5  Estabilidad media cuadrática

Consideremos la ecuación diferencial estocástica con saltos

\[ dX(t)=aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)dN(t),\qquad t\geq 0, \tag{5.1}\]

con condición inicial \(X(0)=X_0\), donde \(a,b,c\in \mathbb{R}\) son constantes, \(W(t)\) es un movimiento browniano estándar y \(N(t)\) es un proceso de Poisson con intensidad \(\lambda >0\), definido sobre un espacio de probabilidad filtrado \((\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}, \mathbb{P})\).

Nuestro objetivo es presentar el proceso de deducción de la solución explícita de la Ecuación 5.1. La herramienta que usaremos para el análisis de la ecuación diferencial estocástica con saltos será el lema de Itô para procesos de difusión con saltos. Con esto, consideremos un proceso estocástico \(\{Y(t)\}_{t\geq 0}\) de la forma

\[ dY(t)=\mu(t)dt+\sigma(t)dW(t)+\gamma(t)dN(t), \]

donde \(\mu(t), \sigma(t), \gamma(t)\) son procesos adaptados, \(W(t)\) es un movimiento browniano y \(N(t)\) es un proceso de Poisson. Para una función \(f\in C^2\{\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^{+}\}\) el diferencial estocástico de \(f(t,Y(t))\) está dado por

\[ \begin{aligned} df(t,Y(t)) & = \frac{\partial f}{\partial t}(t,Y(t-))dt \\ & \qquad +\frac{\partial f}{\partial y}(t,Y(t-))[\mu(t)dt+\sigma(t)dW(t)]\\ & \qquad + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(t,Y(t-))\sigma(t)^2dt\\ & \qquad +[f(t,Y(t-)+\gamma(t))-f(t,Y(t-))]dN(t). \end{aligned} \]

Notemos que el último término representa el cambio finito en \(f\) cuando ocurre un salto de tamaño \(\gamma(t)\) en \(Y\).

Para nuestro caso, para facilitar el tratamiento de los saltos, vamos a introducir el proceso de Poisson compensado definido por

\[ \widetilde{N}(t):=N(t)-\lambda t,\qquad t\geq 0. \]

Sabemos que este preceso es una martingala con esperanza \(\mathbb{E}[\widetilde{N}(t)]=0\), varianza \(\mathbb{E}[|\widetilde{N}(t)|^2]=\lambda t\), además los incrementos en dicho proceso son independientes.

La ecuación que queremos resolver es lineal en el estado \(X(t-)\), lo que sugiere que la solución pueda tener una estructura de tipo exponencial. Notemos que en el caso sin saltos, es decir, cuando \(c=0\), la ecuación se reduce al movimiento browniano geométrico

\[ dx(t)=aX(t)dt+bX(t)dW(t), \]

cuya solución es conocida por

\[ X(t)=X_0\exp\Bigg[\left(a-\frac{1}{2}b^2\right)t+bW(t)\Bigg]. \]

Para nuestro caso, el término \(cX(t-)dN(t)\) induce que la solución debe incorporar un factor multiplicativo que refleje la acumulación de los saltos. Por la estructura lineal, buscaremos una solución de la forma

\[ X(t)=X_0e^{Y(t)}, \]

donde \(Y(t)\) será un proceso que posea un término lineal en \(t\), un término con \(W(t)\) para el ruido browniano y \(N(t)\) para los saltos. Por lo que, proponemos que tendrá la siguiente estructura

\[ Y(t)=\alpha t +\beta W(t)+\gamma N(t), \tag{5.2}\]

aquí \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) serán constantes que deberemos determinar para que se cumple la Ecuación 5.1.

Tomando a

• \(\mu(t)=\alpha\).
• \(\sigma(t)=\beta\).
• \(\gamma(t)=\gamma\) el cuál es el tamaño del salto.
• Además, para usar el \(f(y)=e^y\), por lo que \(f'(y)=f''(y)=e^y=X\).

Así aplicando el Lema de Itô(Falta referencia cruzada), tenemos

\[ \begin{aligned} dX(t) & = X(t-)(\alpha dt+\beta W(t))+\frac{1}{2}X(t-)\beta^2dt\\ & \qquad + \Bigg[e^{Y(t-)+\gamma}-e^{Y(t-)}\Bigg]dN(t). \end{aligned} \]

Observemos que, por la función \(f(y)\), ya definida anteriormente, podemos afirmar que \(e^{Y(t-)}=X(t-)\), por lo que el término de salto pasa a ser de la forma

\[ e^{Y(t-)+\gamma}-e^{Y(t-)} = e^{Y(t-)}(e^{\gamma}-1)=X(t-)(e^{\gamma}-1) \]

Factorizando los términos en común, podemos obtener

\[ dX(t)=X(t-)\Bigg[\left(\alpha+\frac{1}{2}\beta^2\right)dt +\beta W(t)+(e^{\gamma}-1)dN(t)\Bigg]. \]

La ecuación que debe satisfacer \(X(t)\) es

\[ dX(t)=X(t-)[adt+bW(t)cN(t)]. \]

Comparando e igualando los factores de cada ecuación tenemos que para \(dW(t)\), \(\beta=b\). Luego para \(N(t)\), se tiene \(e^{\gamma}-1=c\), es decir, \(e^{\gamma}=c+1\), esto implica que \(\gamma =\ln(1+c)\). Por último, para el término \(dt\), considerando el valor de \(\beta=b\) tenemos

\[ \alpha+\frac{1}{2}\beta^2=\alpha +\frac{1}{2}b^2=a, \]

por lo tanto

\[ \alpha = a-\frac{1}{2}b^2. \]

Sustituyendo estos valores en nuestra propuesta de la solución en Ecuación 5.2

\[ Y(t)=\left(a-\frac{1}{2}b^2\right)t+bW(t)+\ln(1+c)N(t). \]

Cómo \(X(t)=X_0e^{Y(t)}\), entonces

\[ X(t)=X_0\exp\Bigg[\left(a-\frac{1}{2}b^2\right)t+bW(t)+\ln(1+c)N(t)\Bigg]. \]

Por las propiedades del logaritmo, tenemos

\[ X(t)=X_0\exp\Bigg[\left(a-\frac{1}{2}b^2\right)t+bW(t)\Bigg](1+c)^{N(t)}. \tag{5.3}\]

Proposición 5.1 Consideremos la Ecuación 5.1 ya definida anteriormente sobre un espacio de probabilidad \((\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}, \mathbb{P})\). Definimos el parámetro

\[ l:=2a+b^2 +\lambda c(2+c). \]

Entonces, la solución continua de la ecuación dada por Ecuación 5.3 es estable en media cuadratica, es decir

\[ \lim\limits_{t\rightarrow\infty} \mathbb{E}[|X(t)|^2]=0, \]

si y solo si \(l<0\).

Demostración. A partir de la solución explicita de la ecuación Ecuación 5.1, notemos que

\[ \begin{aligned} |X(t)|^2 & = \Bigg|X_0\exp\Bigg(\Bigg(a-\frac{b^2}{2}\Bigg)t+bW(t)\Bigg)(1+c)^{N(t)}\Bigg|^2\\ & = |X_0|^2\cdot \left|\exp\left(\left(a-\frac{b^2}{2}\right)t+bW(t)\right)\right|^2\cdot\left((1+c)^{N(t)}\right)^2\\ & = |X_0|^2\cdot\left|\exp\left((2a-b^2)t+2W(t)\right)\right|\cdot (1+c)^{2N(t)}. \end{aligned} \]

Dado que \(X_0\) es la condición inicial determinita, es decir , no es una variable aleatoria, entonces obteniendo el valor esperado del segundo momento del proceso, tenemos

\[ \mathbb{E}[|X(t)|^2] = |X_0|^2\mathbb{E}\left[|\exp\left((2a-b^2)t+2W(t)\right)|\right]\mathbb{E}[(1+c)^{2N(t)}]. \tag{5.4}\]

Para el término browniano, recordemos que \(W(t)\sim \mathcal{N}(0,t)\), se cumple tambien \(\mathbb{E}[e^{\mu Z}]=e^{\frac{1}{2}\mu^2\sigma^2}\) esto para una variable \(Z\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)\), por tanto, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[|\exp\left((2a-b^2)t+2W(t)\right)|\right] & = \mathbb{E}[\exp[(2a-b^2)t]]\cdot \mathbb{E}[2W(t)]\\ & = \exp((2a-b^2)t)\cdot \exp \left(\frac{1}{2}(2b)^2 t\right)\\ & = \exp(2at-b^2t+2b^2t)\\ & = \exp((2a+b^2)t). \end{aligned} \]

Por otro lado, para el término de Poisson, debemos recordar que la función generadora de momentos de \(N(t)\) esta dada por

\[ \mathbb{E}[e^{uN(t)}]=\exp(\lambda t(e^u-1)). \]

Tomando a \(u=ln(1+c)\), tenemos

\[ \mathbb{E}\left[(1+c)^{2N(t)}\right] = \exp\left(\lambda t (e^{2\ln(1+c)}-1)\right)=\exp(\lambda t((1+c)^2)-1). \]

Desarrolando tenemos que \((1+c)^2-1=1+2c+c^2-1=c(2+c)\), por lo que al sustituir tenemos

\[ \mathbb{E}\left[(1+c)^{2N(t)}\right] = \exp(\lambda c(2+c)t). \]

Finalmente de la Ecuación 5.4 tenemos que

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|X(t)|^2] & = X_0^2\cdot e^{(2a+b^2)t}\cdot e^{\lambda c(2+c)t}\\ & = X_0^2\cdot e^{(2a+b^2+\lambda c(2+c))t}, \quad \text{con }l=2a+b^2+\lambda c(2+c),\\ & = X_0^2\cdot e^{lt}. \end{aligned} \]

De aquí podemos afirmar que el segundo momento del proceso \(X(t)\) crece de manera exponencial con una tasa \(l\). Por lo que si \(l=0\), el segundo momento es constante e igual a \(X_0^2\). Al tomar el límite cuando \(l>0\), es claro que dicho límite es infinito y por tanto el sistema es inestable. Finalmente cuando \(l<0\), notemos que

\[ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\mathbb{E}[|X(t)|^2]= \lim\limits_{t\rightarrow \infty}X_0^2\cdot e^{lt}= 0 \]

Por lo que el sistema es estable si y solo si \(l<0\).

Teorema 5.1 Consideremos la ecuación diferencial estocástica lineal con saltos

\[ dX(t)=aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)dN(t), \ \ \ t\geq 0, \tag{5.5}\]

donde \(a,b,c\in \mathbb{R}\) son constantes, \(W(t)\) es un movimiento browiniano y \(N(t)\) es un proceso de Poisson con intensidad \(\lambda>0\). Definimos el siguiente parámetro de estabilidad

\[ l:= 2a+b^2+\lambda c(2+c), \]

y se sabe que la solución análitica es estable en media cuadrática, es decir

\[ \lim\limits_{t\rightarrow\infty} \mathbb{E}[|X(t)|^2]=0, \]

si y solo si \(l<0\).

Sea \(\Delta t>0\) un tamaño de paso fijo y \(\theta\in [0,1]\) el paramétro del método theta compensado estocástico (CSTM). Al aplicar dicho método a Ecuación 5.5, si \(\displaystyle \frac{1}{2}\leq \theta\leq 1\), entonces el método es estable en media cuadrática, es decir, para todo \(\Delta t>0\) se cumple que las aproximaciones numéricas heredan la estabilidad de la solución análitica siempre que \(l<0\).

Si \(\displaystyle 0\leq \theta<\frac{1}{2}\), el método es estable en media cuadrática si y solo si el tamaño del paso satisface

\[ \Delta t<\frac{-l}{(1-2\theta)(a+\lambda c)^2}. \]

Demostración. Cómo primer paso, comenzaremos aplicando el método theta compensado estocástico a la Ecuación 5.5, con condición inicial \(X(0)=X_0\). Para aplicar dicho método (CSTM) definimos el proceso de Poisson compensado de la forma \(\widetilde{N}(t):=N(t)-\lambda t\), el cuál es una martingala y satiisface \(\mathbb{E}[\widetilde{N}(t)]=0\) y \(\mathbb{E}[|\widetilde{N}(t)|^2]=\lambda t\). Por lo tanto, esto nos permite reescribir la Ecuación 5.5 de la forma equivalente

\[ \begin{aligned} dX(t) & = aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)dN(t)\\ & = aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)d(\widetilde{N}(t)+\lambda t)\\ & = aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)d\widetilde{N}(t)+ \lambda cX(t-)dt\\ & = (a+\lambda c)X(t)dt +bX(t-)dW(t)+cX(t-)d\widetilde{N}(t). \end{aligned} \tag{5.6}\]

Para un tamaño de paso constante \(\Delta t>0\), definimos la malla \(t_n=n\Delta t\) con \(n\in \mathbb{N}\). El método (CSTM) aplicado a la Ecuación 5.6 genera un sucesión de aproximaciones \(Y_n\approx X(t_n)\) mediante la ecuación de diferencias implícita dada por

\[ \begin{aligned} Y_{n+1}= & Y_n+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)Y_n \\ & \qquad +\theta \Delta t(a+\lambda c)Y_{n+1}+bY_n\Delta W_n+cY_n\Delta \widetilde{N}_n, \end{aligned} \tag{5.7}\]

donde \(\theta\in [0,1]\) es un parámetro del método, los incrementos estocásticos se definen de la forma

\[ \begin{aligned} \Delta W_n : & = W(t_{n+1})-W(t_n) \\ \Delta \widetilde{N}_n : & = \widetilde{N}(t_{n+1})-\widetilde{N}(t_n). \end{aligned} \]

Notemos que, dichos incrementos son independientes entre sí, además satifacen que \(\mathbb{E}[\Delta W_n]=\mathbb{E}[\Delta\widetilde{N}_n]=0\), \(\mathbb{E}[|\Delta W_n|^2]=\Delta t\) y \(\mathbb{E}[|\Delta \widetilde{N}_n|^2]=\lambda \Delta t\).

Reorganizando la Ecuación 5.7 de tal forma que podamos expresar de forma explícita el término \(Y_{n+1}\) en términos de \(Y_n\), obtenemos

\[ \begin{aligned} Y_{n+1}-\theta \Delta t(a+\lambda c)Y_{n+1} & = Y_n +(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)Y_n\\ & \qquad\quad+bY_n\Delta W_n+cY_n\Delta \widetilde{N}_n. \end{aligned} \]

De aquí, factorizando el término \(Y_{n+1}\) del lado izquierdo y el término \(Y_n\) del lado derecho

\[ \begin{aligned} (1-\theta\Delta t(a+\lambda c))Y_{n+1} & = Y_n +(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)Y_n\\ & \qquad\quad +bY_n\Delta W_n+cY_n\Delta \widetilde{N}_n\\ & = [1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)+b\Delta W_n+c\Delta\widetilde{N}_n]Y_n. \end{aligned} \tag{5.8}\]

Dado que por hipótesis sabemos que \(l=2a+b^2+\lambda c(2+c)<0\), podemos notar

\[ \begin{aligned} 2a+b^2+\lambda c(2+c) & =2a+2\lambda c+b^2+\lambda c^2\\ & =2(a+\lambda c)+b^2+\lambda c^2<0, \end{aligned} \]

es claro que \(b^2+\lambda c^2>0\), esto implica que \((a+\lambda c)<0\). Con esto, podemos afirmar que para \(\Delta t\) lo suficientemente pequeño, el término \(1-\theta\Delta t(a+\lambda c)\) no se anula y es positivo.

Por otro lado, veamos la esperanza del segundo momento de Ecuación 5.8. Elevando al cuadrado y obteniendo el valor esperado, tenemos

\[ \begin{aligned} (1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2\mathbb{E}[|Y_{n+1}|^2] & = \mathbb{E}\Bigg[\Bigg|1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)\\ & \qquad\quad+b\Delta W_n+c\Delta \widetilde{N}_n\Bigg|^2\Bigg]\mathbb{E}[|Y_n|^2]. \end{aligned} \tag{5.9}\]

Vamos a desarrollar la esperanza del término estocástico. Para faciliatr el proceso, definimos la siguiente notación

\[ \begin{aligned} A & := 1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)\\ B & := b\Delta W_n\\ C & := c\Delta \widetilde{N}_n. \end{aligned} \]

Notemos que \(A\) es una constante determinista, mientras que \(B\) y \(C\) son variables aleatorias. Por tanto, aplicando la linealidad de la esperanza, el término estocástico de la Ecuación 5.9 queda de la forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|A+B+C|^2] & = \mathbb{E}[A^2+B^2+C^2\\ & \qquad +2AB+2AC+2BC]\\ & = \mathbb{E}[A^2]+\mathbb{E}[B^2]+\mathbb{E}[C^2]\\ & \qquad +\mathbb{E}[2AB]+\mathbb{E}[2AC]+\mathbb{E}[2BC]. \end{aligned} \tag{5.10}\]

Utilizando las propiedades de los incrementos independientes, podemos afirmar que \(\mathbb{E}[B]=b\mathbb{E}[\Delta W_n]=0\) y \(\mathbb{E}[C]=c\mathbb{E}[\Delta \widetilde{N}_n]=0\). Además, \(\mathbb{E}[2AB]=2Ab\mathbb{E}[\Delta W_n]=0\) y \(\mathbb{E}[2AC]=2Ac\mathbb{E}[\Delta\widetilde{N}_n]=0\). Luego, por la independiencia entre el movimiento browniano y el proceso de Poisson compensado, se cumple \(\mathbb{E}[BC]=bc\mathbb{E}[\Delta W_n\Delta\widetilde{N}_n]=bc\mathbb{E}[\Delta W_n]\mathbb{E}[\Delta\widetilde{N}_n]=0\).

Por otro lado, \(\mathbb{E}[B^2]=b^2\mathbb{E}[(W_n)^2]=b^2\Delta t\) y \(\mathbb{E}[C^2]=c^2\mathbb{E}[(\widetilde{N}_n)^2]=c^2\lambda\Delta t\). Por lo tanto, de la Ecuación 5.10 tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|A+B+C|^2] & = A^2+b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t\\ & = (1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c))^2 \\ & \qquad +b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t. \end{aligned} \]

Sustituyendo esto en Ecuación 5.9 tenemos

\[ \begin{aligned} (1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2\mathbb{E}[|Y_{n+1}|^2] & = \Bigg[(1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c))^2 \\ & \qquad + b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t\Bigg]\mathbb{E}[|Y_n|^2]. \end{aligned} \tag{5.11}\]

Notemos que la Ecuación 5.11 describe el cambio del segundo momento de la solución numérica. Ahora bien, para que el método sea estable en media cuadrática, es necesario que la sucesión \(\mathbb{E}[|Y_n|^2]\) sea decreciente y tienda a cero cuando \(n\) tiende a infinito. Esto ocurre si y solo si

\[ \frac{(1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c))^2+b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t}{(1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2}<1 \tag{5.12}\]

Recordemos que anteriormente ya se mencionó que el término \(1-\theta\Delta t(a+\lambda c)\) es no nulo y positivo, por lo que es posible multiplicar la Ecuación 5.12 por el denominador y seguir conservando la desigualdad, es decir

\[ (1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c))^2+b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t<(1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2 \tag{5.13}\]

Para facilitar la notación, definimos la variable \(K:=a+\lambda c\). Además, expandiendo la expresión del lado derecho de la desigualdad de la forma

\[ \begin{aligned} (1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2 & =(1-\theta\Delta tK)^2\\ & = 1-2\theta\Delta t k+\theta^2\Delta t^2K^2. \end{aligned} \]

De igual forma, al extender el término al cuadrado del lado izquierdo de la Ecuación 5.13

\[ \begin{aligned} (1+(1-\theta)\Delta t (a+\lambda c))^2 & = (1+(1-\theta)\Delta t K)^2\\ & = 1+2(1-\theta)\Delta t K+(1-\theta)^2\Delta t^2 K^2. \end{aligned} \]

De esta manera, ordenando los términos, la Ecuación 5.13 se expresa como se sigue

\[ \begin{aligned} 1 & +2(1-\theta)\Delta t K +b^2\Delta t \\ & \qquad +\lambda c^2\Delta t+(1-\theta)^2\Delta t^2 K^2<1-2\theta\Delta t K+\theta^2\Delta t^2 K^2. \end{aligned} \tag{5.14}\]

Restando el término \(1\) en ambos lados de la desigualdad, además reordenando adecuadamente y agrupando los términos con factores \(\Delta t\) y \(\Delta t^2\), tenemos

\[ \begin{aligned} & -2\theta K\Delta t -2(1-\theta)K\Delta t-b^2\Delta t \\ & \qquad\quad-\lambda c^2\Delta t+\theta^2 K^2\Delta t^2-(1-\theta)^2 K^2\Delta t^2>0\\ & (-2\theta K-2(1-\theta)K-b^2-\lambda c^2)\Delta t\\ & \qquad\quad+ (\theta^2-(1-\theta)^2)K^2\Delta t^2>0\\ & (-2\theta K-2K+2\theta K-b^2-\lambda c^2)\Delta t \\ & \qquad\quad+(\theta^2-(1-2\theta+\theta^2))K^2\Delta t^2>0\\ &(-2K-b^2-\lambda c^2)\Delta t +(2\theta-1)K^2\Delta t^2>0\\ & (2\theta-1)\Delta t^2 K^2-(2K+b^2+\lambda c^2)\Delta t>0. \end{aligned} \tag{5.15}\]

Del parámetro de establilidad \(l\), notemos

\[ \begin{aligned} l & = 2a+b^2+\lambda c(2+c) \\ & = 2a+b^2+2\lambda c+\lambda c^2\\ & = 2a+2\lambda c+b^2+\lambda c^2\\ & = 2(a+\lambda c)+b^2+\lambda c^2\\ & = 2K +b^2+\lambda c^2. \end{aligned} \]

Por lo tanto, sustituyendo \(l\) en Ecuación 5.14 se tiene

\[ (2\theta-1)\Delta t^2 K^2-l\Delta t>0 \]

Dado que \(\Delta t>0\), es posible factorizar un término de la forma

\[ \Delta t[(2\theta-1)\Delta t K^2-l]>0, \]

más aún

\[ (2\theta-1)\Delta t K^2-l>0. \]

Despejando de tal forma que podamos expresar la desigualdad anterior en términos de \(-l\) tenemos

\[ -l >-(2\theta-1)(a+\lambda c)^2\Delta t= (1-2\theta)(a+\lambda c)^2\Delta t \tag{5.16}\]

Cuando \(\displaystyle\theta=\frac{1}{2}\), esto implica \(1-2\theta=0\), así

\[ 0= (1-2\theta)(a+\lambda c)^2\Delta t<-l \]

Por hipótesis \(l<0\), de aqui \(0<-l\). Por lo tanto, el método es estable cuando \(\displaystyle\theta=\frac{1}{2}\).

Luego, cuando \(\displaystyle \frac{1}{2}<\theta\leq 1\), esto implica que \(1-2\theta<0\). Para este caso \((1-2\theta)(a+\lambda c)^2\Delta t<0\), de igual forma \(-l>0\), entonces

\[ (1-2\theta)(a+\lambda c)^2\Delta t<0<-l, \]

en consecuencia, el método sigue siendo estable bajo las condiciones de la solución análitica.

Por último, para el caso \(\displaystyle 0\leq \theta<\frac{1}{2}\), esto implica, \((1-2\theta)(a+\lambda c)^2>0\), por lo que la Ecuación 5.16 se cumple si y solo si

\[ \Delta t <\frac{-l}{(1-2\theta)(a+\lambda c)^2}. \]