5 Estabilidad media cuadrática del Método CSTM

Habiendo establecido en la Capítulo 4 el andamiaje teórico que garantiza la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones para ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) generales con saltos, resulta natural preguntarse no solo si el modelo está bien planteado, sino también cómo se comportan sus soluciones a largo plazo y cómo pueden aproximarse numéricamente. Para abordar estas cuestiones de manera rigurosa y gradual, en este capítulo nos centraremos en el análisis de una ecuación diferencial estocástica lineal con saltos, que servirá como problema de prueba para estudiar la estabilidad de los métodos numéricos y su capacidad para reproducir el comportamiento de la solución exacta.

Dicha ecuación se expresa mediante el siguiente sistema lineal:

\[ dX(t) = aX(t-)dt + bX(t-)dW(t) + cX(t-)dN(t), \qquad t \geq 0, \tag{5.1}\]

con condición inicial \(X(0) = X_0\), donde \(a, b, c \in \mathbb{R}\) son constantes, \(W(t)\) es un movimiento browniano estándar y \(N(t)\) es un proceso de Poisson con intensidad \(\lambda > 0\), definido sobre un espacio de probabilidad filtrado \((\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, \mathbb{P})\).

A lo largo de este capítulo, deduciremos la solución explícita de este sistema utilizando la fórmula de Itô para procesos de difusión con saltos. Posteriormente, analizaremos su \(\textbf{estabilidad media cuadrática}\), determinando la condición exacta bajo la cual la solución analítica decae asintóticamente a cero. Finalmente, introduciremos un esquema numérico básico, el método Theta Compensado Estocástico (CSTM), demostrando bajo qué condiciones las aproximaciones discretas logran heredar la estabilidad del sistema continuo. Este análisis lineal servirá como el cimiento metodológico para la Capítulo 6, donde enfrentaremos el caso no lineal con crecimiento polinomial mediante el método \(\text{CSS}\theta\).

5.1 Solución explícita y estabilidad del sistema continuo

Nuestro objetivo es presentar el proceso de deducción de la solución explícita de la Ecuación 5.1. La herramienta que usaremos para el análisis de la ecuación diferencial estocástica con saltos será el Lema de Itô para procesos de difusión con saltos. Con esto, consideremos un proceso estocástico \(\{Y(t)\}_{t \geq 0}\) de la forma

\[ dY(t) = \mu(t)dt + \sigma(t)dW(t) + \gamma(t)dN(t), \]

donde \(\mu(t), \sigma(t), \gamma(t)\) son procesos adaptados, \(W(t)\) es un movimiento browniano y \(N(t)\) es un proceso de Poisson. Para una función \(f \in C^2(\mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R})\), el diferencial estocástico de \(f(t, Y(t))\) está dado por

\[ \begin{aligned} df(t, Y(t)) &= \frac{\partial f}{\partial t}(t, Y(t-))dt \\ &\quad + \frac{\partial f}{\partial y}(t, Y(t-))[\mu(t)dt + \sigma(t)dW(t)] \\ &\quad + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(t, Y(t-))\sigma(t)^2 dt \\ &\quad + [f(t, Y(t-) + \gamma(t)) - f(t, Y(t-))]dN(t). \end{aligned} \]

Notemos que el último término representa el cambio finito en \(f\) cuando ocurre un salto de tamaño \(\gamma(t)\) en \(Y\).

Para nuestro caso, y para facilitar el tratamiento de los saltos, vamos a introducir el proceso de Poisson compensado definido por

\[ \widetilde{N}(t) := N(t) - \lambda t, \qquad t \geq 0. \]

Sabemos que este proceso es una martingala con esperanza \(\mathbb{E}[\widetilde{N}(t)] = 0\), varianza \(\mathbb{E}[|\widetilde{N}(t)|^2] = \lambda t\), además los incrementos en dicho proceso son independientes.

La ecuación que queremos resolver es lineal en el estado \(X(t-)\), lo que sugiere que la solución pueda tener una estructura de tipo exponencial. Notemos que en el caso sin saltos, es decir, cuando \(c = 0\), la ecuación se reduce al movimiento browniano geométrico

\[ dX(t) = aX(t)dt + bX(t)dW(t), \]

cuya solución es conocida por

\[ X(t) = X_0 \exp\left[\left(a - \frac{1}{2}b^2\right)t + bW(t)\right]. \]

Para nuestro caso, el término \(cX(t-)dN(t)\) induce que la solución debe incorporar un factor multiplicativo que refleje la acumulación de los saltos. Por la estructura lineal, buscaremos una solución de la forma \[ X(t) = X_0 e^{Y(t)}, \]

donde \(Y(t)\) será un proceso que posea un término lineal en \(t\), un término con \(W(t)\) para el ruido browniano y \(N(t)\) para los saltos. Por lo que, proponemos que tendrá la siguiente estructura

\[ Y(t) = \alpha t + \beta W(t) + \gamma N(t), \tag{5.2}\]

aquí \(\alpha, \beta, \gamma\) serán constantes que deberemos determinar para que se cumpla la Ecuación 5.1.

Tomando a \(\mu(t) = \alpha\), \(\sigma(t) = \beta\), \(\gamma(t) = \gamma\) (el cual es el tamaño del salto), y además, para usar la función \(f(y) = e^y\), por lo que \(f'(y) = f''(y) = e^y = X\).

Así, aplicando el Teorema 3.14, tenemos

\[ \begin{aligned} dX(t) &= X(t-)(\alpha dt + \beta dW(t)) + \frac{1}{2}X(t-)\beta^2 dt \\ &\quad + \left[e^{Y(t-) + \gamma} - e^{Y(t-)}\right]dN(t). \end{aligned} \]

Observemos que, por la función \(f(y)\) ya definida anteriormente, podemos afirmar que \(e^{Y(t-)} = X(t-)\), por lo que el término de salto pasa a ser de la forma \[ e^{Y(t-) + \gamma} - e^{Y(t-)} = e^{Y(t-)}(e^{\gamma} - 1) = X(t-)(e^{\gamma} - 1). \]

Factorizando los términos en común, podemos obtener \[ dX(t) = X(t-)\left[\left(\alpha + \frac{1}{2}\beta^2\right)dt + \beta dW(t) + (e^{\gamma} - 1)dN(t)\right]. \]

La ecuación que debe satisfacer \(X(t)\) es \[ dX(t) = X(t-)[adt + bdW(t) + cdN(t)]. \]

Comparando e igualando los factores de cada ecuación, tenemos que:

Para \(dW(t)\): \(\beta = b\).
Para \(dN(t)\): \(e^{\gamma} - 1 = c\), es decir, \(e^{\gamma} = c + 1\), esto implica que \(\gamma = \ln(1 + c)\).
Para el término \(dt\), considerando el valor de \(\beta = b\), tenemos

\[ \alpha + \frac{1}{2}\beta^2 = \alpha + \frac{1}{2}b^2 = a, \]

por lo tanto

\[ \alpha = a - \frac{1}{2}b^2. \]

Sustituyendo estos valores en nuestra propuesta de la solución en la Ecuación 5.2 \[ Y(t) = \left(a - \frac{1}{2}b^2\right)t + bW(t) + \ln(1 + c)N(t). \]

Cómo \(X(t) = X_0 e^{Y(t)}\), entonces

\[ X(t) = X_0 \exp\left[\left(a - \frac{1}{2}b^2\right)t + bW(t) + \ln(1 + c)N(t)\right]. \]

Por las propiedades del logaritmo, tenemos la solución explícita:

\[ X(t) = X_0 \exp\left[\left(a - \frac{1}{2}b^2\right)t + bW(t)\right](1 + c)^{N(t)}. \tag{5.3}\]

Habiendo obtenido la expresión explícita para la solución de la Ecuación 5.1, el siguiente paso será investigar su comportamiento asintótico. En el contexto de los sistemas estocásticos, la estabilidad no se estudia trayectoria por trayectoria, sino a través de los momentos del proceso. En esta sección, analizaremos el segundo momento de la solución exacta, \(\mathbb{E}[|X(t)|^2]\), para determinar bajo qué condiciones sobre los parámetros del sistema (\(a, b, c, \lambda\)) la energía del proceso decae asintóticamente a cero.

Proposición 5.1 (Condición de estabilidad media cuadrática de la solución exacta) Consideremos la Ecuación 5.1 ya definida anteriormente sobre un espacio de probabilidad \((\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, \mathbb{P})\). Definimos el parámetro

\[ l:=2a+b^2 +\lambda c(2+c). \]

Entonces, la Ecuación 5.3 es estable en media cuadratica, es decir,

\[ \lim\limits_{t\rightarrow\infty} \mathbb{E}[|X(t)|^2]=0, \]

si y solo si \(l<0\).

Demostración. A partir de la solución explicita de la Ecuación 5.1, notemos que el proceso está dado por

\[ \begin{aligned} |X(t)|^2 & = \Bigg|X_0\exp\Bigg(\Bigg(a-\frac{b^2}{2}\Bigg)t+bW(t)\Bigg)(1+c)^{N(t)}\Bigg|^2\\ & = |X_0|^2\cdot \left|\exp\left(\left(a-\frac{b^2}{2}\right)t+bW(t)\right)\right|^2\cdot\left((1+c)^{N(t)}\right)^2\\ & = |X_0|^2\cdot\left|\exp\left((2a-b^2)t+2bW(t)\right)\right|\cdot (1+c)^{2N(t)}. \end{aligned} \]

Dado que \(X_0\) es la condición inicial determinita (es decir , no es una variable aleatoria), y aprovechando la independencia entre el movimiento browniano \(W(t)\) y el proceso de Poisson \(N(t)\), al obtener el valor esperado del segundo momento tenemos

\[ \mathbb{E}[|X(t)|^2] = |X_0|^2\mathbb{E}\left[|\exp\left((2a-b^2)t+2bW(t)\right)|\right]\mathbb{E}[(1+c)^{2N(t)}]. \tag{5.4}\]

Para el término browniano, recordemos que \(W(t)\sim \mathcal{N}(0,t)\). Utilizando la función generadora de momentos de una variable normal \(Z\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)\), dada por \(\mathbb{E}[e^{\mu Z}]=e^{\frac{1}{2}\mu^2\sigma^2}\) y factorizando la parte determinista, obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\left[\exp\left((2a-b^2)t + 2bW(t)\right)\right] & = \exp((2a-b^2)t) \cdot \mathbb{E}[\exp(2bW(t))] \\ & = \exp((2a-b^2)t) \cdot \exp\left(\frac{1}{2}(2b)^2 t\right) \\ & = \exp(2at - b^2t + 2b^2t) \\ & = \exp((2a+b^2)t). \end{aligned} \]

Por otro lado, para el término de Poisson, recordemos que la función generadora de momentos de \(N(t)\) esta dada por

\[ \mathbb{E}[e^{uN(t)}]=\exp(\lambda t(e^u-1)). \]

Tomando a \(u=2ln(1+c)\), tenemos

\[ \mathbb{E}\left[(1+c)^{2N(t)}\right] = \exp\left(\lambda t (e^{2\ln(1+c)}-1)\right)=\exp(\lambda t((1+c)^2)-1). \]

Desarrollando el término álgebraico, obtenemos \((1+c)^2-1=1+2c+c^2-1=c(2+c)\). Por lo que al sustituir tenemos

\[ \mathbb{E}\left[(1+c)^{2N(t)}\right] = \exp(\lambda c(2+c)t). \]

Finalmente, sustituyendo ambos resultados en la Ecuación 5.4 obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|X(t)|^2] & = X_0^2\cdot e^{(2a+b^2)t}\cdot e^{\lambda c(2+c)t}\\ & = X_0^2\cdot e^{(2a+b^2+\lambda c(2+c))t}\\ & = X_0^2\cdot e^{lt}, \end{aligned} \]

donde \(l:=2a+b^2+\lambda c(2+c).\)

De aquí podemos afirmar que el segundo momento del proceso \(X(t)\) crece o decae de manera exponencial con una tasa \(l\).

Si \(l=0\), el segundo momento es constante e igual a \(X_0^2\).
Si \(l>0\), al tomar el límite cuaando \(t\rightarrow\infty\), es claro que dicho límite es infinito y por tanto el sistema es inestable.
Si \(l<0\), notemos que

\[ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\mathbb{E}[|X(t)|^2]= \lim\limits_{t\rightarrow \infty}X_0^2\cdot e^{lt}= 0 \]

Por lo que el sistema es asistóticamente estable en media cuadrática si y solo si \(l<0\).

Habiendo establecido la estabilidad de la solución exacta en la sección anterior, es natural preguntarse si los esquemas numéricos pueden preservar esta propiedad. En esta sección, introducimos el método Theta Compensado Estocástico (CSTM) y demostramos bajo qué condiciones las aproximaciones discretas heredan la estabilidad media cuadrática de la solución analítica.

5.2 Estabilidad del método numérico CSTM

Para facilitar el manejo analítico del método, comenzamos reescribiendo la Ecuación 5.1 utilizando el proceso de Poisson compensado \(\widetilde{N}(t) = N(t) - \lambda t\). Dado que \(dN(t) = d\widetilde{N}(t) + \lambda dt\), la Ecuación 5.1 es equivalente a:

\[ dX(t) = (a + \lambda c)X(t-)dt + bX(t-)dW(t) + cX(t-)d\widetilde{N}(t), \quad t \geq 0. \tag{5.5}\]

Esta formulación compensada es la piedra angular del método CSTM, pues permite separar la componente determinista de la puramente martingala.

Fijemos un tamaño de paso constante \(\Delta t > 0\) y definamos la malla temporal \(t_n = n\Delta t\) para \(n \in \mathbb{N}\). Al aplicar el método Theta Compensado Estocástico a la Ecuación 5.5, generamos una sucesión de aproximaciones \(Y_n \approx X(t_n)\) mediante la siguiente ecuación de diferencias implícita:

\[ Y_{n+1} = Y_n + (1 - \theta)\Delta t(a + \lambda c)Y_n + \theta\Delta t(a + \lambda c)Y_{n+1} + bY_n\Delta W_n + cY_n\Delta \widetilde{N}_n, \tag{5.6}\]

donde \(\theta \in [0, 1]\) es el parámetro del método, y los incrementos estocásticos se definen como:

\(\Delta W_n := W(t_{n+1}) - W(t_n)\),
\(\Delta \widetilde{N}_n := \widetilde{N}(t_{n+1}) - \widetilde{N}(t_n)\).

Por las propiedades del movimiento browniano y del proceso de Poisson compensado, estos incrementos son mutuamente independientes, tienen esperanza nula (\(\mathbb{E}[\Delta W_n] = \mathbb{E}[\Delta \widetilde{N}_n] = 0\)) y sus segundos momentos están dados por \(\mathbb{E}[|\Delta W_n|^2] = \Delta t\) y \(\mathbb{E}[|\Delta \widetilde{N}_n|^2] = \lambda \Delta t\).

Reorganizando la Ecuación 5.6 para despejar el término implícito \(Y_{n+1}\), factorizamos en el lado izquierdo y en el derecho para obtener:

\[ (1 - \theta\Delta t(a + \lambda c))Y_{n+1} = \left[1 + (1 - \theta)\Delta t(a + \lambda c) + b\Delta W_n + c\Delta \widetilde{N}_n\right]Y_n. \tag{5.7}\]

Es crucial notar que, dado que la solución analítica es estable (es decir, \(l < 0\)), se cumple que \(2(a + \lambda c) + b^2 + \lambda c^2 < 0\). Como \(b^2 + \lambda c^2 > 0\), esto fuerza a que \((a + \lambda c) < 0\). En consecuencia, para cualquier \(\Delta t > 0\) y \(\theta \in [0, 1]\), el factor \((1 - \theta\Delta t(a + \lambda c))\) es estrictamente positivo y no nulo, garantizando que el esquema está bien definido.

Para analizar la estabilidad en media cuadrática, elevamos al cuadrado la Ecuación 5.7 y tomamos el valor esperado. Gracias a la independencia de los incrementos y a que sus esperanzas son cero, todos los términos cruzados se anulan. Utilizando \(\mathbb{E}[\Delta W_n^2] = \Delta t\) y \(\mathbb{E}[\Delta \widetilde{N}_n^2] = \lambda \Delta t\), obtenemos directamente la ecuación de recurrencia del segundo momento:

\[ (1 - \theta\Delta t(a + \lambda c))^2 \mathbb{E}[|Y_{n+1}|^2] = \left[ (1 + (1 - \theta)\Delta t(a + \lambda c))^2 + (b^2 + \lambda c^2)\Delta t \right] \mathbb{E}[|Y_n|^2]. \tag{5.8}\]

Para que el método sea estable en media cuadrática, la sucesión \(\mathbb{E}[|Y_n|^2]\) debe ser decreciente. Esto ocurre si y solo si el factor de amplificación es estrictamente menor que 1, lo que nos conduce al siguiente criterio de estabilidad:

\[ \frac{(1 + (1 - \theta)\Delta t(a + \lambda c))^2 + (b^2 + \lambda c^2)\Delta t}{(1 - \theta\Delta t(a + \lambda c))^2} < 1. \tag{5.9}\]

Con esta formulación, estamos en posición de enunciar y demostrar el resultado principal de esta sección.

Teorema 5.1 (Estabilidad media cuadrática del método CSTM) Consideremos la ecuación diferencial estocástica lineal con saltos

\[ dX(t)=aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)dN(t), \ \ \ t\geq 0, \tag{5.10}\]

donde \(a,b,c\in \mathbb{R}\) son constantes, \(W(t)\) es un movimiento browniano y \(N(t)\) es un proceso de Poisson con intensidad \(\lambda>0\). Definimos el siguiente parámetro de estabilidad de la solución analítica como

\[ l:= 2a+b^2+\lambda c(2+c). \]

Supongamos que la solución analítica es asintóticamente estable en media cuadrática, es decir,

\[ \lim\limits_{t\rightarrow\infty} \mathbb{E}[|X(t)|^2]=0, \]

lo cual, por la Proposición 5.1, ocurre si y solo si \(l<0\).

Sea \(\Delta t > 0\) un tamaño de paso fijo y \(\theta \in [0, 1]\) el parámetro del Método \(\theta\) Compensado Estocástico, por sus siglas en inglés, (CSTM). Al aplicar dicho método a la Ecuación 5.10, se tienen los siguientes resultados sobre la estabilidad en media cuadrática de las aproximaciones numéricas \(\{Y_n\}_{n \geq 0}\):

Si \(\displaystyle \frac{1}{2} \leq \theta \leq 1\), el método es A-estable en media cuadrática. Es decir, para todo \(\Delta t > 0\), las aproximaciones numéricas heredan la estabilidad de la solución analítica (\(\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[|Y_n|^2] = 0\)) siempre que \(l < 0\).
Si \(\displaystyle 0 \leq \theta < \frac{1}{2}\), el método es estable en media cuadrática si y solo si el tamaño del paso satisface la restricción \[ \Delta t < \frac{-l}{(1 - 2\theta)(a + \lambda c)^2}. \]

Demostración. Como primer paso, comenzaremos aplicando el método theta compensado estocástico (CSTM) a la Ecuación 5.10, con condición inicial \(X(0)=X_0\). Para aplicar dicho método, definimos el proceso de Poisson compensado como \(\widetilde{N}(t):=N(t)-\lambda t\), el cual es una martingala y satisface \(\mathbb{E}[\widetilde{N}(t)]=0\) y \(\mathbb{E}[|\widetilde{N}(t)|^2]=\lambda t\). Por lo tanto, esto nos permite reescribir la Ecuación 5.10 en su forma equivalente:

\[ \begin{aligned} dX(t) & = aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)dN(t)\\ & = aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)d(\widetilde{N}(t)+\lambda t)\\ & = aX(t-)dt+bX(t-)dW(t)+cX(t-)d\widetilde{N}(t)+ \lambda cX(t-)dt\\ & = (a+\lambda c)X(t-)dt +bX(t-)dW(t)+cX(t-)d\widetilde{N}(t). \end{aligned} \tag{5.11}\]

Para un tamaño de paso constante \(\Delta t>0\), definimos la malla \(t_n=n\Delta t\) con \(n\in \mathbb{N}\). El método (CSTM) aplicado a la Ecuación 5.11 genera una sucesión de aproximaciones \(Y_n\approx X(t_n)\) mediante la ecuación de diferencias implícita dada por

\[ \begin{aligned} Y_{n+1} &= Y_n+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)Y_n \\ &\quad +\theta \Delta t(a+\lambda c)Y_{n+1}+bY_n\Delta W_n+cY_n\Delta \widetilde{N}_n, \end{aligned} \tag{5.12}\]

donde \(\theta\in [0,1]\) es el parámetro del método. Los incrementos estocásticos se definen como

\[ \begin{aligned} \Delta W_n &:= W(t_{n+1})-W(t_n), \\ \Delta \widetilde{N}_n &:= \widetilde{N}(t_{n+1})-\widetilde{N}(t_n). \end{aligned} \]

Notemos que dichos incrementos son independientes entre sí y satisfacen que \(\mathbb{E}[\Delta W_n]=\mathbb{E}[\Delta\widetilde{N}_n]=0\), \(\mathbb{E}[|\Delta W_n|^2]=\Delta t\) y \(\mathbb{E}[|\Delta \widetilde{N}_n|^2]=\lambda \Delta t\).

Reorganizando la Ecuación 5.12 para despejar explícitamente el término \(Y_{n+1}\) en función de \(Y_n\), obtenemos

\[ \begin{aligned} Y_{n+1}-\theta \Delta t(a+\lambda c)Y_{n+1} &= Y_n +(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)Y_n \\ &\quad +bY_n\Delta W_n+cY_n\Delta \widetilde{N}_n. \end{aligned} \]

A continuación, factorizamos el término \(Y_{n+1}\) del lado izquierdo y el término \(Y_n\) del lado derecho:

\[ \begin{aligned} (1-\theta\Delta t(a+\lambda c))Y_{n+1} &= \Big[1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c)+b\Delta W_n+c\Delta\widetilde{N}_n\Big]Y_n. \end{aligned} \tag{5.13}\]

Dado que por hipótesis sabemos que el parámetro de estabilidad satisface \(l=2a+b^2+\lambda c(2+c)<0\), podemos reescribir esta expresión como

\[ \begin{aligned} 2a+b^2+\lambda c(2+c) & = 2a+2\lambda c+b^2+\lambda c^2 \\ & = 2(a+\lambda c)+b^2+\lambda c^2 < 0. \end{aligned} \]

Dado que \(b^2+\lambda c^2 \geq 0\), la única forma de que la suma sea estrictamente negativa es que \(2(a+\lambda c) < 0\), lo que implica que \((a+\lambda c) < 0\). Como \(\theta \in [0,1]\) y \(\Delta t > 0\), el producto \(\theta\Delta t(a+\lambda c)\) es negativo o cero. En consecuencia, el término \((1-\theta\Delta t(a+\lambda c))\) es estrictamente positivo (mayor o igual a 1) para cualquier tamaño de paso \(\Delta t > 0\). Esto garantiza que el denominador en el criterio de estabilidad no se anula.

Por otro lado, veamos la esperanza del segundo momento de la Ecuación 5.13. Elevando al cuadrado ambos lados y obteniendo el valor esperado, tenemos

\[ \begin{aligned} (1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2\mathbb{E}[|Y_{n+1}|^2] & = \mathbb{E}\Bigg[\Bigg|1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c) \\ & \qquad\quad +b\Delta W_n+c\Delta \widetilde{N}_n\Bigg|^2 |Y_n|^2\Bigg]. \end{aligned} \]

Dado que \(Y_n\) es \(\mathcal{F}_{t_n}\)-medible (depende únicamente de la información hasta el tiempo \(t_n\)) y los incrementos \(\Delta W_n\) y \(\Delta \widetilde{N}_n\) son independientes de \(\mathcal{F}_{t_n}\), la esperanza del producto se factoriza como el producto de las esperanzas:

Vamos a desarrollar la esperanza del término estocástico. Para facilitar el proceso, definimos la siguiente notación

\[ \begin{aligned} A & := 1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c), \\ B & := b\Delta W_n, \\ C & := c\Delta \widetilde{N}_n. \end{aligned} \]

Notemos que \(A\) es una constante determinista, mientras que \(B\) y \(C\) son variables aleatorias. Por tanto, aplicando la linealidad de la esperanza, el término estocástico de la Ecuación 5.14 queda de la forma

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|A+B+C|^2] & = \mathbb{E}[A^2+B^2+C^2 + 2AB+2AC+2BC] \\ & = \mathbb{E}[A^2]+\mathbb{E}[B^2]+\mathbb{E}[C^2] + \mathbb{E}[2AB]+\mathbb{E}[2AC]+\mathbb{E}[2BC]. \end{aligned} \tag{5.15}\]

Utilizando las propiedades de los incrementos independientes y de esperanza nula, podemos afirmar que \(\mathbb{E}[B]=b\mathbb{E}[\Delta W_n]=0\) y \(\mathbb{E}[C]=c\mathbb{E}[\Delta \widetilde{N}_n]=0\). En consecuencia, los términos cruzados se anulan: \(\mathbb{E}[2AB]=2Ab\mathbb{E}[\Delta W_n]=0\) y \(\mathbb{E}[2AC]=2Ac\mathbb{E}[\Delta\widetilde{N}_n]=0\). Además, por la independencia mutua entre el movimiento browniano y el proceso de Poisson compensado, se cumple \(\mathbb{E}[BC]=bc\mathbb{E}[\Delta W_n\Delta\widetilde{N}_n]=bc\mathbb{E}[\Delta W_n]\mathbb{E}[\Delta\widetilde{N}_n]=0\).

Por otro lado, calculamos los segundos momentos de los incrementos: \(\mathbb{E}[B^2]=b^2\mathbb{E}[(\Delta W_n)^2]=b^2\Delta t\) y \(\mathbb{E}[C^2]=c^2\mathbb{E}[(\Delta \widetilde{N}_n)^2]=c^2\lambda\Delta t\). Por lo tanto, de la Ecuación 5.15 obtenemos

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}[|A+B+C|^2] & = A^2+b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t \\ & = (1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c))^2 + b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t. \end{aligned} \]

Sustituyendo este resultado en la Ecuación 5.14, llegamos a la ecuación de recurrencia para el segundo momento:

\[ \begin{aligned} (1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2\mathbb{E}[|Y_{n+1}|^2] & = \Bigg[(1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c))^2 \\ & \qquad + b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t\Bigg]\mathbb{E}[|Y_n|^2]. \end{aligned} \tag{5.16}\]

Notemos que la Ecuación 5.16 describe el cambio del segundo momento de la solución numérica. Ahora bien, para que el método sea estable en media cuadrática, es necesario que la sucesión \(\mathbb{E}[|Y_n|^2]\) sea decreciente y tienda a cero cuando \(n\) tiende a infinito. Esto ocurre si y solo si el factor de amplificación es estrictamente menor que 1, es decir,

\[ \frac{(1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c))^2+b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t}{(1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2}<1. \tag{5.17}\]

Recordemos que anteriormente ya se mencionó que el término \(1-\theta\Delta t(a+\lambda c)\) es no nulo y positivo, por lo que es posible multiplicar la Ecuación 5.17 por el denominador y seguir conservando la desigualdad, es decir,

\[ (1+(1-\theta)\Delta t(a+\lambda c))^2+b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t<(1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2. \tag{5.18}\]

Para facilitar la notación, definimos la variable \(K:=a+\lambda c\). Además, expandiendo la expresión del lado derecho de la desigualdad, tenemos

\[ \begin{aligned} (1-\theta\Delta t(a+\lambda c))^2 & =(1-\theta\Delta tK)^2\\ & = 1-2\theta\Delta t K+\theta^2\Delta t^2K^2. \end{aligned} \]

De igual forma, al expandir el término al cuadrado del lado izquierdo de la Ecuación 5.18, obtenemos

\[ \begin{aligned} (1+(1-\theta)\Delta t (a+\lambda c))^2 & = (1+(1-\theta)\Delta t K)^2\\ & = 1+2(1-\theta)\Delta t K+(1-\theta)^2\Delta t^2 K^2. \end{aligned} \]

De esta manera, sustituyendo estas expansiones en la Ecuación 5.18 y reordenando los términos, la desigualdad se expresa como

\[ 1 +2(1-\theta)\Delta t K +b^2\Delta t +\lambda c^2\Delta t+(1-\theta)^2\Delta t^2 K^2<1-2\theta\Delta t K+\theta^2\Delta t^2 K^2. \tag{5.19}\]

Restando el término \(1\) en ambos lados de la desigualdad, reordenando adecuadamente y agrupando los términos con factores \(\Delta t\) y \(\Delta t^2\), tenemos

\[ (-2\theta K -2(1-\theta)K -b^2 -\lambda c^2)\Delta t + (\theta^2-(1-\theta)^2)K^2\Delta t^2 > 0. \]

Simplificando los coeficientes, notamos que \(-2\theta K -2(1-\theta)K = -2K\) y \(\theta^2-(1-\theta)^2 = \theta^2 - (1 - 2\theta + \theta^2) = 2\theta - 1\). Por lo tanto, la desigualdad se reduce a

\[ (-2K-b^2-\lambda c^2)\Delta t +(2\theta-1)K^2\Delta t^2>0. \tag{5.20}\]

Del parámetro de estabilidad \(l\), notemos que

\[ \begin{aligned} l & = 2a+b^2+\lambda c(2+c) \\ & = 2a+b^2+2\lambda c+\lambda c^2\\ & = 2(a+\lambda c)+b^2+\lambda c^2\\ & = 2K +b^2+\lambda c^2. \end{aligned} \]

Por lo tanto, sustituyendo \(l\) en la Ecuación 5.20, se tiene

\[ (2\theta-1)\Delta t^2 K^2-l\Delta t>0. \]

Dado que \(\Delta t>0\), es posible factorizar y dividir por \(\Delta t\) sin alterar el sentido de la desigualdad, obteniendo

\[ (2\theta-1)\Delta t K^2-l>0. \]

Despejando de tal forma que podamos expresar la desigualdad anterior en términos de \(-l\), tenemos

\[ -l > -(2\theta-1)(a+\lambda c)^2\Delta t = (1-2\theta)(a+\lambda c)^2\Delta t. \tag{5.21}\]

A partir de la condición Ecuación 5.21, analizamos los tres casos posibles para el parámetro \(\theta\):

Caso 1: \(\displaystyle\theta=\frac{1}{2}\).

En este caso, \(1-2\theta=0\), por lo que el lado derecho de la Ecuación 5.21 se anula. La condición se reduce a \(-l > 0\). Por hipótesis, la solución analítica es estable, lo que implica \(l<0\), y por tanto \(0<-l\). Esto demuestra que el método es estable para cualquier \(\Delta t > 0\).

Caso 2: \(\displaystyle \frac{1}{2}<\theta\leq 1\).

Aquí, \(1-2\theta<0\), lo que implica que el lado derecho de Ecuación 5.21 es estrictamente negativo (pues \((a+\lambda c)^2 \Delta t > 0\)). Dado que \(-l > 0\), tenemos que un número positivo es mayor que un número negativo, lo cual se cumple trivialmente para cualquier \(\Delta t > 0\). El método es A-estable.

Caso 3: \(\displaystyle 0\leq \theta<\frac{1}{2}\).

En este escenario, \(1-2\theta>0\). La Ecuación 5.21 impone una restricción directa sobre el tamaño del paso. Despejando \(\Delta t\), obtenemos la condición de estabilidad:

\[ \Delta t <\frac{-l}{(1-2\theta)(a+\lambda c)^2}. \]

Con esto, concluimos la demostración del Teorema 5.1. Los resultados establecidos en este capítulo nos permiten extraer una conclusión fundamental: mientras que los métodos numéricos estándar pueden fallar en preservar la estabilidad de la solución analítica cuando el parámetro de salto \(c\) es negativo, el método Theta Compensado Estocástico (CSTM) logra extender la propiedad de A-estabilidad al caso con saltos, siempre que se elija \(\theta \in [1/2, 1]\). Este análisis lineal no solo valida la consistencia del esquema numérico, sino que sienta las bases metodológicas para la Capítulo 6, donde enfrentaremos el desafío de la no linealidad y el crecimiento polinomial mediante el Método Compensated Split-Step \(\theta\), por sus siglas en inglés (\(\text{CSS}\theta\)), generalizando estas propiedades de estabilidad y convergencia fuerte.