 y tomando el valor esperado, acotamos el error cuadrático medio de la siguiente manera:

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[|\tilde{Z}(t) - Z_n(t)|^2\right]\\ & \leq 3\,\mathbb{E}\left[\left|\int_0^t \big[f(Z(s-)) - f(Z_{n-1}(s-))\big]\,ds\right|^2\right] \\ & \quad + 3\,\mathbb{E}\left[\left|\int_0^t \big[g(Z(s-)) - g(Z_{n-1}(s-))\big]\,dW(s)\right|^2\right] \\ & \quad + 3\,\mathbb{E}\left[\left|\int_0^t \big[h(Z(s-)) - h(Z_{n-1}(s-))\big]\,d\widetilde{N}(s)\right|^2\right]. \end{aligned} \tag{4.30}\]

Procedemos a acotar cada término utilizando las mismas herramientas que en el paso inductivo de la iteración de Picard.

Para el término de deriva, aplicamos el Teorema 3.8 para integrales

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\left|\int_0^t \big[f(Z(s-)) - f(Z_{n-1}(s-))\big]\,ds\right|^2\right]\\ & \leq t \int_0^t \mathbb{E}\left[\big|f(Z(s-)) - f(Z_{n-1}(s-))\big|^2\right]\,ds \end{aligned} \tag{4.31}\]

Ahora bien, para el término de difusión, aplicando la isometría de Itô para el movimiento browniano

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\left|\int_0^t \big[g(Z(s-)) - g(Z_{n-1}(s-))\big]\,dW(s)\right|^2\right]\\ & \leq \int_0^t \mathbb{E}\left[\big|g(Z(s-)) - g(Z_{n-1}(s-))\big|^2\right]\,ds. \end{aligned} \tag{4.32}\]

Finalmente de manera análoga, para el término de saltos se aplica la isometría de Itô para el proceso de Poisson compensado \(\widetilde{N}(t)\), la cual introduce el factor de intensidad \(\lambda\)

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\left|\int_0^t \big[h(Z(s-)) - h(Z_{n-1}(s-))\big]\,d\widetilde{N}(s)\right|^2\right]\\ & \leq \int_0^t \mathbb{E}\left[\big|h(Z(s-)) - h(Z_{n-1}(s-))\big|^2\right]\,ds. \end{aligned} \tag{4.33}\]

Sustituyendo la Ecuación 4.31, Ecuación 4.32 y Ecuación 4.33 en la Ecuación 4.30 y factorizando la constante \(C_1(t) = \max\{3t, 12, 12\lambda\}\), obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{0 \leq s \leq t} |\tilde{Z}(s) - Z_{n+1}(s)|^2\right] & \leq C_1(t) \int_0^t \Big( \mathbb{E}\left[\big|f(Z(u-)) - f(Z_n(u-))\big|^2\right] \\ & \quad + \mathbb{E}\left[\big|g(Z(u-)) - g(Z_n(u-))\big|^2\right] \\ & \quad + \lambda\,\mathbb{E}\left[\big|h(Z(u-)) - h(Z_n(u-))\big|^2\right] \Big)\,du. \end{aligned} \]

Ahora, aplicamos la condición de Lipschitz global, dada en la Ecuación 4.2 a los coeficientes. Dado que \(Z(s-) = Z(s)\) para casi todo \(s\) respecto a la medida de Lebesgue, tenemos

\[ \mathbb{E}\left[|\tilde{Z}(t) - Z_n(t)|^2\right] \leq C_1(t) K_1 \int_0^t \mathbb{E}\left[|Z(s) - Z_{n-1}(s)|^2\right]\,ds. \]

Acotando la integral por el supremo sobre el intervalo \([0, t]\), llegamos a

\[ \mathbb{E}\left[|\tilde{Z}(t) - Z_n(t)|^2\right] \leq C_1(t) K_1 t \sup_{0 \leq s \leq t} \mathbb{E}\left[|Z(s) - Z_{n-1}(s)|^2\right]. \]

En la fase de convergencia en \(L^2\), demostramos previamente que el error entre el límite \(Z(s)\) y la iteración \(Z_{n-1}(s)\) está acotado por la cola de una serie convergente

\[ \sup_{0 \leq s \leq t} \mathbb{E}\left[|Z(s) - Z_{n-1}(s)|^2\right] \leq \left( \sum_{r=n}^{\infty} \frac{C_2(t)^{r/2} K_3^{r/2}}{(r!)^{1/2}} \right)^2. \]

Dado que la serie \(\sum_{r=1}^{\infty} \frac{C_2(t)^{r/2} K_3^{r/2}}{(r!)^{1/2}}\) converge, su cola tiende a cero cuando \(n \to \infty\). Por lo tanto

\[ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[|\tilde{Z}(t) - Z_n(t)|^2\right] = 0. \]

Esto demuestra que \(\tilde{Z}(t)\) es el límite de la sucesión \((Z_n(t))_{n \in \mathbb{N}}\) en el espacio \(L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\). Sin embargo, por construcción de la iteración de Picard, también sabemos que \(Z_n(t) \to Z(t)\) en \(L^2\) cuando \(n \to \infty\).

Por la unicidad de los límites en espacios de Banach, concluimos que

\[ \tilde{Z}(t) = Z(t) \quad \text{casi seguramente, para todo } t \geq 0. \]

4.5 Unicidad de la Solución en \(L^2\)

Habiendo establecido que la sucesión de Picard converge a un proceso que resuelve la Ecuación 4.1, el siguiente paso fundamental es garantizar que esta solución es única. Es decir, debemos demostrar que no existe ningún otro proceso estocástico, distinto a \(Z(t)\), que satisfaga la misma ecuación diferencial y la misma condición inicial \(Z_0.\) La estrategia para demostrar la unicidad consiste en suponer la existencia de una segunda solución hipotética \(Z'(t)\), acotar la diferencia cuadrática media entre ambas soluciones \(\mathbb{E}[\sup_{0\leq s\leq t}|Z(s)-Z'(s)|^2]\), y aplicar las herramientas de acotamiento desarrolladas en la Capítulo 3. Como se verá en la siguiente proposición, la aplicación de la Desigualdad de Gronwall a la desigualdad integral resultante forzará a que la diferencia entre ambas soluciones sea idénticamente cero.

Proposición 4.2 (Unicidad trayectorial para condiciones iniciales con segundo momento finito) Bajo las hipótesis del Lema 4.1, si \(Z^{(1)}(t)\) y \(Z^{(2)}(t)\) son dos soluciones fuertes de la EDE Ecuación 4.1 con la misma condición inicial \(Z_0\), entonces

\[ \mathbb{P}\big(Z^{(1)}(t) = Z^{(2)}(t) \text{ para todo } t \geq 0\big) = 1. \]

Demostración. Veamos ahora que dicha solución es única. Supongamos que \(Z^{(1)}= (Z^{(1)}(t))_{t \geq 0}\) y \(Z^{(2)} = (Z^{(2)}(t))_{t \geq 0}\) son dos soluciones fuertes de la EDE modificada dada en la Ecuación 6.1. Es decir, son procesos adaptados, càdlàg, cuadrado-integrables y que satisfacen, para todo \(t \geq 0\), las ecuaciones integrales:

\[ \begin{aligned} Z^{(i)}(t) & = Z_0 + \int_0^t f(Z^{(i)}(s-))\,ds \\ & \qquad + \int_0^t g(Z^{(i)}(s-))\,dW(s) \\ & \qquad + \int_0^t h(Z^{(i)}(s-))\,d\widetilde{N}(s), \end{aligned} \]

para \(i=1,2\), casi seguramente. Queremos demostrar que \(Z^{(1)}(t) = Z^{(2)}(t)\) para todo \(t\geq 0\) con probabilidad \(1\). Restando las dos ecuaciones de \(Z^{(1)}\) y \(Z^{(2)}\) tenemos que

\[ \begin{aligned} Z^{(1)}(t) - Z^{(2)}(t) & = \int_0^t \big[f(Z^{(1)}(s-)) - f(Z^{(2)}(s-))\big]\,ds \\ & \quad + \int_0^t \big[g(Z^{(1)}(s-)) - g(Z^{(2)}(s-))\big]\,dW(s) \\ & \quad + \int_0^t \big[h(Z^{(1)}(s-)) - h(Z^{(2)}(s-))\big]\,d\widetilde{N}(s). \end{aligned} \tag{4.34}\]

Nuestro objetivo es estimar \(\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z^{(1)}(s) - Z^{(2)}(s)|^2\right]\). Elevando al cuadrado la Ecuación 4.34, tomando el supremos sobre \(s\in[0\leq t]\) y posteriormente el valor esperado, aplicamos la desigualdad dada en la Ecuación 4.7 para obtener

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z^{(1)}(s) - Z^{(2)}(s)|^2\right]\\ & \leq 3\Bigg(\mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}\left|\int_0^s \big[f(Z^{(1)}(u-)) - f(Z^{(2)}(u-))\big]\,du\right|^2\right] \\ & \quad + \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}\left|\int_0^s \big[g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big]\,dW(u)\right|^2\right] \\ & \quad + \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}\left|\int_0^s \big[h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))\big]\,d\widetilde{N}(u)\right|^2\right]\Bigg). \end{aligned} \tag{4.35}\]

Procedemos a acotar cada término de manera análoga al paso inductivo de la iteración de Picard.

Aplicando el Teorema 3.8 para integrales, y notando que \(s\leq t\), tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}\left|\int_0^s \big[f(Z^{(1)}(u-)) - f(Z^{(2)}(u-))\big]\,du\right|^2\right]\\ & \leq t\int_0^t \mathbb{E}\left[\big|f(Z^{(1)}(u-)) - f(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right]du. \end{aligned} \tag{4.36}\]

Definimos el proceso estocástico

\[ M_g(s) := \int_0^s \big[g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big]\,dW(u). \]

Dado que \(Z^{(1)}\) y \(Z^{(2)}\) son soluciones cuadrado-integrables y el coeficiente \(g\) satisface la condición de crecimiento lineal, el integrando pertenece al espacio \(L^2\), lo que garantiza que \(M_g(s)\) es una martingala cuadrado-integrable.

Para acotar el supremo de esta martingala, aplicamos el Teorema 3.15 para \(p=2\), la cual establece que

\[ \mathbb{E}[\sup_{0\leq s\leq t}|M_g(s)|^2] \leq 4\,\mathbb{E}[|M_g(t)|^2]. \]

Aplicando la Isometría de Itô para la integral estocástica respecto al movimiento browniano

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}\left|\int_0^s \big[g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big]\,dW(u)\right|^2\right]\\ & \leq 4\,\mathbb{E}\left[\left|\int_0^t \big[g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big]\,dW(u)\right|^2\right] \\ & = 4\,\mathbb{E}\left[\int_0^t \big|g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big|^2\,du\right]. \end{aligned} \]

Finalmente por el Teorema de Fubini, podemos intercambiar el orden de la esperanza y la integral de Lebesgue, obteniendo la siguiente cota

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}\left|\int_0^s \big[g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big]\,dW(u)\right|^2\right]\\ & \leq 4\int_0^t \mathbb{E}\left[\big|g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right]du. \end{aligned} \tag{4.37}\]

De manera análoga, definimos el proceso

\[ M_h(s) := \int_0^s \big[h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))\big]\,d\widetilde{N}(u). \]

Bajo las mismas hipótesis de integrabilidad, \(M_h(s)\) es una martingala respecto a la filtración \(\mathbb{F}_t\). Al aplicar nuevamente Teorema 3.15, obtenemos

\[ \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq s\leq t}|M_h(s)|^2\right] \leq 4\,\mathbb{E}\left[|M_h(t)|^2\right]. \tag{4.38}\]

Aplicando nuevamente la isometría de Itô para integrales respecto al proceso de Poisson compensado \(\widetilde{N}(t)\). A diferencia del caso browniano, la variación cuadratica de \(\widetilde{N}(t)\) introduce la intensidad, dada por \(\lambda>0\), por lo que

\[ \mathbb{E}[|M_h(t)|^2] = \lambda\,\mathbb{E}\left[\int_0^t |h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))|^2\,du\right]. \]

Sustituyendo esto en la Ecuación 4.38 y aplicando Fubini, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}\left|\int_0^s \big[h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))\big]\,d\widetilde{N}(u)\right|^2\right]\\ & \leq 4\,\mathbb{E}\left[\left|\int_0^t \big[h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))\big]\,d\widetilde{N}(u)\right|^2\right] \\ & = 4\lambda\,\mathbb{E}\left[\int_0^t \big|h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))\big|^2\,du\right] \\ & = 4\lambda\int_0^t \mathbb{E}\left[\big|h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right]du. \end{aligned} \tag{4.39}\]

Sustituyendo la Ecuación 4.36, Ecuación 4.37 y Ecuación 4.39 en la Ecuación 4.35

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z^{(1)}(s) - Z^{(2)}(s)|^2\right]\\ & \leq 3t\int_0^t \mathbb{E}\left[\big|f(Z^{(1)}(u-)) - f(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right]du \\ & \quad + 12\int_0^t \mathbb{E}\left[\big|g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right]du \\ & \quad + 12\lambda\int_0^t \mathbb{E}\left[\big|h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right]du. \end{aligned} \]

Recordando la constante \(C_1(t) = \max\{3t, 12, 12\lambda\}\) definida previamente, podemos factorizarla para unificar la expresión

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z^{(1)}(s) - Z^{(2)}(s)|^2\right]\\ & \leq C_1(t)\int_0^t \Bigg( \mathbb{E}\left[\big|f(Z^{(1)}(u-)) - f(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right] \\ & \quad + \mathbb{E}\left[\big|g(Z^{(1)}(u-)) - g(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right] \\ & \quad + \lambda\mathbb{E}\left[\big|h(Z^{(1)}(u-)) - h(Z^{(2)}(u-))\big|^2\right] \Bigg)du. \end{aligned} \]

De manera similar como ya se hizo en el análisis de la diferencia entre \(Z_n\) y \(Z_{n-1}\) en la iteración de Picard, haciendo uso de la Ecuación 4.2 podemos obtener

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} & \left[\sup_{0\leq s\leq t}|Z^{(1)}(s) - Z^{(2)}(s)|^2\right]\\ & \leq C_1(t)K_1\int_0^t \mathbb{E}\left[\sup_{0\leq r\leq u}|Z^{(1)}(r) - Z^{(2)}(r)|^2\right]du. \end{aligned} \tag{4.40}\]

De esta forma, definimos la función

\[ D(t):=\mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq s\leq t}\left|Z^{(1)}(s) - Z^{(2)}(s)\right|^2\right]. \]

Es claro que \(D(t)\geq 0\) para toda \(t\geq 0\). Fijando \(T\geq 0\), notemos que para todo \(t\in [0,T]\) la constante \(C_1(t)\leq C_1(T)<\infty\).

De la Ecuación 4.40 obtenemos que \(D(t)\) satisface

\[ D(t) \leq C_1(T) K_1 \int_0^t D(s)\,ds, \quad \forall t \in [0,T]. \]

Aplicando el Teorema 3.18, con \(C=0\), podemos concluir que

\[ D(t) \leq 0 \cdot \exp\left(C_1(T) K_1 t\right) = 0, \quad \forall t \in [0,T]. \]

Dado que \(D(t)\geq 0\), se sigue que \(D(t)=0\) para todo \(t\geq 0\). Por la arbitrariedad de \(T\geq 0\), tenemos que para todo \(t\geq 0\) se cumple

\[ D(t)=\mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq s\leq t}\left|Z^{(1)}(s) - Z^{(2)}(s)\right|^2\right]=0, \qquad \text{c.s.} \]

Es decir, \(Z^{(1)}(s) = Z^{(2)}(s)\) para toda \(s \in [0,t]\), casi seguramente. Para extender esto a \(t\geq 0\), definimos

\[ A_n:=\left\{\omega: Z^{(1)}(s,\omega)=Z^{(2)}(s,\omega)\ \text{para todo}\ s\in [0,n]\right\}. \]

Sabemos que \(\mathbb{P}(A_n)=1\) para toda \(n\in \mathbb{N}\). Definimos el evento

\[ A := \bigcap_{n=1}^\infty A_n = \left\{ \omega : Z^{(1)}(t,\omega) = Z^{(2)}(t,\omega) \text{ para todo } t \geq 0 \right\}. \]

Por la continuidad de la medida de probabilidad:

\[ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right) = 1. \]

Con esto, hemos demostrado la unicidad cuando \(\mathbb{E}\Big[|Z_0|^2\Big]<\infty.\)

4.6 Síntesis del Caso con Segundo Momento Finito

Los resultados desarrollados en las secciones anteriores constituyen los bloques constructivos y analíticos necesarios para enunciar el resultado principal de este capítulo para el caso de condiciones iniciales con segundo momento finito. A diferencia de las secciones previas, donde el esfuerzo se centró en la maquinaria analítica (iteración de Picard, isometrías, Gronwall), el propósito de esta sección es puramente declarativo. El siguiente teorema consolida la existencia (Lema 4.1), la validación de la ecuación (Proposición 4.1) y la unicidad (Proposición 4.2) en un solo enunciado.

Teorema 4.1 (Existencia y Unicidad Fuerte para \(Z_0\in L^2.\)) Supongamos que los coeficientes \(f, g, h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) satisfacen las condiciones dadas en la Ecuación 4.2 y Ecuación 4.3. Sea \(Z_0\) una variable aleatoria \(\mathcal{F}_0\)-medible tal que \(\mathbb{E}[|Z_0|^2] < \infty\). Entonces, existe una única solución fuerte \(Z = (Z(t))_{t \geq 0}\) de la ecuación diferencial estocástica Ecuación 4.1. Dicha solución es un proceso adaptado con trayectorias càdlàg casi seguramente.

Demostración. La existencia del proceso límite, su adaptabilidad y la regularidad càdlàg de sus trayectorias se garantizan mediante el Lema 4.1. El hecho de que dicho proceso sea efectivamente una solución de la Ecuación 4.1 se establece en la Proposición 4.1. Finalmente, la unicidad trayectorial de la solución se demuestra en la Proposición 4.2. Con esto, el teorema queda completamente demostrado.

4.7 Extensión al caso general mediante truncamiento

El Teorema 4.1 establece la existencia y unicidad fuerte bajo la hipótesis restrictiva de que la condición inicial posee segundo momento finito \((\mathbb{E}[|Z_0|^2]<\infty)\). Sin embargo, en aplicaciones prácticas como la modelación de fallas sísmicas mediante la ecuación de Langevin, la condición inicial puede provenir de distribuciones con colas pesadas, violando esta hipótesis.

Para liberar al teorema de esta restricción, utilizaremos una técnica de localización por truncamiento. Definiremos una sucesión de condiciones iniciales acotadas \(Z_0^{(n)}\) que sí pertenecen a \(L^2\), aplicaremos el Teorema 4.1 a cada una de ellas, y demostraremos que la sucesión de soluciones resultantes converge uniformemente en probabilidad. El siguiente corolario establece que el proceso límite de esta sucesión truncada es la única solución fuerte para una condición inicial \(Z_0\) general.

Corolario 4.1 (Existencia y Unicidad Fuerte para Condiciones Iniciales Generales) El resultado del Teorema 4.1 se mantiene válido incluso si la condición inicial \(Z_0\) no posee segundo momento finito, es decir, cuando \(\mathbb{E}[|Z_0|^2] = \infty\)

Demostración. Ahora consideremos el caso general donde la condición inicial puede no tener segundo momento finito, es decir, cuando \(\mathbb{E}\Big[|Z_0|^2\Big]=\infty\). Aproximaremos \(Z_0\) mediante una sucesión de variables aleatorias acotadas. Definimos el truncamiento de la variable aleatoria \(Z_0\) de la forma

\[ Z_0^{(n)}:=Z_0\cdot 1_{\{|Z_0|\leq n\}}, \qquad n\in\mathbb{N}, \]

donde \(1_{|Z_0|\leq n}\) es la función indicadora del evento \(\{|Z_0|\leq n\}\), es decir

\[ 1_{\{ |Z_0| \leq n \}}(\omega) = \begin{cases} 1, & \text{si } |Z_0(\omega)| \leq n, \\ 0, & \text{si } |Z_0(\omega)| > n. \end{cases} \]

Por construcción, \(Z_0^{(n)}\) satisface

\[ Z_0^{(n)}(\omega) = \begin{cases} Z_0(\omega), & \text{si } |Z_0(\omega)| \leq n, \\ 0, & \text{si } |Z_0(\omega)| > n. \end{cases} \]

Esto garantiza que \(\mathbb{E}[|Z_0^{(n)}|^2]\leq n^2<\infty\), por otro lado, cómo \(Z_0\) es \(\mathbfcal{F}\)- medible y \(1_{\{|Z_0|\leq n\}}\) también lo es, se sigue que \(Z_0^{(n)}\) es \(\mathcal{F}\)-medible.

Fijemos \(\omega\in \Omega\) tal que \(|Z_0(\omega)|<\infty\), lo cual ocurre con probabilidad \(1\), pues \(Z_0\) es una variable aleatoria real. Entonces existe \(N\in \mathbb{N}\) tal que \(|Z_0(\omega)|\leq N\). Para todo \(n\geq N\), se tiene \(|Z_0(\omega)|\leq n\), y por lo tanto \(Z_0^{(n)}(\omega)=Z_0(\omega)\). Esto implica que, para casi todo \(\omega\in\Omega\), la sucesión \((Z_0^{(n)}(\omega))\) es constante e igual a \(Z_0(\omega)\). Así, por definición de convergencia puntual, tenemos

\[ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}Z_0^{(n)}(\omega)=Z_0(\omega), \text{ para casi todo $\omega$}. \]

Por lo tanto

\[ Z_0^{(n)} \xrightarrow[n \to \infty]{\text{c.s.}} Z_0. \]

Dado que cada \(Z_0^{(n)}\) es \(\mathcal{F}_0\)-medible y acotada, en particular, pertenece a \(L^2(\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbb{P})\), podemos aplicar los resultados de existencia y unicidad demostrados previamente para el caso \(\mathbb{E}[|Z_0|^2] < \infty\). Así, para cada \(n \in \mathbb{N}\), existe una única solución fuerte \(Z^{(n)} = (Z^{(n)}(t))_{t \geq 0}\) de la Ecuación 4.1 con condición inicial \(Z_0^{(n)}\).

Para cada \(N\in \mathbb{N}\), definimos el conjunto

\[ \Omega_N:=\{\omega\in \Omega:|Z_0(\omega)|\leq N\}. \]

Notemos que si \(\omega\in\Omega_N\), entonces para todo \(m>n\geq N\), se tiene \(|Z_0(\omega)| \leq N \leq n < m\), y por lo tanto

\[ Z_0^{(m)}(\omega)=Z_0(\omega)=Z_0^{(n)} \text{ para todo $\omega\in \Omega_N$}. \tag{4.41}\]

Es deicr, en \(\Omega_N\), las condiciones iniciales de \(Z^{(m)}\) y \(Z^{(n)}\) coinciden. Por la unicidad demostrada anteriormente, se sigue que para todo \(t\geq 0\)

\[ Z^{(m)}(t)=Z^{(n)}(t),\quad \text{para casi todo}\ \omega\in\Omega_N \]

Ahora demostraremos que la sucesión \(\{Z^{n}\}_{n\in \mathbb{N}}\) es uniformemente de Cauchy en probabilidad. Es decir, dado \(\varepsilon>0\) y \(\delta>0\), existe \(N\in \mathbb{N}\) tal que para todo \(m,n\geq N\):

\[ \mathbb{P}\Bigg(\sup\limits_{t\geq 0}|Z^{(n)}(t)-Z^{(m)}(t)|>\delta\Bigg)<\varepsilon. \]

Notemos que de los conjuntos \(\Omega_N\) satisfacen \(\Omega_N\subset \Omega_{N+1}\) para todo \(N\in\mathbb{N}\). Dado que \(Z_0\) una variable aleatoria real, entonces \(\mathbb{P}(|Z_0|<\infty)=1\) . Así, \((\Omega_N)_{N\in\mathbb{N}}\) es una sucesión de creciente de conjuntos cuya unión es

\[ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\Omega_n=\{|Z_0|<\infty\}. \]

Por la continuidad de la probabilidad,

\[ \lim_{N \to \infty} \mathbb{P}(\Omega_N) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{N=1}^\infty \Omega_N\right) = \mathbb{P}(|Z_0| < \infty) = 1. \]

Esto implica que para cualquier \(\varepsilon>0\), existe \(N\in \mathbb{N}\) tal que

\[ \mathbb{P}(\Omega_N)>1-\varepsilon. \tag{4.42}\]

De la Ecuación 4.41 sabemos que en \(\Omega_N\) se cumple

\[ \sup\limits_{t\geq 0}|Z^{(n)}(t)-Z^{(m)}(t)|=0,\qquad \forall m,\, n\geq N. \]

Por lo tanto, si la diferencia es distinta de cero, es decir, mayor que \(\delta>0\), esto solo puede ocurrir fuera de \(\Omega_N\). En términos de conjuntos

\[ \Bigg\{\omega:\sup\limits_{t\geq 0}|Z^{(n)}(t)-Z^{(m)}(t)|>\delta\Bigg\}\subset \Omega_N^{c}. \]

Por la monotonía de la probabilidad

\[ \mathbb{P}\Bigg(\sup\limits_{t\geq 0}|Z^{(n)}(t)-Z^{(m)}(t)|>\delta\Bigg)\leq\mathbb{P}(\Omega_N^c). \]

Más aún, notemos que \(\mathbb{P}(\Omega_N^c)=1-\mathbb{P}(\Omega_N)\), por la Ecuación 4.42, entonces \(\mathbb{P}(\Omega_N^c)<\varepsilon\). De la ecuación anterior, podemos afirmar

\[ \mathbb{P}\Bigg(\sup\limits_{t\geq 0}|Z^{(n)}(t)-Z^{(m)}(t)|>\delta\Bigg)<\varepsilon, \ \ \forall\ m,n\geq N \]

Con esto, hemos demostrado que la sucesión \((Z^{(n)})_{n\in \mathbb{N}}\) es uniformemente de Cauchy en probabilidad.

Dado que el espacio de procesos estocásticos con la topología de convergencia uniforme en probabilidad es completo, existe un proceso \(Z = (Z(t))_{t \geq 0}\) tal que:

\[ \sup\limits_{t\geq 0}|Z^{(n)}(t)-Z(t)| \xrightarrow[n \to \infty]{\mathbb{P}} 0. \]

Por el Teorema 3.17, podemos extraer una subsucesión \((Z^{(n_k)})_{k \in \mathbb{N}}\) tal que

\[ \sup\limits_{t\geq 0}|Z^{(n_k)}(t)-Z(t)| \xrightarrow[k \to \infty]{\text{c.s.}} 0. \]

Dado que cada \(Z^{(n_k)}\) posee trayectorias cádlàg y la convergencia es uniforme casi segura, el límite \(Z\) admite una versión con trayectorias cádlàg (pues el límite uniforme de funciones cádlàg es cádlàg).

Finalmente, dado que cada \(Z^{(n_k)}\) es adaptado a la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}\) y la convergencia al proceso \(Z\) es uniforme casi seguramente, la adaptabilidad se preserva bajo convergencia puntual (y en particular, bajo convergencia uniforme). Por lo tanto, el proceso límite \(Z\) es adaptado a \((\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}\).

Analicemos ahora la unicidad de dicha solución en el caso general. Supongamos que \(Z'=(Z'(t))_{t\geq 0}\) es otra solución fuerte de la Ecuación 4.1 con la misma condición inicial \(Z_0\).

Para cada \(M\in \mathbb{N}\), consideremos al conjunto \(\Omega_M= \{\omega \in \Omega : |Z_0(\omega)| \leq M\}\) y la condición inicial truncada \(Z_0^{(M)}=Z_0\cdot 1_{\Omega_M}\). Sabemos que la ecuación con condición inicial \(Z_0^{(M)}\) posee una única solución fuerte, a la que denotamos por \(Z^{M}\).

Definimos un nuevo proceso estocástico \(Z_M''=(Z_M''(t))_{t\geq 0}\) de la siguiente forma

\[ Z''_M(t)(\omega) = \begin{cases} Z'(t)(\omega), & \omega\in A, \\ Z^{M}(t)(\omega) & \omega\notin A. \end{cases} \]

Dado que \(\Omega_M \in \mathcal{F}_0\), el proceso \(Z''_M\) es adaptado a la filtración \((\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}\). Además, como es la combinación de dos procesos con trayectorias cádlàg sobre conjuntos disjuntos, \(Z''_M\) también posee trayectorias cádlàg.

Evaluando en \(t=0\), notamos que para \(\omega \in \Omega_M\), se cumple \(Z''_M(0)(\omega) = Z'(0)(\omega) = Z_0(\omega) = Z_0^{(M)}(\omega)\). Por otro lado, para \(\omega \notin \Omega_M\), tenemos \(Z''_M(0)(\omega) = Z^{(M)}(0)(\omega) = Z_0^{(M)}(\omega)\). En ambos casos, \(Z''_M(0) = Z_0^{(M)}\) casi seguramente.

Por lo tanto, \(Z''_M\) es una solución fuerte de la Ecuación 4.1 con condición inicial \(Z_0^{(M)}\). Dado que \(\mathbb{E}[|Z_0^{(M)}|^2] \leq M^2 < \infty\), podemos aplicar el resultado de unicidad por trayectorias demostrado previamente para el caso de segundo momento finito. Esto implica que: \[ Z''_M(t) = Z^{(M)}(t) \quad \text{para todo } t \geq 0, \text{ casi seguramente.} \]

En particular, restringiendo al conjunto \(\Omega_M\), obtenemos que \(Z'(t) = Z^{(M)}(t)\) para todo \(t \geq 0\), casi seguramente en \(\Omega_M\).

Dado que este resultado es válido para todo \(M \in \mathbb{N}\), y sabemos que \(\mathbb{P}\left(\bigcup_{M=1}^\infty \Omega_M\right) = \mathbb{P}(|Z_0| < \infty) = 1\), concluimos que: \[ \mathbb{P}\big(Z'(t) = Z(t) \text{ para todo } t \geq 0\big) = 1. \]

Por lo que queda demostrado la unicidad de la solución fuerte en el caso general.

Applebaum, David. 2009. Lévy Processes and Stochastic Calculus. 2.ª ed. Vol. 116. Cambridge Studies en Advanced Mathematics. Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9780511809781.